第2模块 第6讲 分式方程及其应用(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第6讲　分式方程及其应用 【2022课标要求】 能根据等式的基本性质解可化为一元一次方程的分式方程. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、分式方程及解法 1.定义:分母中含有①　　　　　　的方程叫作分式方程.  2.解分式方程的基本思想:把分式方程转化为②　　　方程.  3.解分式方程的步骤 失分警示:(1)去分母时不要漏乘整式的项.(2)解出分式方程的解后,不要忘记验根(解分式方程必须验根的原因:去分母时,把分式方程转化为整式方程,把未知数的取值范围扩大了),同时要把验根的过程写出来. 未知数 整式 最简公分母 检验 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(1)分式方程的增根:分式方程的增根是在⑤　　　　时产生的,它会使分式方程的分母为⑥　　　　;分式方程的增根是去分母后所得整式方程的根,增根是使原方程中各分式的最简公分母为⑦　　的未知数的值.  (2)分式方程无解:分式方程化为整式方程后,整式方程无解,此时分式方程⑧　　　　;分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但其解是分式方程的增根,此时分式方程⑨　　　　.  温馨提示:分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的未知数的值. 去分母 0 0 无解 无解 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、分式方程的实际应用 1.列分式方程解应用题与列整式方程解应用题步骤相同,都为:审题,设未知数,找等量关系,列方程,解方程,检验,作答. 2.验根时要进行两次检验: (1)检验所求解是不是⑩　　　　　　　　的解.  (2)检验所求解是否符合实际意义. 所列分式方程 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.常见类型及关系式: 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.已知关于x的方程:=-2. (1)当m=3时,求这个方程的解; 解:当m=3时,方程=-2变为=-2, 解得x=-6,将x=-6代入x+3=-3, 则得x=-6是原方程的解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当m为何值时,方程无解? 解:由原方程,得 2x=mx-2x-6, ①整理,得 (4-m)x=-6, 当4-m=0即m=4时,原方程无解; ②当分母x+3=0,即x=-3时,原方程无解, 故2×(-3)=-3m-2×(-3)-6, 解得 m=2. 综上所述,m=2或4. 易错警示 解分式方程一般要把整式方程的解代入最简公分母进行检验.若最简公分母不等于0,则是分式方程的解;若最简公分母等于0,则不是分式方程的解.根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围时易忽略字母不为0的条件. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式1:(变换条件)若关于x的方程-=1的解为整数,则整数a的值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2:(变换设问方式)“若关于x的方程=+1无解,求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下: 下列说法正确的是 ( ) A.尖尖对,丹丹错 B.尖尖错,丹丹对 C.两人的答案合起来也不对 D.两人的答案合起来才对 尖尖: 去分母,得ax=12+3x-9, 移项,得ax-3x=12-9, 合并同类项,得 (a-3)x=3. ∵原方程无解, ∴a-3=0, ∴a=3. 丹丹: 去分母,得ax=12+3x-9, 移项、合并同类项,得 (a-3)x=3,解得 x=. ∵原方程无解, ∴x为增根, ∴3x-9=0,解得x=3, ∴=3,解得a=4. C D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员的对话如下. 生活委员:“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元,而每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元.” 学习委员:“你肯定搞错了,你买不到相同数量的两种笔记本.” (1)请你通过计算分析学习委员说得对不对; 解:设每本硬面笔记本为x元,则每本软面笔记本为(x-1.2)元, 由题意,得=, 解得x=2.8, 经检验,x=2.8是原方程的解, 但此时==7.5,不是整数,不符合实际, ∴学习委员说得对. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下,若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元,是否存在正整数a,使得两种笔记本的单价都是正整数,并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:存在.理由如下: 设每本软面笔记本为m元(1≤m≤12,m是整数),则每本硬面笔记本为(m+a)元. 由题意,得=, 解得a=m, ∵a为正整数, ∴m=4或8或12, ∴a=3或6或9. 当时,==1.5,不符合题意; 当时,==3,符合题意; 当时,==1,符合题意. ∴a的值为3或9. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式:某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? 解:设该企业有x条甲类生产线,y条乙类生产线, 根据题意,得 解得 答:该企业有10条甲类生产线,20条乙类生产线. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)某客商准备购一批这两种生产线生产的商品,经调查,用16 000元采购甲生产线生产的商品的件数是用7 500元采购乙生产线生产的商品的件数的2倍,一件甲生产线生产的商品的进价比一件乙生产线生产的商品的进价多10元.一件甲、乙两生产线生产的商品的进价分别为多少元? 解:设一件乙生产线生产的商品的进价为m元,则一件甲生产线生产的商品的进价为(m+10)元, 根据题意,得=×2, 解得m=150, 经检验,m=150是所列方程的解,且符合题意, ∴m+10=150+10=160(元). 答:一件甲生产线生产的商品的进价为160元,一件乙生产线生产的商品的进价为150元. 通用通法 列分式方程解应用题,应先弄清楚问题中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,列出分式方程求解,最后不要忘记检验,既要检验所得解是不是所列分式方程的解,又要检验所得解是否符合题意. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$