专项8 相遇问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——相遇问题 15种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题，它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程、求相遇时间、求速度。 相遇问题基本关系式： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 【一般相遇型】 一辆货车和一辆客车同时从相距365千米的两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行56千米，几小时后两车相距105千米？ 【思维点拨】如图，由于若干小时后两车之间的距离由365千米缩短到105千米，可以知道两车一共行驶了365-105=260（千米），而这260千米的路程是由货车和客车同时走的，所以根据“相距路程÷速度和=相遇时间”就可求得。 【解答】 （365-105）÷（48+56） =260÷104 =2.5（小时） 答：2.5小时后两车相距105千米。 1.甲、乙两地相距70千米，天天和红红两人分别从甲、乙两地骑车同时出发相对而行，天天每小时行16千米，红红每小时行12千米，几小时后他们第一次相距14千米？几小时后他们又相距14千米？ 2.甲车每时行40千米，乙车每时行60千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行,两车相遇后再行4.5时,甲车到达B地,A,B两地相距多少千米? 3.甲、乙同时从A,B两地相向走来。甲每时走5千米，两人相遇后,乙再走10千米到A地,甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米? 【中点相遇型】 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行42千米，乙每小时行46千米，两车在距中点18千米处相遇。A、B两地的距离是多少千米？ 【思维点拨】 根据题意，画如上所示的示意图可知，乙车速度比甲车速度每小时快46-42=4（千米），在相同的时间内，乙车行的路程多，所以相遇地点D在中点C的左边18千米，乙车比甲车多行了18×2=36（千米）。这样，可以根据“路程差÷速度差=相遇时间”。 【解答】 路程差：18×2=36（千米） 速度差：46-42=4（千米） 相遇时间：36÷4=9（小时） 路程：（46+42）×9=792（千米） 答：A、B两地的距离是792千米。 1.甲、乙两车分别同时从A、B两地相向而行，甲每小时行63千米，乙每小时行52千米，在离中点22千米处相遇，A、B两地的距离是多少千米? 2. 从A地到B地快车要行6小时,慢车要行8小时,如果两车同时从A、B两地相向开出,可在距中点30千米处相遇。A、B两地之间的距离为多少千米？ 3. 一列客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,当两列火车相遇时,客车行了全程的70%,货车距离两地的中点还有360千米。已知客车走完全程要用18小时,客车每小时行多少千米? 4. 从甲地到乙地,A车需要行驶10小时,B车需要行驶8小时。现在两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行,相遇时,A车离中点还有 30 千米。甲、乙两地相距多少千米? 【两次相遇型】 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地50千米的地方相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回，又在离B地40千米的地方相遇，问A、B两地的距离是多少千米？ 【思维点拨】 根据题意，画出示意图： 甲车行的路程用虚线表示，乙车行的路程用实线表示。从图上可以看出，甲、乙两车第一次相遇，合走了1个全程，甲车走了50千米；到第二次相遇，两车合走了3个路程，那么甲车应该走50×3=150（千米）的路程，比全程多40千米。这样就可求出A、B两地的距离。 【解答】 50×3-40 =150-40 =110（千米） 答：A、B两地的距离是110千米。 1.甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行，甲车每小时行55千米，乙每小时行47千米。两车相遇后都继续往前行驶，甲车到B城，乙车到A城后都立即按原速度返回再次相遇。两车从出发到第二次相遇共用了4小时，A、B两城相距多少千米？ 2.甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发相向而行，第一次在距A地115千米处相遇，相遇后两车继续前进，到达目的地后又立刻返回，在距B地75千米处第二次相遇。问：A、B两地相距多少千米？ 3.甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行，途中相遇，相遇点距A地70千米。相遇后两车仍以原速前进，各自到达对方出发点后立即返回，在途中又在距A地50千米的地方相遇，问：第一次相遇点距B地多少千米？ 4.甲、乙两地相距26千米，上午7：00，小军和小红分别从甲、乙两地骑自行车同时出发相向而行，两人分别到达B，A地后，又立即返回，上午11：00，他们第二次相遇，这时小军行的路比小红多6千米。求小军的骑车速度。 5.如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少? 6.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行,到达对方出发地后都立即返回,两人第一次相遇点与第二次相遇点相隔9千米,甲与乙的速度比是3:2,求 A、B两地间的距离。 7.甲、乙两车分别同时从A、B两地相向开出,速度比是4:5。两车第一次相遇后继续按原方向前进,各自到达终点后立即返回,第二次相遇地点离B地42千米。A、B两地间的距离有多少千米? 8.甲、乙两辆汽车同时从 A、B两站相对开出,在B侧距中点20千米处两车相遇。继续以原速前进,到达对方出发站后又立即返回,两车在距离A站160千米处第二次相遇。求A、B两站之间的距离。 【多次相遇型】 A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 【思维点拨】 第一次相遇，甲、乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲、乙总共走了4个全程。乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。 【解答】 2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米； 乙总共走了720×3=2160千米。 1.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？ 2.甲、乙两车分别从,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是15千米/时,乙车的速度是35千米/时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相距100千米。求A,B两地的距离。 【和差相遇型】 在一个600米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 【思维点拨】 同向为追及问题，可以求出兄弟二人的速度差，公式为：速度差=棱长差÷追及时间；相向为相遇问题，可以求出相等二人的速度和，公式为：速度和=路程和÷相遇时间。 【解答】 ①兄弟俩的速度差:600÷12=50(米分) ②兄弟俩的速度和:600÷4=150(米/分) ③跑的较快的速度是:(50+150)÷2=100(米/分) ④则跑的较慢的速度:150-50=50(米/分) ⑤所以跑的快者用的时间:600÷100=6(分钟) ⑥跑得慢者用的时间:600÷50=12(分钟) 答:两人跑一圈快的需要6分钟，慢的需要12分钟。 【环形跑道问题解题方法】 ①从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈； ②从同一地点出发，如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。 环形跑道问题的等量关系（乙比甲快）： ①同向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长； ②背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长。 1.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 2.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 3.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 4.某人匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发出一辆公共汽车。他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他;每隔10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过。那么公共汽车每隔多少分钟发出一辆？ 【多人相遇型】 甲、乙两人从东镇出发，丙从西镇出发，相向而行，甲每分钟行40米，乙每分钟行50米，丙每分钟行60米。乙、丙相遇后，又过3分钟甲、丙两人相遇，求东、西镇相距多少米？ 【思维点拨】甲、丙3分钟相遇共行路程，就是乙、丙相遇时甲、乙两人的路程差。解答此类行程问题分为个步骤：一是先求出甲、丙3分钟的路程和（即甲、乙二人路程差）；二是通过甲、乙二人的追及问题求出乙、丙二人的相遇时间；三是通过甲、乙相遇时间求出全程。 【解答】 ①甲、丙3分钟路程和：3×（40+60）=300（米） ②乙、丙二人相遇时间：300÷（50-40）=30（分钟） ③全程：30×（50+60）=3300（米） 或解：设乙、丙x分钟相遇，则甲、丙（x+3）分钟相遇。 （50+60）x=（40+60）（x+3） 110x=100x+300 X=30 全程：（50+60）×30=3300（米） 1.有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 2.甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离。 3.王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间? 【停留相遇型】 快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多少时间？ 【思维点拨】 快车与慢车分别从甲,乙两地同时开出,相向而行,经过5小时相遇,说明两车一小时走的路程和是的两地路程. 又已知慢车从乙地到甲地用12.5小时,所以快车每小时走-= 的两地间路程。 慢车到甲地需要小时,快车到乙地需要小时； 慢车在甲地停留半小时后返回,快车在乙地停留1小时后返回。所以当慢车出发的时候,快车已经走了: ×(+--1)= 的两地间路程。 这个时候距离第一次碰面的时间是12.5+-5=8小时. 剩下的1-=1路程两车一起走,需要 ÷=（小时） 一共经过了: 8+=10.8小时,也就是10小时48分钟。 【解答】 1÷（-）=（小时） 1- ×(+--1)= ÷=（小时） 8+=10.8（小时）=10时48分钟。 1.A、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达占地时，甲离B地还有200米。甲修车的时间内，乙走了多少米? 2.在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 3.快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？ 4.甲、乙两人分别在A、B两地同时相向而行,与E处相遇,甲继续向B地行走,乙则休息了14分钟,再继续向A地行走,甲和乙分别到达B和A后立即折返,仍在E处相遇.已知甲每分钟走60米,乙每分钟走80米,则A和B两地相距多少米? 5.绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米的速度每走16.小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息 10分钟，两人出发后经过多长时间第-次相遇? 【发车相遇型】 小敏走在街上,注意到:每隔6分钟有一辆30路公交车从身后超过她,每隔2分钟,马路对面30路公交车迎面驶来,假设小敏步行速度一定,30路车总站发生间隔时间一定,问30路公交车每隔多久发一班车? 【思维点拨】 和差型发车问题，公交车之间的间距一定，超过小敏时间为6分钟，可以求出公交车与小敏速度差，路程差÷追及时间=速度差；2分钟迎面遇到一辆公交车，则可以求出公交车与小敏的速度和；在利用和差法求出公交车速度及发车时间间隔。 【解答】 公交车与小敏的速度差：1÷6= 公交车与小敏的速度和：1÷2= 公交车速度：（+）÷2= 发车时间间隔：1÷=3（分钟） 1.某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？ 2.某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 3.从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【比例相遇型】 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,相遇时,甲、乙两车所行路程是4:3,相遇后,乙每小时比甲快12千米,甲车仍按原速前进,结果两车同时到达目的地,已知乙车一共行了10小时,A、B两地相距多少千米? 【思维点拨】 由题意可知，开始时，相遇时甲、乙两车的路程比是4:3，所以甲、乙两车的速度比是4:3；则相遇后，甲、乙两车行驶的距离比为3:4，即速度比变为 3:4；因为相遇后乙车每小时比甲车快12千米，可得：甲车的速度是：12÷（4-3）×3=36千米/小时，甲车和乙车一样一共行了10小时，共行了 36×10=360千米，即：A、B两地相距360千米。 【解答】 甲车速度：12÷（4-3）×3=36（千米/小时） 全程：36×10=360（千米） 1. 两辆车从甲乙两地同时相对开出,4时相遇.慢车是快车速度的,相遇时快车比慢车多行80千米,两地相距多少? 2.甲、乙两列火车同时从AB两地相对开出,相遇时,甲.乙两车未行的路程比为4：5,已知乙车每小时行72千米,甲车行完全程要10小时,问AB两地相距多少千米? 3.客、货两车同时从甲、乙两地相对开出,途中相遇后继续前进,各到达对方出发地后立即返回,途中第二次相遇,两次相遇地点间相距120千米。客车每小时行60千米,货车每小时行48千米,甲、乙两地相距多少千米? 4.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多少分钟？ 5.客车和货车同时从A、B两地相对开出,客车每小时行60千米,货车每小时行全程的,当货车行到全程的时,客车已行全程的。A、B两地间的路程是多少千米? 【比例变速型】 小李从甲地到乙地去,如果汽车每小时比原来少行20千米,那么所用的时间只是原来的。如果汽车每小时比原来多行20千米,那么所用的时间要比原来少1.5 小时。甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 如果汽车每小时比原来少行20千米，则现在所用时间与原来时间之比为5:4，则速度比为4:5，得到原来速度为20÷（5-4）×4=80（千米/小时）；如果汽车每小时比原来多行20千米，则现在速度为20+80=100（千米/小时），则现在与原来的速度之比为100:80=5:4，所用时间之比为4:5，得到原定时间为1.5÷（5-4）×5=7.5（小时）；则全程=原定速度×原定时间即可求解。 【解答】 原来速度为20÷（5-4）×4=80（千米/小时） 现在与原来的速度之比为（80+20）:80=5:4 原定时间为1.5÷（5-4）×5=7.5（小时） 全程为7.5×80=600（千米） 1.一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原来提前1小时到达;若以原速行驶120 千米后再将车速提高25%,则可提前40分钟到达。问甲、乙两地相距多少千米? 2.李叔叔开车从合肥到武汉,如果每小时比原来多行 20 千米,那么所用的时间只是原来的;如果汽车每小时少行20千米,那么所用的时间要比原来多1小时。那么,合肥与武汉相距多少千米? 3.王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速提高了,结果提前1小时30分钟到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高，于是提前1小时40分钟到达北京。北京上海两市间的路程是多少千米? 4.一辆汽车从A地开往B地,如果把车速减少10%,那么比原定时间迟1小时到达;如果以原速行驶180千米后,再将车速提高20%,那么可比原定时间提早1小时到达。A、B两地相距多少千米? 5.乐乐计划花若干天完成寒假作业,如果将每天写作业的速度降低25%但每天写作业的时间延长25%,则比原计划多用1天完成作业。按原计划的速度和每天写作业的时间写了15 页作业后,把每天写作业的速度提高20%,这样可以提前2天完成,那么乐乐的寒假作业共有多少页? 【自动扶梯型】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【思维点拨】 因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷2=20（级），所以扶梯可见部分有 80-20=60（级）。 【解答】 80-（80-40）÷2=60（级） 或女孩与男孩在电梯上走的时间之比是：40:(80÷2)=1:1 解：设女孩往上走时电梯上升了x级 则男孩往下走时电梯也上升了x级 40+x=80-x x=20 40+20=60（级） 答：当扶梯静止时,可以看到的扶梯有60级。 【小结】 ①自动扶梯的速度有两条关系式，与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式： 顺行速度=正常行走速度+扶梯运行速度 逆行速度=正常行走速度-扶梯运行速度 ②扶梯级数大体可分为两类： a.人沿着扶梯运动的方向行走，当然也可以不动，不管动与不动，此时扶梯都是帮助人在行走，共同走过了扶梯的总级数：（V人+V梯）×时间=扶梯级数 b.人与扶梯运动方向相反，此时人必须要走，而且速度要大于电梯的速度才能走到电梯的另一端。这种情况人走过的级数大于电梯的总级数，电梯帮倒忙，抵消掉一部分人走的级数，（V人—V梯）×时间=扶梯总级 1.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 2.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级? 3.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内,妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级? 【调头相遇型】 一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每爬行1秒，3秒，5秒…(连续的奇数)，就调头爬行。那么，它们相遇时已爬行的时间是多少秒？ 【思维点拨】 由前面分析知，每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短： 5.5+3.5=9（厘米）． 所以，到相遇时，它们已改变方向： 1.26×100÷2÷9=7（次）． 也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时： 1+3+5+7+9+11+13=49（秒） 答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。 1.一个圆的周长是5.4米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米．它们每次爬行1秒、3秒、5秒…（连续奇数）就调头爬行．两只蚂蚁第一次相遇时，已爬行了多长时间？ 2. A、B两地相距1000m,中、乙二人同时分别从A、B两地出发相向而行,甲每分钟走60m,乙每分钟走40m。甲带了一只狗,每分钟跑100m,狗跟甲一起出发,在甲、乙两人之间往返跑动,当甲、乙二人相遇时,狗一共跑了多少米? 3.甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶。甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米? 4. 一个圆的周长为 1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行.1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7、…(连续奇数)分钟数调头爬行。这两只蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和 3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇? 【转化单位1型】 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车行完全程需10小时,货车行完全程需15小时。两车在中途相遇后,客车又行了90千米,这时客车行完全程的80%,求甲、乙两地的距离。 【思维点拨】 相遇时客车与货车行完全程时间之比：10:15=2:3 客车与货车速度（即所行路程）之比：3:2 客车行了全程的 客车所行90千米，相当于全程的80%-=20% 全程：90÷20%=450（千米） 【解答】 10:15=2:3 90÷（80%-）=450（千米） 1.甲、乙两人同时从 A、B两地出发,相向而行,当甲行的路程比全程(A、B两地距离)的多20千米时,与乙相遇,已知甲、乙两人速度比是2:3。求 A、B两地之间的距离。 2.快车和慢车同时从 A、B两地相向开出,快车行完全程需6小时,慢车行完全程需10小时。两车在中途相遇后,快车又行了20千米,这时快车已行了全程的,则 A、B两地相距多少千米? 3.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,客车行完全程需10小时货车行完全程需15小时。两车在途中相遇后,客车又行了96千米,这时客车所行路程与剩下路程的比是7:3,甲、乙两地相距多少千米? 【变速行程型】 甲、乙由A、B两地相向出发,甲速是乙速的,甲、乙到达B,A地后,向AB相向返回,且甲速提高，乙速提高,已知甲、乙两次相遇点相距34km,求A、B两地间距离? 【思维点拨】 甲、乙原来速度之比：4:5，第一次相遇时乙行了全程，甲行了全程； 乙首先到达A地，此时甲行了全程的，距离目的地B地耗油全程的1-=； 在此，乙开始加速，甲还在以原速行驶后方可加速； 此时甲、乙速度比为：4:5×（1+）=3:5；则甲行驶到目的地，乙行驶的路程为 ÷3×5=，还剩下全程的1-=；即为甲、乙后面都加速时所行的路程和。 都加速后甲、乙速度之比：4×（1+）：5×（1+）=3:4； 所以最后甲、乙返回时甲所行的路程为×=； 两次相遇点相距-=。再求出全程即可 【解答】 起始速度比4:5 中途速度比4:5×（1+）=3:5 最后速度比4×（1+）：5×（1+）=3:4 ÷3×5=，（1-×= 17÷（-）=63（千米） 1.一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？ 2.甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。那么A，B两地相距多少千米？ 3.小明和小军分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。若两人按原定速度前进,则4时相遇;若两人各自都比原定速度多1千米/时,则3时相遇。甲、乙两地相距多少千米? 4.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行。出发时,甲与乙的速度比是4:3,相遇后,甲的速度增加10%,乙的速度增加20%,这样当甲到达B地时,乙离A地还有17千米,那么A、B两地相距多少千米? 5. 甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次在C地相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,当甲到达B地时,乙离A地还有42千米,A、B两地间的距离是多少千米? 6. 客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。出发时客、货车的速度比是6:5。相遇后,客车的速度减少20%,货车的速度增加20%这样,当货车到达甲地时,客车离乙地还有 10 千米,那么甲、乙两地相距多少千米? 7. 甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行,已知甲、乙的速度比是8:3.第一次相遇后,甲的速度降为原来的一半,乙的速度提升为原来的2倍,这样当甲到达B地时,乙距离A地还有700米。那么A、B两地之间相距多少米? 【转换相遇型】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【思维点拨】 下山走半个全程相当于上山走0.5÷1.5=个全程。下山走600米相当于上山走600×1.5=400（米）（上下山的速度、路程分别进行转换） 乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰，得到甲、乙速度比（1+）:1=4:3 山路长：（600+400）÷（4-3）×4-400=3600（米） 甲上山速度：（3600+400）÷1=4000（米/小时） 往返时间：3600÷4000+3600÷（4000×1.5）=1.5（小时） 【解答】 甲、乙速度比（1+0.5÷1.5）:1=4:3 甲相当于上山走了1个全程+上山走了600×1.5=400（米） 比乙多行了400+600=1000（米） 山路长：（600+400）÷（4-3）×4-400=3600（米） 甲上山速度：（3600+400）÷1=4000（米/小时） 往返时间：3600÷4000+3600÷（4000×1.5）=1.5（小时） 【点评】本题关键在转化,把下山的距离再转化为上山的距离,这种转化是在保证时间相等的情况下。通过转化,可以理清思路。但是也要分清哪些距离是上山走的,哪些是下山走的 1.甲、乙两人同时从山底开始沿同一条山路爬山，到达山顶后立即沿原路返回。已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的3倍，甲乙在离山顶150米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程。 2.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍，甲到山顶时乙距山顶还有600米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的距离。 3.从甲地到乙地，先骑自行车行驶19分钟，再骑摩托车行驶8分钟到达。如果骑摩托车行驶10分钟，再骑自行车行驶13分钟也恰好到达。如果全程都骑自行车，要行多少分钟? 满分：100分 时间：60分钟 1.A、B两村相距2800米，小明从A村步行出发5分后,小军骑车从B村出发,又经过10分两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分多行130米,小明步行每分行多少米? 2.甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。已知甲上午8点经过邮局门口,乙上午10点经过邮局门口,问:甲、乙在中途何时相遇? 3.甲、乙两车同时从两地相向而行,2.5时后相遇。已知甲车速度是乙车速度的，相遇时乙车比甲车多走40千米,求两车的速度。 4.甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行。若甲先出发2时，则在乙动身2.5时后两人相遇;若乙先出发2时，则甲动身3时后两人相遇。求甲、乙二人的速度。 5.甲、乙两车同时从A,B两地相向而行,它们相遇时距A,B两地中心处8千米,已知甲车速度是乙车的1.2倍,求A,B两地的距离。 6.一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18小时两车在某处相遇，已知客车每时行50千米，货车每小时比客车少行8千米，货车每行驶3小时要停驶1小时。问:两地之间的铁路长多少千米? 7.甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时,它们同时从甲地出发到乙地去,出发后6时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 8.甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙,此时他们离开学校已30分钟。问:甲乙每分钟各走多少米? 9.甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去,甲、乙两车的速度分别为 60千米/时和 48千米/时。有一辆迎面开来。卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆相遇。求丙车的速度。 10.甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车,汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车? 11.两辆汽车从两地同时出发，相向而行。已知甲车行完全程比乙车多用1.5时,甲车每时行 40千米,乙车每时行 50千米,出发后多长时间两车相遇? 12.（两次相遇）甲、乙两车同时从 A,B两地相向而行,在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。 13.湖中有A,B两岛,甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A,B两岛同时出发,他们第一次相遇时距A岛700米,第二次相遇时距B岛400米。问:两岛相距多远? 14.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米? 15.杨平每天早晨按时从家出发步行上学，李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,杨平步行每分行60米,李大爷步行每分行40米,他们每天都准时在途中相遇。有一天杨平提前出门,因此比平时早9分与李大爷相遇,杨平比平时早出门多少分? 16.甲、乙两车从A,B两地同时出发,相向而行。如果甲车提前一段时间出发,那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米/时,乙车速度是40千米/时。问:甲车提前了多少分出发? 17.甲、乙两人沿 400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 18.如图是一个边长100米的正方形,甲、乙两人同时从A点出发,甲逆时针每分行 75 米,乙顺时针每分行 45 米。两人第一次在CD边(不包括C，D 两点)上相遇,是出发以后的第几次相遇? 19.甲、乙两车分别沿公路从A,B两站同时相向而行,已知甲车的速度是乙车的1.5倍，甲、乙两车到达途中C站的时刻分别为5:00和16:00,两车相遇是什么时刻? 20.甲、乙两车分别同时从A，B两城相向行驶,6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故障抛描,修理2.5时后才继续行驶,因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A城到B城共用多长时间? 21.快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5时,慢车到甲地停留1时后返回,快车到乙地停留2时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间? 22.甲、乙两车同时从A地出发,不停的往返行驶于A,B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问:甲车的速度是乙车的多少倍? 23.在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分? 24.A、B两地相距1800米,甲、乙二人分别从 A,B两地同时出发,相向而行。相遇后甲又走了8分到达 B地,乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米? 25.甲、乙两列火车的速度比是5:4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A,B两站距离的比是3:4,那么A,B两站之间的距离为多少千米? 【巩固提升】参考答案 1.甲、乙两地相距70千米，天天和红红两人分别从甲、乙两地骑车同时出发相对而行，天天每小时行16千米，红红每小时行12千米，几小时后他们第一次相距14千米？几小时后他们又相距14千米? 【解答】考虑两种情况： (1)(70-14)÷(16+12) =56÷28 =2(小时) 答:2小时后他们第一次相距14千米 (2)(70+14)÷(16+12) =84-28 =3(小时) 答:3小时后他们又相距14千米。 2.甲车每时行40千米，乙车每时行60千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行,两车相遇后再行4.5时,甲车到达B地,A,B两地相距多少千米? 【思维点拨】 首先根据题意，用甲车的速度乘以4.5，求出甲车相遇后行驶的路程，即可求出乙相遇时行驶的路程；然后再除以乙的速度，求出两车的相遇时间；最后根据速度×时间=路程，用两车的速度之和乘以相遇时间，求出A，B两地的距离即可。 【解答】 解：（40+60）×（40×4.5÷60） =100×（180÷60） =100×3 =300（千米）， 答：A，B两地的距离是300千米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出两车的相遇时间。 3.甲、乙同时从A,B两地相向走来。甲每时走5千米，两人相遇后,乙再走10千米到A地,甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米? 【思维点拨】 由于两人相遇后，乙再走10千米到A地，所以相遇时甲走了10千米，则他们的相遇时间为10÷5=2小时，甲再走1.6小时到达B地，则相遇时乙行了1.6×5=8千米，所以乙的速度是8÷2=4千米。 【解答】 （5×1.6）÷（10÷5） =8÷2， =4（千米） 答：乙每时走4千米。 1.甲、乙两车分别同时从A、B两地相向而行，甲每小时行63千米，乙每小时行52千米，在离中点22千米处相遇，A、B两地的距离是多少千米? 【思维点拨】 两车离中点22千米相遇，甲车就比乙车多走了22×2千米，然后根据时间=路程÷速度差，可求出两车相遇时的时间，再根据路程=速度×时间，可求出两地之间的距离。 【解答】 22×2÷(63－52)×(63＋52) =44÷11×115 =460(千米) 答：A、B两地相距460千米。 2. 从A地到B地快车要行6小时,慢车要行8小时,如果两车同时从A、B两地相向开出,可在距中点30千米处相遇。A、B两地之间的距离为多少千米? 【思维点拨】 本题是行程问题中的的相遇问题，难度较容易；本题要注意两车之间的路程差不是只有1个30千米，而是两个30千米．行驶相同的距离，所用时间与速度成反比． 【解答】 解：快车与慢车的速度比为8：6=4：3， 30×2÷（-） =60÷（-）， =60× =420（千米）． 答：甲乙两地相距420千米。 3. 一列客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,当两列火车相遇时,客车行了全程的70%,货车距离两地的中点还有360千米。已知客车走完全程要用18小时,客车每小时行多少千米? 【思维点拨】 要求客车每小时行多少千米，根据速度=路程÷时间，就要分别求出路程和时间，已知客车走完全程要用20小时，只要再求出路程即可。当两列火车相遇时，客车走了全程的70%，货车就行了全程的（1-70%），这时货车距离两地的中点还有360千米．360对应的分率就应是[50%-（1-70%）]，据此解答。 【解答】 360÷[50%-（1-70%）]÷20 =360÷[0.5-0.3]÷20 =360÷0.2÷20 =90（千米/小时） 答：客车每小时行90千米。 【点评】本题才关键是求出230千米对应的分率是多少，然后根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 4. 从甲地到乙地,A车需要行驶10小时,B车需要行驶8小时。现在两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行,相遇时,A车离中点还有 30 千米。甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 把全程看作单位“1”，甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的，相遇时间为1÷（ +）=（小时），相遇时，甲车行了全程的 ×=，乙车行了全程的 ×=，乙车比甲车多行40×2=80（千米），全程为80÷（ -）=720（千米）。 【解答】 相遇时间为： 1÷（ +） =1÷ = （小时） A、B两地相距： 40×2÷[（-）×] =80÷ =80×9 =720（千米） 答：A、B两地相距720千米。 1.甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行，甲车每小时行55千米，乙每小时行47千米。两车相遇后都继续往前行驶，甲车到B城，乙车到A城后都立即按原速度返回再次相遇。两车从出发到第二次相遇共用了4小时，A、B两城相距多少千米？ 【思维点拨】 两车第一次相遇时,甲、乙两车共行驶了1个全程,第二次相遇时,甲、乙两车共行驶了2个全程。在6小时内,甲、乙两车共行的路程正好是A,B两城间距离的3倍。要求A,B两城之间的距离,就要先求出两车6小时一共行驶的路程,即(55+65)×6=720(千米)，再求出两车6小时行驶路程的一倍数,就是A,B两城之间的距离,即 720-3=240(千米)。 【解答】 (55+65)×6-3 =120×6-3 =720-3 =240(千米) 答:A、B两城相距 240千米。 2.甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发相向而行，第一次在距A地115千米处相遇，相遇后两车继续前进，到达目的地后又立刻返回，在距B地75千米处第二次相遇。问：A、B两地相距多少千米? 【思维点拨】 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地115千米处第一次相遇，则相遇时，两人共行一个全程，甲行了115千米，即每共行一个全程，甲就行115千米，又第二次相遇时，两人共行了三个全程，则此时甲行了115×3千米，此时距B地75千米。 【解答】 115×3－75=270(千米) 答：A、B两地相距270千米. 【点拨】认真读懂题意，分析清楚题目中的数量关系，每共行一个全程，甲就行115千米，用115乘3减去75，即可得出答案。 【点评】本题主要考查了学生对“解决实际问题”的掌握情况，解答本题的关键是认真读懂题意，分析清楚题目中的数量关系，然后通过选择合理的运算方法和运算顺序，并且列式计算得到答案。 3.甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行，途中相遇，相遇点距A地70千米。相遇后两车仍以原速前进，各自到达对方出发点后立即返回，在途中又在距A地50千米的地方相遇，问：第一次相遇点距B地多少千米? 【思维点拨】 一共行了三个全程，一个全程甲行70千米，在三个全程里甲共行驶了70×3=210千米，加上50千米就相当于行了2个全程，所以全程为（70×3+50）÷2=130千米，在求解相遇点距离B点距离即可。 【解答】 （70×3+50）÷2-70=60（千米） 4.甲、乙两地相距26千米，上午7：00，小军和小红分别从甲、乙两地骑自行车同时出发相向而行，两人分别到达B，A地后，又立即返回，上午11：00，他们第二次相遇，这时小军行的路比小红多6千米。求小军的骑车速度。 【思维点拨】 小军和小红在2次相遇时间里，合骑了3个全程。在一个全程里，小军比小红多行6÷3=2千米；再利用和差问题求解即可。 【解答】 路程和26千米 路程差：6÷3=2（千米） 小军在1个全程里行驶的路程为（26+2）÷2=14（千米） 小军速度：14×3÷（11-7）=10.5（千米/小时） 5.如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少? 【思维点拨】 如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米,第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8×3=24(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3-6=18(厘米)，一个圆周长就是:(8×3-6)×2=36(厘米) 【解答】 圆周长一半8×3-6=18(厘米) 一个圆周长就是:(8×3-6)×2=36(厘米) 6.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行,到达对方出发地后都立即返回,两人第一次相遇点与第二次相遇点相隔9千米,甲与乙的速度比是3:2,求 A、B两地间的距离。 【思维点拨】 把全程看作是3+2=5份。在一个全程里甲行3份，三个全程里共行了3×3=9份，离出发点的距离为5×2-9=1份，两次相遇点的距离为3-1=2份。 【解答】 3+2=5份 9÷ [3-（5×2-9）]×5=22.5（千米） 7.甲、乙两车分别同时从A、B两地相向开出,速度比是4:5。两车第一次相遇后继续按原方向前进,各自到达终点后立即返回,第二次相遇地点离B地42千米。A、B两地间的距离有多少千米? 【解答】 4+5=9份 42÷（9×2-5×3）×9=126（米） 8.甲、乙两辆汽车同时从 A、B两站相对开出,在B侧距中点20千米处两车相遇。继续以原速前进,到达对方出发站后又立即返回,两车在距离A站160千米处第二次相遇。求A、B两站之间的距离。 【思维点拨】 乙行了一个全程加上160千米；因为在一个全程里，甲比乙多行20×2=40千米，3个全程里总共比乙多行了40×3=120千米。所以甲行驶的距离是一个全程加上160+120=280千米。所以全程为160+280=440千米 【解答】 （160+160+20×2×3）÷（3-1-1）=440（千米） 1.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）? 【思维点拨】 第二次相遇两人一共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此小张走:3.5×3＝10.5（千米）；第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离:10.5-2＝8.5（千米） 每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程； 第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程； 其中张走了:3.5×7＝24.5（千米） 24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米） 就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米） 答：第四次相遇地点离乙村1千米. 2.甲、乙两车分别从,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是15千米/时,乙车的速度是35千米/时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相距100千米。求A,B两地的距离。 【思维点拨】 甲车和乙车的速度比是15：35＝3：7。这里的相遇存在迎面相遇和追上相遇两种。（如果两车相差的路程是AB的距离的倍数，就是追上相遇。）第一次相遇（迎面），把全程看作10份，甲车行了3份，乙车行了7份第二次相遇（追上），10÷（7－3）＝2.5，甲车行了2.5×3＝7.5份，乙车行了17.5份。第三次相遇（迎面），甲车行了3×3＝9份，乙车行了7×3＝21份第四次相遇（迎面），甲车行了3×5＝15份，乙车行了7×5＝35份两次相遇点，相距9－（15－10）＝4份，所以每份是100÷4＝25千米，所以AB两地相距25×10＝250千米。 【解答】 设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份则第三次相遇甲总共走了3×5=15份，第四次相遇甲总共走了3×7=21份; 第三次相遇地点与第四次相遇地点相差 (15-10)-(21-10×2) =5-1 =4份 所以总长为： (100÷4)×10 =25x10 =250(千米) 答:4、B两地之间的距离等干250千米 1.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟，甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【思维点拨】 甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间。 【解答】 70-45=25（分钟） 甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，那么甲的速度：乙的速度=45：25 行完全程两者所用的时间比就是：25：45 乙走一圈用的时间是：70÷25×45=126（分） 答：乙走一圈的时间是126分钟。 2.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 【思维点拨】 哥哥、弟弟的速度差:600÷12=50(米分) 哥哥、弟弟的速度和:600÷4=150(米/分)， 跑的较快的速度是:(50+150)÷2=100(米/分) 则跑的较慢的速度:150-100=50(米/分)， 所以跑的快者用的时间:600÷100=6(分钟)， 跑得慢者用的时间:600÷50=12(分钟)， 答:两人跑一圈快的需要6分钟，慢的需要12分钟。 3.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 【思维点拨】和差问题 速度和：1÷6= 速度差：1÷26= 乙的速度：（-）÷2= 全程：50÷=780（千米） 4.某人匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发出一辆公共汽车。他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他;每隔10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过。那么公共汽车每隔多少分钟发出一辆? 【思维点拨】 设人的速度为1，公共汽车速度为v；根据车距相等列式： 15(v−1)=10(v+1)， 解得v=5； 则车距为：15×(5−1)=60； 发车时间间隔为60÷5=12分钟． [15,10]=30， 被一辆车超过后开始向前走向前走30分钟后返回，在这过程中共可以碰到30÷10+30÷15=5辆公共汽车 发车间隔为30×2÷5=12分钟。 1.有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 【思维点拨】 甲、丙6分钟相遇的路程:(100+75)×6=1050(米); 甲、乙相遇的时间为:1050÷(80-75)=210(分钟); 东、西两村之间的距离为:(100+80)×210=37800(米) 2.甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离。 【思维点拨】 (60+40)×15÷(50-40)×(60+50) =100×15÷10×110 =150×110 = 16500(米)。 答:A、B两地相距16500米。 3.小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间? 【思维点拨】 首先把5分钟化成小时，“在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇”，说明在在小张与小李相遇时，小张比小李多走了“小王和小李5分钟共同走的路程”，求出这个路程，用它除以小张比小王每小时多走的路程可求出小张和小李的相遇时间，再用两人的速度和乘相遇时间求出全程，用全程除以小李的速度求出小李从乙地到甲地用的时间． 【解答】 5分钟=小时 ×（4.8+10.8）÷（5.4-4.8）×（5.4+10.8）÷10.8=（小时）=195分钟 1.A、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达占地时，甲离B地还有200米。甲修车的时间内，乙走了多少米? 【思维点拨】 假设乙的速度是v，则甲的速度是4v，根据“时间=路程÷速度”分别求出乙走的时间是10000÷v，甲正常骑车的时间是10000÷4v，因为甲修车导致实际行驶的时间是乙走的时间+200÷4v，减去甲正常骑车的时间就是甲修车的时间，然后根据“路程=速度×时间”即可求出乙走了多少米。 【解答】 假设乙的速度是v，则甲的速度是4v，根据题意，得： [（10000÷v+200÷4v）-10000÷4v]×v =10000+50-2500 =7550（米） 答：甲修车的时间内乙走了7550米． 【点评】此题的关键是假设出乙的速度v，用v表示出甲修车的时间，然后在求路程时把v约去。 2.在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【思维点拨】 甲实际跑100÷（5-4）=100秒时追上乙，则甲实际跑了100×5=500米，所以甲已经休息了4次，由此即可求得追上乙所用的时间。 【解答】 如果两人不休息，那么甲追上乙需要：100÷（5-4）=100（秒）， 100秒内甲实际跑了：100×5=500（米）； 所以甲休息了4次，100+4×10=140（秒）； 答：甲追上乙需要时间是140秒。 【本题考点】环形跑道问题。 【考点点评】利用二人的速度之差，先求得实际追上乙所用的时间，从而求得甲行驶的路程，即可得出甲休息的次数及休息所用的时间之和。 3.快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？ 【思维点拨】 设全程为1，则两车每小时共行全程的，慢车每小时行全程的 ，则快车每小时行全程的： −=；当两车再次相遇时，如不休息两车又共行了两个全程即为2，根据两车到站后停留的时间可知，当慢车到达甲地并休息之后，快车行了12.5+0.5-1=12小时，此时快车和慢车相距2- ×12=，所以相遇还需要÷ =2.8（小时），则从第一次相遇到第二次相遇共用去12.5+2.8-5=10.8小时。 【解答】 设全程为1，则： 快车每小时行全程的： −= 当慢车到达甲地并休息之后，此时快车和慢车相距： 2- ×（12.5+0.5-1）= 则从第一次相遇到第二次相遇共用去： （12.5+0.5）+ ÷-5=10.8（小时） 答：两车从第一次相遇到第二次相遇共需10.8小时。 4.甲、乙两人分别在A、B两地同时相向而行,与E处相遇,甲继续向B地行走,乙则休息了14分钟,再继续向A地行走,甲和乙分别到达B和A后立即折返,仍在E处相遇.已知甲每分钟走60米,乙每分钟走80米,则A和B两地相距多少米? 【思维点拨】 可以设甲乙第一次相遇用x分钟，那么，第一次相遇，甲行了60x米、乙行了80x米；第二次相遇，甲走到B地，再到E处，走了第一次相遇时乙的路程的2倍，即走了80x×2米；乙走了60x×2米，但是甲比乙多用了14分钟，根据路程÷速度=时间，列出方程进行解答即可。 【解答】 解：设甲、乙第一次相遇用x分钟，那么甲行了60x米、乙行了80x米；第二次甲行了80x×2米、乙行了60x×2米；根据甲比乙多行14分钟，可得方程： （80x×2）÷60-（60x×2）÷80=14 X=12 AB长是：12×（60+80）=1680（米）． 答：A和B两地相距1680米． 【本题考点】多次相遇问题 【考点点评】本题的关键是第二次相遇时，甲乙两人各走的路程，然后再根据甲比乙多行的14分钟，列出方程进行解答即可。 5.绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米的速度每走16.小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息 10分钟，两人出发后经过多长时间第一次相遇? 【思维点拨】 易得小王65分行4千米，小张60分行5千米，可推得小王130分行8千米，小张120分行10千米，进而推得小张130分行11千米；在130分时间里，俩人一共行19千米，余下5千米还用30分．所以出发160分第一次相遇。 【解答】 ∵小王65分行4千米，小张60分行5千米， ∴小王130分行8千米，小张120分行10千米， ∴小张130分行10+×10=11千米； ∴在130分时间里，俩人一共行19千米，余下5千米还用5÷（+）=30分．所以出发160分第一次相遇． 【本题考点】推理与论证 【考点点评】考查用推理与论证解决行程问题，得到在不同时间内的相应速度是解决本题的易错点。 1.某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？ 【思维点拨】 解：设电车的速度为每分钟x米，人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟75米。根据题意可列方程如下： 7.2（x+75）=12（x-75） 解得，x=300 即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米。 相同方向的两辆电车之间的距离为300×（300-75）=2700（米） 电车之间的时间间隔为：2700÷300=9(分钟) 2.某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【思维点拨】 这个题可以简单的找规律求解时间：           时间 车辆 4分钟   9辆         6分钟   10辆         8分钟 9辆          12分钟 9辆         16分钟  8辆        18分钟  9辆        20分钟  8辆        24分钟  8辆 由此可以看出：每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了12×9=108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。 3.从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【思维点拨】 解析：根据题意可得：甲乙相距路程=（甲速-乙速）× 时间 （82-60）× 10-60×（15÷60） =22×10-15 =220-15 =205（米） 电车每分钟的路程：205÷（15÷60）=820（米） 10+1=11（分钟） 故电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 2. 两辆车从甲、乙两地同时相对开出,4时相遇.慢车是快车速度的,相遇时快车比慢车多行80千米,两地相距多少? 【思维点拨】 快车和慢车的速度比=1：=5：3 相遇时快车行了全程的 慢车行了全程的 那么全程=80÷（-）=320（千米） 2.甲、乙两列火车同时从AB两地相对开出,相遇时,甲.乙两车未行的路程比为4：5,已知乙车每小时行72千米,甲车行完全程要10小时,问AB两地相距多少千米? 【思维点拨】 相遇时未行的路程比为4：5 那么已行的路程比为5：4 时间比等于路程比的反比 甲乙路程比=5：4 时间比为4：5 那么乙行完全程需要10÷4×5=12.5（小时） 那么AB距离=72×12.5=900（千米） 3.客、货两车同时从甲、乙两地相对开出,途中相遇后继续前进,各到达对方出发地后立即返回,途中第二次相遇,两次相遇地点间相距120千米。客车每小时行60千米,货车每小时行48千米,甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 客货两车从第1次相遇到第2次相遇,两车共行走了两个全程, 两个全程需要的时间： 【解答】 120÷(60-48)=10（小时） 行走一个全程需要的时间： 10÷2=5（小时） 则甲乙两地相距：（60+48）×5=540（千米） 4.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多少分钟？ 【思维点拨】 甲、乙的速度比是：8：6=4：3， 1÷[1÷（6+10）× ] =28（分钟） 答：甲环行一周需28分。 5.客车和货车同时从A、B两地相对开出,客车每小时行60千米,货车每小时行全程的,当货车行到全程的时,客车已行全程的。A、B两地间的路程是多少千米? 【思维点拨】 货车行驶时间 =÷= （小时） 客车行驶路程 = 60× = 325（千米） 全程 = 325÷= 520 （千米） 1.一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原来提前1小时到达;若以原速行驶120 千米后再将车速提高25%,则可提前40分钟到达。问甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 前后速度比1：（1+20%）=5:6 原定时间=1÷（6-5）×6=6（小时） 前后速度比1：（1+25%）=4:5 原定时间=40÷（5-4）×5=200（分钟）=（小时） 速度：120÷（6-）=45（千米/小时） 全程：45×6=270（千米） 2.李叔叔开车从合肥到武汉,如果每小时比原来多行 20 千米,那么所用的时间只是原来的;如果汽车每小时少行20千米,那么所用的时间要比原来多1小时。那么,合肥与武汉相距多少千米? 【思维点拨】 现在的时间:原来的时间=5:6 现在的速度:原来的速度=6:5 原来的速度: 20÷(6-5)×5=100(千米/时) 后来的速度:原来的速度=(100-20)：100=4:5 后来的时间:原来的时间=5:4 原来时间:1÷(5-4)×4=4(时) 合肥与武汉相距:100×4=400(千米) 答:合肥与武汉相距400千米。 3.王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速提高了,结果提前1小时30分钟到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高，于是提前1小时40分钟到达北京。北京上海两市间的路程是多少千米? 【思维点拨】 1小时30分钟=90分钟 1小时40分钟 =100分钟 现在的速度:原来的速度=(1+):1=10:9 现在的时间:原来的时间=9:10原来从北京到上海所用的时间: 90÷(10-9)×10=900(分) 返回时,以原速行驶 280千米后,在剩下的路程中, 后来的速度:原来的速度 (1+):1 =7:6 后来的时间:原来的时间=6:7则原来行完剩下路程所需的时间为100÷(7-6)×7=700(分) 北京、上海两市间的路程为: 280÷(900-700)×900=1260(千米) 答:北京、上海两市间的路程是1260千米。 4.一辆汽车从A地开往B地,如果把车速减少10%,那么比原定时间迟1小时到达;如果以原速行驶180千米后,再将车速提高20%,那么可比原定时间提早1小时到达。A、B两地相距多少千米? 【思维点拨】 原速度:减速度=10∶9， 所以减时间:原时间=10:9， 所以减时间为:1÷(1-9÷10)=10小时; 原时间为9小时; 原速度:加速度=5:6， 原时间:加时间=6:5， 行驶完180千米后，原时间=1÷(1÷6)=6小时， 所以行驶180千米的时间为9-6=3小时， 原速度为180-3=60(千米/时) 所以两地之间的距离为60×9=540(千米) 答:两地路程为540千米。 5.乐乐计划花若干天完成寒假作业,如果将每天写作业的速度降低25%但每天写作业的时间延长25%,则比原计划多用1天完成作业。按原计划的速度和每天写作业的时间写了15 页作业后,把每天写作业的速度提高20%,这样可以提前2天完成,那么乐乐的寒假作业共有多少页? 【思维点拨】 现在每天写作业量:原计划每天写作业量是： [(1-25%)×(1+25%):1=15:16 现在写作业时间:原计划写作业时间16:15 原计划写作业的时间:1÷(16-15)×15=15 (天) 按原计划的速度和每天写作业的时间写了15页作业后， 在剩下的作业中,后来每天写作业量:原计划每天写作业量=(1+20%):1=6:5。 后来写作业时间:原计划写作业时间5:6 则原计划写完剩下作业所需的时间: 2÷(6-5)×6=12(天) 乐乐的寒假作业共有:15÷(15-12)×15=75(页) 答:乐乐的寒假作业共有75页。 1.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 【思维点拨】 此题“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。 　上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 【详解】 ①自动扶梯每分钟走：（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， ②自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 答：扶梯共有150级。 2.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级? 【思维点拨】 ①自动扶梯每秒钟走： [1×50-2×（60÷3）]÷（60-50）， =10÷10， =1（级）； ②自动扶梯共有（1+1）×50=100（级）； 答：该扶梯共有100级。 3.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内,妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级? 【思维点拨】 设两人走的扶梯数是x级，由题意得 x+50=100-x x+50+x=100-x+x 2x=50 x=25 25+50=75(级) 答:当时扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有75级. 1.一个圆的周长是5.4米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米．它们每次爬行1秒、3秒、5秒…（连续奇数）就调头爬行．两只蚂蚁第一次相遇时，已爬行了多长时间？ 【思维点拨】 2 它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为：5.4÷2=2.7（米）=270（厘米）； ②如不调头，它们相遇时间为：270÷（3.5+5.5）=30（秒）； ③根据它们调头再返回的规律可知：由于1-3+5-7+9-11+13-15+17-19+21-23+35-27+29-31+33-35+37-39+41-43+45-47+49-51+53-55+57=29（秒）； 3 在第57秒时又掉头爬了59秒，然后又掉头当爬到60秒时就相遇了。 相遇时间：60+59+57+55+53+51+49+47+45+43+41+39+37+35+33+31+29+27+25+23+21+19+17+15+13+11+9+7+5+3+1=960（秒） 答：两只蚂蚁第一次相遇时，已爬行了960秒． 2. A、B两地相距1000m,中、乙二人同时分别从A、B两地出发相向而行,甲每分钟走60m,乙每分钟走40m。甲带了一只狗,每分钟跑100m,狗跟甲一起出发,在甲、乙两人之间往返跑动,当甲、乙二人相遇时,狗一共跑了多少米? 【思维点拨】 本题是一道相遇问题的题目，解答此题要明确路程=速度×时间；   因为狗跑的时间就是两人相遇的时间，所以先列方程求出两人的相遇时间；接下来根据路程=速度×时间，列式计算即可。 【解答】 解：设经过x分钟两人相遇。 60x+40x=1000 100x=1000 x=10 100×10=1000（m） 答：狗一共跑了1000m。   3.甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶。甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米? 【思维点拨】 首先是一个相遇过程，相遇时间:6÷(65+55)=0.05(小时)， 相遇地点距离A点:55×0.05=2.75(千米)。 然后乙车调头，成为追及过程，追及时间:6÷(65-55)=0.6(小时)， 乙车在此过程中走的路程:55×0.6=33(千米)，即5圈余3千米， 那么这时距离A点3-2.75=0.25(千米)， 甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3(千米)， 而第4次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与开始相同 所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11÷4=2………3， 所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离A点是3000米。 4. 一个圆的周长为 1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7、…(连续奇数)分钟数调头爬行。这两只蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和 3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇? 【思维点拨】 （144÷2）÷（5.5+3.5）=8 所以T=82=64分钟 再次相遇64+16=80（分钟） 答：经过64分钟它们初次相遇，再次相遇需要多少80分钟。 1.甲、乙两人同时从 A、B两地出发,相向而行,当甲行的路程比全程(A、B两地距离)的多20千米时,与乙相遇,已知甲、乙两人速度比是2:3。求 A、B两地之间的距离。 【思维点拨】转化单位1 20÷（-）=800（米） 2.快车和慢车同时从 A、B两地相向开出,快车行完全程需6小时,慢车行完全程需10小时。两车在中途相遇后,快车又行了20千米,这时快车已行了全程的,则 A、B两地相距多少千米? 【思维点拨】 把两地路程看作单位“1”快车每小时行全程的: ，慢车每小时行全程的: ，相遇时间:1÷(+)= (小时) 相遇时快车行驶全程的: ×= 相遇后快车行驶占全程分率: - = 全程距离:20÷=480(千米) 答:A、B两地相距480千米 3.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时。两车在途中相遇后,客车又行了96千米,这时客车所行路程与剩下路程的比是7:3,甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 相遇时客车与货车路程比：=3:2 96÷（-）=96÷=960（千米） 1.一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 前后速度比1：（1+20%）=5:6 原定时间=1÷（6-5）×6=6（小时） 前后速度比1：（1+25%）=4:5 原定时间=40÷（5-4）×5=200（分钟）=（小时） 速度：120÷（6-）=45（千米/小时） 全程：45×6=270（千米） 2.甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。那么A，B两地相距多少千米? 【思维点拨】 相遇后，甲速度为5×（1-20%）=4=乙的速度。 15÷（-）=135（千米） 3.小明和小军分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。若两人按原定速度前进,则4小时相遇;若两人各自都比原定速度多1千米/时,则3小时相遇。甲、乙两地相距多少千米? 【思维点拨】 由题意可知：每小时多走1千米，两人3小时共多走3×1×2=6千米，这6千米相当于两人按原定速度1小时走的距离，所以甲、乙两地相距6×4=24（千米），据此解答即可． 【解答】 3×1×2=6千米， 甲、乙两地相距6×4=24（千米）； 答：甲、乙两地相距24千米． 4.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行。出发时,甲与乙的速度比是4:3,相遇后,甲的速度增加10%,乙的速度增加20%,这样当甲到达B地时,乙离A地还有17千米,那么A、B两地相距多少千米? 【思维点拨】 根据出发时，甲和乙的速度比是4：3，和相遇后，甲的速度增加10%，乙的速度增加20%，可得：相遇后两人的速度比是（4+4×10%）：（3+3×20%）=11：9，把两地间的距离看作单位“1”，当相遇后，甲到达B地时，甲就行驶了全程的 =，根据时间一定，路程和速度成正比可得：相遇后乙就行驶了甲相遇后行驶路程的 ，求出相遇后乙行驶的路程占总路程的量，然后根据相遇地点距A站的距离是全程的 ， 进而求出乙车再相遇后行驶的量比相遇地点距A站的距离少的量，也就是17千米占两地间距离的分率，依据分数除法意义即可解答． 【解答】 解：（4+4×10%）：（3+3×20%）=11:9 17÷（-×）=77（千米） 5. 甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次在C地相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,当甲到达B地时,乙离A地还有42千米,A、B两地间的距离是多少千米? 【思维点拨】 第一次相遇时甲乙二人的路程比是3：2 则甲行了全程的，乙行了全程的， 相遇后二人的速度比是[3×（1+20%）]:[2×（1+30%）]=18:13 则当甲到达B时,甲乙的行程比是18:13 甲行了,则乙行了÷18×13= 此时乙离A地有 1--= 14÷=45（千米） 6. 客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。出发时客、货车的速度比是6:5。相遇后,客车的速度减少20%,货车的速度增加20%这样,当货车到达甲地时,客车离乙地还有 10 千米,那么甲、乙两地相距多少千米? 【解答】 解：根据题意，相遇后客车、货车的速度比是： （6-6×20%）：（5+5×20%） =（6-1.2）：（5+1） =4.8：6 =4：5 10÷（-×） =10×55 =550（千米） 答：甲、乙两地相距550千米。 7. 甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行,已知甲、乙的速度比是8:3.第一次相遇后,甲的速度降为原来的一半,乙的速度提升为原来的2倍,这样当甲到达B地时,乙距离A地还有700米。那么A、B两地之间相距多少米? 【思维点拨】 如图,从甲、乙出发到第一次相遇的过程中,甲、乙走的时间相同,那么甲、乙走的路程比就等于它们的速度比,等于8:3,即图中x:y=8:3从甲、乙第一次相遇到甲到达B地的过程中,甲、乙走的时间也相同,那么这时甲、乙走的路程比等于它们的速度比,等于(8×)：（3×2）=2:3,即图中y:z=2:3 x:y=8:3=16:6, y:2=2:3=6:9 所以x:z=16:9 从图中可以看出,x比z多 700米,所以 x=700÷（1-）=1600(米)， y=1600×=600（米） 所以A、B两地之间相距1600+600=2200(米) 1.甲、乙两人同时从山底开始沿同一条山路爬山，到达山顶后立即沿原路返回。已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的3倍，甲、乙在离山顶150米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程。 【思维点拨】 因为甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的3倍,所以当甲回到山底时,若甲下山和上山速度相同,则在这段时间内,甲下山的路程只占山路长度的，当乙下到半山腰,若乙下山和上山速度相同,则在这段时间内,乙下山的路程只占山路长度的。又因为当甲回到山底时,乙刚好下到半山腰,所以甲、乙两人上山的速度比是 【解答】 (1+):(1+)=8:7 同理,甲下到距山顶 150米处,若甲下山和上山速度相同,则下山这段时间内,甲只能走50米,由甲、乙在离山顶150米处相遇,知山底到山顶的路程是 (150+50)÷(8-7)×7+150=1550(米) 2.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍，甲到山顶时乙距山顶还有600米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的距离。 【思维点拨】 ①把下山路程转换为都上山路程，再得出甲、乙两人速度比（路程比） ②甲回到山脚时行了2个全程，乙此时回到半山腰行了1.5个全程。 ③由于两人下山速度是上山速度的2倍，则上山爬的路程是下山行走路程的一半。 ④路程转换：甲下山行走的1个全程，转换为上山0.5个全程，所以甲所行的路程相当于上山行了1+1÷2=1.5个全程；同理乙所行的路程相当于上山行了1+0.5÷2=1.25个全程； ⑤所以甲、乙两人在相同时间内所行的路程比为1.5:1.25=6:5； ⑥甲到山顶时，乙离山顶还有600米，即两人的路程差为600米； ⑧山顶到山脚的路程为：600÷（6-5）×6=3600米。 【解答】 列式：（1+1÷2）：（1+0.5÷2）=6:5 600÷（6-4）×6=3600（米） 3.从甲地到乙地，先骑自行车行驶19分钟，再骑摩托车行驶8分钟到达。如果骑摩托车行驶10分钟，再骑自行车行驶13分钟也恰好到达。如果全程都骑自行车，要行多少分钟? 【思维点拨】 我们需要对比两种走法,自行车和摩托车各用多少时间. 第一次：自行车19分、摩托车8分 第二次：自行车13分、摩托车10分 通过对比数据可以得到：摩托车2分钟走的路程相当于自行车6分钟走的路程. 所以,如果全程都是骑自行车的话,则19+8÷2×6=43（分钟） 【经典测试】参考答案 满分：100分 时间：60分钟 1.A、B两村相距2800米，小明从A村步行出发5分后,小军骑车从B村出发,又经过10分两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分多行130米,小明步行每分行多少米? 【解析】 根据题意可知小明15分钟路程和小军10分钟的路程的和是2800米，又知道小军每分钟比小明多行130米，如果让小军的速度减少130，则小明和小军的速度就相等了，但这时两人的路程和就变成了2800-130×10，据此就可以求出小明的速度． （2800-130×10）÷（5+10×2）=60（m/min） 答：小明步行每分钟行60m． 2.甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。已知甲上午8点经过邮局门口,乙上午10点经过邮局门口,问:甲、乙在中途何时相遇? 【解析】 根据甲的速度是乙的1.5倍，把乙每小时行的路程看作1份，甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局，相差2小时，即甲、乙相距看作2份，由路程÷速度和=时间，列式解答。 我们把乙行1小时的路程看作1份； 那么上午8时，甲乙相距10-8=2份； 所以相遇时，乙行了2÷（1+1.5）=0.8份，0.8×60=48分钟， 所以在8点48分相遇。 答：甲、乙作中途8点48分相遇． 3.甲、乙两车同时从两地相向而行,2.5时后相遇。已知甲车速度是乙车速度的，相遇时乙车比甲车多走40千米,求两车的速度。 【解析】 40÷2.5÷（1-） = 64(千米) ×64 = 54(千米) 答:乙车的速度为64千米/时,甲车的速度为54千米/时。 4.甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行。若甲先出发2时，则在乙动身2.5时后两人相遇;若乙先出发2时，则甲动身3时后两人相遇。求甲、乙二人的速度。 【解析】 这是行程问题中的相遇问题，把两种不同的情况看做走完两个全程，有所走的时间和，求出速度和，再进一步求得两人速度即可。 甲走的时间：2+2.5+3=7.5（小时）， 乙走的时间：2.5+2+3=7.5（小时）， 甲、乙两次走的路程和：36×2=72（千米）， 速度和：72÷7.5=9.6千米， 甲的速度：（36-9.6×2.5）÷2=6（千米）， 乙的速度：9.6-6=3.6（千米）； 【考点点评】本题是行程问题中的相遇问题，抓住路程，速度与时间的关系即可推理解得。 5.甲、乙两车同时从A,B两地相向而行,它们相遇时距A,B两地中心处8千米,已知甲车速度是乙车的1.2倍,求A,B两地的距离。 【解析】 甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6:5，相遇时甲车和乙车行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米。 A、B两地的距离就是11×16=176千米。 2×8×（6+5）=176(千米) 答：A、B两地相距176千米。 6.一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18小时两车在某处相遇，已知客车每时行50千米，货车每小时比客车少行8千米，货车每行驶3小时要停驶1小时。问:两地之间的铁路长多少千米? 【解析】 18÷(3+1) =18+4 =4(次)……2(小时) 4×3+2=14(小时) 18×50+14×(50-8) =900+14×42 =900+588 =1488(千米) 答:两地之间的铁路长1488千米 7.甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时,它们同时从甲地出发到乙地去,出发后6时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 【解析】 乙车与卡车相遇的时间是:6+1=7(小时)设这辆卡车的速度为:千米/小时，由题意列方程得: (52+x)×6=(40+x)x×7 312+6=280+7x X=32 答:这辆卡车的速度为32千米/小时。 8.甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙,此时他们离开学校已30分钟。问:甲乙每分钟各走多少米? 【解析】 甲的速度为 (2400+300)÷30 =2700÷30 =90(米/分钟); 乙的速度为 (2400-300)÷30 =2100÷30 =70(米/分钟) 答:甲每分钟走 90米，乙每分钟走70米。 9.甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去,甲、乙两车的速度分别为 60千米/时和 48千米/时。有一辆迎面开来。卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆相遇。求丙车的速度。 【解析】 卡车行的路程是: (60-48)×6-48=24(千米) 卡车的速度是: 24÷(7-6)=24(千米/小时) A、B两地的路程是: (60+24)×6=504(千米) 卡车行的路程是:24×8=192(千米) 丙车行的路程是:504-192=312(千米) 丙车的速度是:312÷8=39(千米/小时) 答:丙车的速度是39千米/小时。 10.甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车,汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车? 【解析】 乘客6时16分出发从甲站到乙站所用的时间为45分钟，即他7时1分到达乙站。从上午6时到7时1分，乙站发出的车辆在途中都会与乘客相遇。 从6时到7时1分，共61分钟，61÷8=7(辆)…5(分)，7+1=8(辆)，所以途中他能遇到8辆从乙站开往甲站的公共汽车。 11.两辆汽车从两地同时出发，相向而行。已知甲车行完全程比乙车多用1.5时,甲车每时行 40千米,乙车每时行 50千米,出发后多长时间两车相遇? 【解析】 50×[40×1.5÷(50-40)] =50×6 =300(千米) 300÷(40+50) =300÷90 =3 (小时) 答:出发后3小时两车相遇。 12.甲、乙两车同时从 A,B两地相向而行,在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。 【解析】 全程：54×3-42=162-42=120(千米) 两次相遇地点的距离: 120-54-42=24(千米) 答：两次相遇地点的距离是24千米。 13.湖中有A,B两岛,甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A,B两岛同时出发,他们第一次相遇时距A岛700米,第二次相遇时距B岛400米。问:两岛相距多远? 【解析】 由于第一次相遇地点距A岛700米，所以此时甲游了700米，从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全程，所以每共行一个全长甲就游700米，第二次相遇两人共行3个全程，此时甲共游了700×3=2100米，而第二次地点距B点400米，即甲游完一个全程后从B点返回又行了400米，所以两岛相距2100-400=1700米。 700×3-400 =2100-400， =1700（米）． 答：两岛相距1700米。 14.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米? 【解析】 小红提前4分出发，且速度不变，所走的路程不变；则说明小明提高速度后少用了4分钟；这4分钟的路程，就是4×70=280米，但小明的速度增加了90-70=20米，说明这增加的280米必须是增加的速度乘以小明走的时间，由此则可得小明现在与小红相遇时走280÷20=14分，由此利用路程=速度×时间即可解答。 解：小明行驶的时间： 4×70÷（90-70） =280÷20 =14（分钟） 两家相距： （14+4）×52+14×90 =18×52+1260 =936+1260 =2196（米） 答：两家相距2196米 【点评】此题考查了路程、速度与时间的关系的灵活应用，根据题干得出小明4分钟应行驶的路程，从而求出提高速度后相遇时，小明所用的时间，是解决本题的关键。 15.杨平每天早晨按时从家出发步行上学，李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,杨平步行每分行60米,李大爷步行每分行40米,他们每天都准时在途中相遇。有一天杨平提前出门,因此比平时早9分与李大爷相遇,杨平比平时早出门多少分? 【解析】 由于两人是相向而行，所以杨平所走的路程应当是自己所走的路加上李大爷的路程,所以用路程除以速度即是时间，因此，杨平比平时早15分钟出门. 杨平与李大爷速度比为60：40=6：4，这天相遇时，李大爷少走了9分钟，杨平需要多走：9×4÷6=6分钟，所以这天杨平比平时早出门：6+9=15分钟。 (60+40)×9=900(米) 900÷60=15(分钟) 16.甲、乙两车从A,B两地同时出发,相向而行。如果甲车提前一段时间出发,那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米/时,乙车速度是40千米/时。问:甲车提前了多少分出发? 【解析】 因为甲提前出发了一段时间，使得两车提前30分钟相遇，那么甲提前出发所走的路程=甲车的速度和÷(两车相遇提前的分钟数-60)，所以甲提前出发的时间=甲提前出发所走的路程÷(甲车的速度÷60) 解:(60+40)×(30÷60)=50 （千米） 50×(60÷60)=50（分钟） 答：甲车提前了 50分出发。 17.甲、乙两人沿 400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【解析】 本题中根据相遇前后甲、乙的速度之和不变,得到相遇前两人和跑一圈也用24秒, 以甲为研究对象得到方程24x+24(x+2)=400是解答的关键。 解:设甲原速为x米/秒,根据题意得 24x+24(x+2)=400 解得 x= 答:甲原来的速度是米/秒。 18.如图是一个边长100米的正方形,甲、乙两人同时从A点出发,甲逆时针每分行 75 米,乙顺时针每分行45米。两人第一次在CD边(不包括C，D 两点)上相遇,是出发以后的第几次相遇? 【解析】 两人第--次相遇需400÷(75+45)= (分) 其间乙走了45×=150(米) 由此可知乙每走 150米两人相遇一次,依次可推出第一次在CD边相遇是第7次相遇(见下图,图中数字表示第n次相遇的地点)。 19.甲、乙两车分别沿公路从A,B两站同时相向而行,已知甲车的速度是乙车的1.5倍，甲、乙两车到达途中C站的时刻分别为5:00和16:00,两车相遇是什么时刻? 【解析】 甲车到达C站时，乙车还需16-5＝11（时）才能到达C站。 乙车行11时的路程，两车相遇需11÷（1＋1.5）＝4.4（时）＝4时24分 答：相遇时刻是9∶24。 20.甲、乙两车分别同时从A，B两城相向行驶,6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故障抛描,修理2.5时后才继续行驶,因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A城到B城共用多长时间? 【解析】 两车相遇时，甲车实际行驶7.5-2.5=5小时，乙车实际行驶7.5小时 与计划的6小时相遇比较，甲车少行1小时，乙车多行1.5小时 也就是说甲车行1小时的路程，乙车需行1.5小时 进一步推知，乙车行7.5小时的路程，甲车需行5小时 所以，甲车从A城到B城共.5+5=10（小时） 加上修车耽搁的2.5小时 共用10+2.5=12.5小时 21.快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5时,慢车到甲地停留1时后返回,快车到乙地停留2时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间? 【解析】 设全程为1，则两车每小时共行全程的，慢车每小时行全程的 ，则快车每小时行全程的： −=；当两车再次相遇时，如不休息两车又共行了两个全程即为2，根据两车到站后停留的时间可知，当慢车到达甲地并休息之后，快车行了12.5+0.5-1=12小时，此时快车和慢车相距2- ×12=，所以相遇还需要÷ =2.8（小时），则从第一次相遇到第二次相遇共用去12.5+2.8-5=10.8小时。 【解答】 设全程为1，则： 快车每小时行全程的： −= 当慢车到达甲地并休息之后，此时快车和慢车相距： 2- ×（12.5+0.5-1）= 则从第一次相遇到第二次相遇共用去： （12.5+0.5）+ ÷-5=10.8（小时） 答：两车从第一次相遇到第二次相遇共需10.8小时。 22.甲、乙两车同时从A地出发,不停的往返行驶于A,B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问:甲车的速度是乙车的多少倍? 【解析】 设相遇点与A地的距离为a，与B地的距离为b，那么：第一次相遇时，甲车比乙车多行的路程为2b，第二次相遇时，甲车比乙车多行的路程为2a。因为从出发到第二次相遇所行总路程是第一次相遇所行总路程的2倍，所以2a是2b的2倍，即a是b的2倍，由此解答即可。 解：设相遇点与A地的距离为a，与B地的距离为b，那么：第一次相遇时，甲车比乙车多行的路程为2b，第二次相遇时，甲车比乙车多行的路程为2a；因为从出发到第二次相遇所行总路程是第一次相遇所行总路程的2倍，所以2a是2b的2倍，即a是b的2倍；因此，甲车的速度是乙车的：（a+2b）÷a=（a+a）÷a=2倍．如果乙车继续行驶回到A地时，那么甲车也刚好回到A地，这时，甲车行了2个往返，乙车行了1个往返，所以，甲车速度是乙车的2÷1=2倍。 答：甲车的速度是乙车的2倍。 23.在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分? 【解析】 由题意知,甲行4分相当于乙行6分。〔抓住走同一段路程时间或速度的比例关系〕 从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行12分,而乙行12分相当于甲行8分。所以甲环行一周需12+8=20〔分〕 乙需20÷4×6=30〔分〕。 24.A、B两地相距1800米,甲、乙二人分别从 A,B两地同时出发,相向而行。相遇后甲又走了8分到达 B地,乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米? 【解析】 设相遇时间是t,则有: 18:t=t:8 t2=8×18=144=12×12 t=12 甲速度:乙速度=12:8=3:2 甲、乙速度和是:1800÷12=150（米/分） 甲速度:150×=90（米/分） 乙速度:150×=60（米/分） 25.甲、乙两列火车的速度比是5:4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A,B两站距离的比是3:4,那么A,B两站之间的距离为多少千米? 【解析】 5:4=15:12 3:4=15:20 72÷(20-12) =72÷8 =9(千米) (15+20)×9 =35×9 =315(千米) 答:A,B两站之间的距离为315千米。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$