8.4.1平面（第2课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

8.4.1平面（第2课时） 1．【多选题】在空间中，下列命题中正确的是(　　) A．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三个点也不共面 C．若点A既在平面α内又在平面β内，则点A在平面α与平面β的交线上 D．若两点A，B既在直线l上又在平面α内，则l在平面α内 答案　ACD 2.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，点C∉l，又AB∩l＝R.设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上均错 答案　C 3．【多选题】平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　) A．1条　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 答案　ABC 解析　当α经过β，γ的交线时，三个平面有一条交线，故A正确； 当β∥γ时，三个平面有两条交线，故B正确； 当α与β，γ两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线，故C正确； 因为平面都是平坦的，且无限延展的，故三个平面最多只有三条交线，故D错误． 4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状为(　　) A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．矩形 答案　C 解析　如图，设N为AA1的中点，连接MN，NB，BC1，MC1，则梯形MNBC1就是过C1，B，M的正方体的截面．故选C. 5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝M，平面A1C与平面BDC1的交线是________． 答案　C1M 解析　连接C1M，因为C1∈平面A1C，且C1∈平面BDC1，所以点C1在平面A1C与平面BDC1的交线上；同理点M在平面A1C与平面BDC1的交线上，所以平面A1C与平面BDC1的交线是C1M. 6．给出以下四个命题： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有________．(填序号) 答案　① 解析　①假设有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故任意三点不共线，所以①正确；②不正确，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形． 7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)在图①中作出平面ABC1D1与平面A1B1CD的交线； (2)在图②中作出平面A1C1CA与平面A1DCB1的交线． 解析　(1)设AD1与A1D的交点为M，BC1与B1C的交点为N，连接MN，则平面ABC1D1∩平面A1B1CD＝MN.如图1. (2)连接A1C，则平面A1C1CA∩平面A1DCB1＝A1C.如图2. 8.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线． 证明　∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β， ∵AB∩α＝E，∴E∈AB， ∴E∈β， ∴E在α与β的交线l上． 同理，F，G，H也在α与β的交线l上， ∴E，F，G，H四点必定共线． 9.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 证明　不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1. 同理可证，S∈平面ACC1A1， ∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，即S∈CC1，∴AA1，BB1，CC1三线共点． 10.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K. (1)求证：直线MN⊂平面PQR； (2)求证：点K在直线MN上． 证明　(1)∵PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ，∴M∈平面PQR. ∵RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ，∴N∈平面PQR.∴直线MN⊂平面PQR. (2)∵M∈直线CB，CB⊂平面BCD，∴M∈平面BCD. 由(1)知M∈平面PQR， ∴M在平面PQR与平面BCD的交线上， 同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上， ∴M，N，K三点共线，∴点K在直线MN上． 11.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则(　　) A．C，E，F，G四点共面，且CF＝EG B．C，E，F，G四点共面，且CF≠EG C．C，E，F，G四点不共面，且CF＝EG D．C，E，F，G四点不共面，且CF≠EG 答案　B 解析　如图，连接AC，FG，EC，因为G为正方形ABCD的中心，所以AG＝GC.又因为F为AE的中点，所以AF＝FE，所以由三角形的中位线定理可知，FG∥EC，所以由推论3知，C，E，F，G四点共面． 过点E作EH⊥AD于H，连接HG，则EG＝＝＝2.过点F作FT⊥AD于T，连接CT，则CF＝＝＝，所以CF≠EG.故选B. 12．下列命题中正确的个数为________． ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线； ②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面． 答案　2 解析　对于①，因为P∈α，P∈平面ABC，所以P在平面α与平面ABC的交线上，同理R，Q也在两平面的交线上，故P，Q，R三点共线，故①正确． 对于②，因为a∥b，所以a，b可唯一确定一个平面，记为α，因为A∈a，B∈b，a⊂α，b⊂α，所以AB⊂α，即l⊂α，即a，b，l共面于α；同理，a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共直线a，l，所以α，β重合，即a，b，c，l共面，故②正确． 对于③，以如图所示的四棱锥P－ABCD为例． A，B，C，D，P五点不共面，但这五个点确定了7个平面，故③错误．故正确命题的个数为2. 13.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，S是梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC和平面SAD的交线，并说明理由． 解析　很明显，点S是平面SBC和平面SAD的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AD和BC交于点E，如图所示． ∵E∈AD，AD⊂平面SAD， ∴E∈平面SAD. 同理，E∈平面SBC. ∴点E在平面SBC和平面SAD的交线上，连接SE，则直线SE是平面SBC和平面SAD的交线． 14.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图． (1)求证：B，D，E，F四点共面； (2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R. 解析　(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故B，D，E，F四点共面． (2)如图，连接PQ，由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面，设为β.由(1)知B，D，E，F四点共面，设为α.因为P∈BD，而BD⊂α，故P∈α. 又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈(α∩β)．同理可证得Q∈(α∩β)，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，设为R.即R就是所求的交点． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4.1平面（第2课时） 1．【多选题】在空间中，下列命题中正确的是(　　) A．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三个点也不共面 C．若点A既在平面α内又在平面β内，则点A在平面α与平面β的交线上 D．若两点A，B既在直线l上又在平面α内，则l在平面α内 2.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，点C∉l，又AB∩l＝R.设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上均错 3．【多选题】平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　) A．1条　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状为(　　) A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．矩形 5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝M，平面A1C与平面BDC1的交线是________． 6．给出以下四个命题： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有________．(填序号) 7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)在图①中作出平面ABC1D1与平面A1B1CD的交线； (2)在图②中作出平面A1C1CA与平面A1DCB1的交线． 8.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线． 9.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 10.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K. (1)求证：直线MN⊂平面PQR； (2)求证：点K在直线MN上． 11.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则(　　) A．C，E，F，G四点共面，且CF＝EG B．C，E，F，G四点共面，且CF≠EG C．C，E，F，G四点不共面，且CF＝EG D．C，E，F，G四点不共面，且CF≠EG 12．下列命题中正确的个数为________． ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线； ②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面． A，B，C，D，P五点不共面，但这五个点确定了7个平面，故③错误．故正确命题的个数为2. 13.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，S是梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC和平面SAD的交线，并说明理由． 14.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图． (1)求证：B，D，E，F四点共面； (2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$