内蒙古呼伦贝尔市2024-2025学年高一上学期教学质量监测考试数学试卷

第 1 页 共 2 页 2025 年呼伦贝尔市普通高中高一教学质量监测考试 数学试卷 本卷满分 150分,考试时间 120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的. 1.已知集合 A ={-2,-1,0,1,2},B ={-3,-2,0,1,3}，则� ∩ � = A． }210{ ，， B． }10{ ， C． }102{ ，， D． }3210123{ ，，，，，，  2.函数�(�) = � + 3 + ln（1 − �）的定义域为 A.[-3，+∞） B.（-3，1] C.[-3，1] D.[-3，1） 3.设 0.13a  ， � = log0.5 1.5， 3log 2c  ，则 , ,a b c的大小关系是 A．a c b  B． a b c  C．b a c  D． c b a  4.设 ,a bR ，则“ 22 ba  ”是“ ba 22  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 函数   21 xf x x   的图象大致是 A B C D 6.已知幂函数�(�) = (�2 − 2� − 2)��,对任意�1,�2 ∈（0，+∞）且�1 ≠ �2，都有 �(�1)−�(�2) �1−�2 >0,若�, � ∈ R,� + � <0,则�(�) + �(�)的值 A．恒大于 0 B．等于 0 C．恒小于 0 D．无法判断 7. 若正数�, �满足� + 2� = 2，则 4 � + 1 � 的最小值为 A． 15 2 B．3 + 2 2 C．6 D． 3 2 + 2 8. 函数�(�) = �(|�| − 4)在[ , ]m n 上的最小值为-4，最大值是 5，则 n m 的最大值为 A. 7 + 2 2 B. 7 − 2 2 C. 6 D.7 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分,部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9.下列各组函数中，表示同一函数的有 A．�(�) = �2 , �(�) = 3 �6 B．�(�) = �2 , �(�) = ( �)2 C．�(�) = 1 , �(�) = �0 D．� = |�| , � = �2 10.下列命题为真命题的是 A. 若 0a b  ，则 2 2ac bc B. 若 1a ，则 123  aaa C. 若 0,0  dcba ，则 bdac  D. 若� > � > 0，则 1 1 a b  11.已知函数� 2� + 2 是偶函数，且  f x 在  0, 2 上单调递增，则下列结论一定正确的有 A．  f x 的图象关于直线 2x  对称 B． 1 � 12 < 1 � 14 C．� 7 2 < � 3 2 < � 5 2 D．� � + 2 在（0,2）上单调递减 第 2 页 共 2 页 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数� = 3 + log� �过定点 . 13．8 2 3 + (lg5)2 + lg2lg50 + |3 − �| = . 14. 若 �� − 1 = �有两个不同的零点，则实数 a的取值范围为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）已知集合 }22|{},023|{ 2  axaxBxxxA . （1）当 0a 时，求 ∁R�和(∁R�) ∪ �； （2）若 BA ，求 a的取值范围. 16.（15 分）已知α是第三象限角，且 tanα = 3，求下列各式的值 （1）   cossin3 cos2sin   ； （2）     cos1 cos1 cos1 cos1      . 17.（15 分）北京冬奥会以来，我国大力发展“冰雪经济”，2024 年国务院印发了《国务院办 公厅关于以冰雪运动高质量发展激发冰雪经济活力的若干意见》，推动冰雪经济成为新增长点. 呼伦贝尔市积极响应号召，某滑雪场为了优化管理，对雪道进行数据统计分析.研究表明， 雪道上滑雪者的速度 �（单位：km/h）是滑雪者密度�（单位：人/km）的函数，当雪道上 滑雪者密度达到 180 人/km 时，造成堵塞，此时滑雪者速度为 0；当滑雪者密度不超过 30 人/km 时，滑雪者速度为 50km/h，研究表明：当30 180x  时，（�, �）满足� = �� + � （� ∈ N∗）. （1）当 0 < x ≤ 180时，求函数 ( )v x 的表达式； （2）当滑雪者密度 x为多大时，滑雪者流量 ( ) ( )f x x v x  可以达到最大，并求出最大 值．（滑雪者流量是指单位时间内通过雪道上某观测点的人数，单位：人/h） 18.（17 分）定义域均为 R的奇函数 ( )f x 与偶函数�(�)满足�(�) + �(�) = ��． （1）求函数 ( )f x 与�(�)的解析式； （2）证明：[�(�)]2 − [�(�)]2 =− 1； （3）设函数 F（�）=[�(�)]2 + [�(�)]2 −�，F（�）> 0恒成立，求�的取值范围. 19.（17 分）我们知道，函数� = � � 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 � = � � 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数� = � � 的图象关于点 P（�, �）成中 心对称图形的充要条件是函数� = � � + � − �为奇函数.依据推广结论，已知� � = �3 + ��2的图象关于点（-1，2）成中心对称图形. （1）求� � 的解析式； （2）求� −2025 + � −2024 + � 2022 + � 2023 的值； （3）已知� � 在 0， +∞ 上单调递增，若存在�, � ∈ 0, + ∞ ,使得� � 在 �, � 上的值 域为 � �3−�2 �+1 , � � 3−�2 �+1 ,求实数�的取值范围. 第 1 页 共 8 页 2025 年呼伦贝尔市普通高中高一教学质量监测考试 数学试卷参考答案 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的. 1.已知集合 A ={-2,-1,0,1,2},B={-3,-2,0,1,3}，则� ∩ � = A． }210{ ，， B． }10{ ， C． }102{ ，， D． }3210123{ ，，，，，，  【答案】C 【详解】由交集的概念即可得解. 2.函数�(�) = � + 3 + ln（1 − �）的定义域为 A.[-3，+∞) B.(-3，1] C.[-3，1] D.[-3，1) 【答案】D 【详解】由 � + 3 ≥ 0 1 − � > 0得 � ≥− 3 � < 1 ，解得−3 ≤ � <1,即函数�(x)的定义域为[-3，1)，故选 D. 3.设 0.13a  ， � = log0.5 1.5， 3log 2c  ，则 , ,a b c的大小关系是 A．a c b  B． a b c  C．b a c  D． c b a  【答案】A 【详解】因为： 0.13a  > 30=1，b= log0.5 1.5 < log0.5 1=0，0 = log3 1 < log3 2 < log3 3=1 所以 a c b  ，故选：A 4.设 ,a bR ，则“ 22 ba  ”是“ ba 22  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据平方的性质和指数函数的性质，由 22 ba  得 ba  ，由 ba 22  得 a b ，所以“ 22 ba  ” 是“ ba 22  ”的必要不充分条件.故选：B. 5. 函数   21 xf x x   的图象大致是 A B C D 【答案】B 第 2 页 共 8 页 【详解】由 1 − �2 ≠ 0，得� ≠± 1，所以函数的定义域为（−∞,-1）∪（-1,1）∪（1,+∞）故 C 错误； 令�(x) = � 1−�2 = 0，得� =0，所以�(�)只有 1 个零点，故 A 错误；当 0 < � <1时，�(�) = � 1−�2 > 0， 故 D 错误. 故选：B. 6.已知幂函数�(�) = (�2 − 2� − 2)��,对任意�1,�2 ∈（0，+∞）且�1 ≠ �2，都有 �(�1)−�(�2) �1−�2 >0, 若�, � ∈ R,� + � <0,则�(�) + �(�)的值 A．恒大于 0 B．等于 0 C．恒小于 0 D．无法判断 【答案】C 【详解】由�2 − 2� − 2 = 1 得� =− 1或� = 3；由对任意�1,�2 ∈（0，+∞）且�1 ≠ �2，都有 �(�1)−�(�2) �1−�2 >0,可知函数�(�)在（0，+∞）上单调递增，所以� =− 1舍去，� = 3成立，故�(�) = �3 ，函数在（−∞,+∞）上是增函数。由� + � <0，可得� <− �，所以�(�) < �( − �)，即�(�) <− �(�)， 所以�(�) + �(�) <0，故选：C 7. 若正数�, �满足� + 2� = 2，则 4 � + 1 � 的最小值为 A． 15 2 B．3 + 2 2 C．6 D． 3 2 + 2 【答案】B 【详解】由� + 2� = 2 得�2+ � = 1,故 4 � + 1 � =(4 � + 1 � )( � 2 + �)=3+ 4� � + � 2� ≥3+2 2 故选：B. 8. 函数�(�) = �(|�| − 4)在[ , ]m n 上的最小值为-4，最大值是 5，则 n m 的最大值为 A. 7 + 2 2 B. 7 − 2 2 C. 6 D.7 【答案】 A 【详解】当� ≥ 0时�2 − 4�=5，解得�1=5，�2 =− 1（舍去），当� < 0 时− �2 − 4�=-4 解得�3 =− 2 − 2 2，�4 =− 2+ 2 2 （舍去），所以 n-m 的最大值为�1 − �3= 7 + 2 2，故选：A 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分,部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9.下列各组函数中，表示同一函数的有 A．�(�) = �2, �(�) = 3 �6 B．�(�) = �2 , �(�) = ( �)2 C．�(�) = 1 , �(�) = �0 D．� = |�| , � = �2 第 3 页 共 8 页 【答案】AD 【详解】对于A选项，�(�) = 3 �6 = �2 ，故 A正确；对于 B选项，�(�) = �2 = |�| , �(�) = ( �)2 = � 两个函数对应法则不同，B 错误;对于 C 选项,�(�)定义域为 R , �(�) = �0定义域为（−∞,0）∪（0,+∞）， 两个函数定义域不同，C 错误；对于 D 选项，� = �2 = |�|，两个函数对应关系和定义域均相同， 所以 D 正确.故选 AD 10.下列命题为真命题的是 A. 若 0a b  ，则 2 2ac bc B. 若 1a ，则 123  aaa C. 若 0,0  dcba ，则 bdac  D. 若� > � > 0，则 1 1 a b  【答案】BCD 【详解】A. 若 0a b  ，则 2 2ac bc 错误，如 0c = 时， 2 2ac bc ，所以该选项错误； B. 若 1a ，则 0)1)(1(1)1(1 2223  aaaaaaaa ）（ ，所以该选项正确； C. 由不等式性质得该选项正确； D. 若� > b > 0，则 1 � − 1 � = �−� �� < 0，所以 1 1a b ,所以该选项正确. 故选：BCD 11.已知函数� 2� + 2 是偶函数，且  f x 在  0,2 上单调递增，则下列结论一定正确的有 A．  f x 的图象关于直线 2x  对称 B． 1 � 12 < 1 � 14 C．� 7 2 < � 3 2 < � 5 2 D．� � + 2 在(0,2)上单调递减 【答案】AD 【详解】因为函数� 2� + 2 是偶函数，所以� −2� + 2 = � 2� + 2 即� −� + 2 = � � + 2 所以  f x 的图象关于直线 2x  对称，所以 A 正确；  f x 在  0, 2 上单调递增� 1 2 > � 1 4 但正负不确定， 所以 B 错误；� 3 2 = � 5 2 所以 C 错误；� ∈(0,2)时� + 2 ∈ 2，4 所以 D正确.故选：AD 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数� = 3+log� �图象过定点 . 【答案】（1，3） 13．8 2 3 + (lg5)2 + lg2lg50 + |3 − �| = 【答案】2+� 第 4 页 共 8 页 14. 若 �� − 1 = �有两个不同的零点，则实数 a的取值范围为 . 【答案】由函数图象易得 0 < � < 1 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）已知集合 }22|{},023|{ 2  axaxBxxxA . （1）当 0a 时，求 ∁R�和(∁R�) ∪ �； （2）若 BA ，求 a的取值范围. 【详解】（1） }21|{}023|{ 2  xxxxxA ··················································2 分 ∁R� }21|{  xxx 或 ········································································4 分 当 0a 时， }20|{}22|{  xxaxaxB ····································5 分 (∁R�) B }2|{  xx ·········································································7 分 （2）若 BA ，则         222 1 22 a a aa (其中� < 2� + 2 不写不扣分.)········································· 10 分 解得 10  a . 所以 a的取值范围是 10  a ……………………………………………………………………………13 分 16.（15 分）已知α是第三象限角，且 tanα = 3，求下列各式的值 （1）   cossin3 cos2sin   ； （2）     cos1 cos1 cos1 cos1      . 【详解】 解法一：（1） 3tan  10 1 1tan3 2tan cossin3 cos2sin            ……………………………………6 分 （2）         2 2 2 2 sin )cos1( sin )cos1( cos1 cos1 cos1 cos1          ………………………………… 8 分 |sin| cos1 |sin| cos1         …………………………………………………………………………………10 分 |sin| cos2    …………………………………………………………………………………………………11 分 而 为第三象限角， 0sin  …………………………………………………………………………13 分 第 5 页 共 8 页 ∴ 3 2 tan 2 sin cos2 cos1 cos1 cos1 cos1               …………………………………………15 分 解法二：（1） 3tan  ，且 为第三象限角 由 1cossin 22   得 10 1cos, 10 3sin   …………………………………………………4 分  10 1 10 1 10 33 10 12 10 3 cossin3 cos2sin       ）（  ………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知 10 1cos  ，所以 9 )110( 9 10211 10 11 10 11 cos1 cos1 2           …………9 分 即 3 110 cos1 cos1       ， 3 110 110 3 cos1 cos1         ……………………………………………13 分 所以 3 2 cos1 cos1 cos1 cos1           …………………………………………………………………………15 分 17.（15 分）北京冬奥会以来，我国大力发展“冰雪经济”，2024 年国务院印发了《国务院办公厅关 于以冰雪运动高质量发展激发冰雪经济活力的若干意见》，推动冰雪经济成为新增长点.呼伦贝尔市 积极响应号召，某滑雪场为了优化管理，对雪道进行数据统计分析.研究表明，雪道上滑雪者的速 度 �（单位：km/h）是滑雪者密度�（单位：人/km）的函数，当雪道上滑雪者密度达到 180 人/km 时，造成堵塞，此时滑雪者速度为 0；当滑雪者密度不超过 30 人/km 时，滑雪者速度为 50km/h， 研究表明：当30 180x  时，（�, �）满足� = �� + �（� ∈ N∗）. （1）当 0 < x ≤ 180时，求函数 ( )v x 的表达式； （2）当滑雪者密度 x为多大时，滑雪者流量 ( ) ( )f x x v x  可以达到最大，并求出最大值．（滑 雪者流量是指单位时间内通过雪道上某观测点的人数，单位：人/h） 【详解】（1）由题意：当 0 < � < 30时， ( ) 50v x  ； ………………………………………………………2 分 当30 180x  时，再由已知得 180 0 30 50 a b a b      ， …………………………………………………4 分 解得 1 3 60 a b       ，………………………………………………………………………………………………6 分 故函数 ( )v x 的表达式为�(�) = 50 , 0 < � < 30 1 3 (180 − �), 30 ≤ � ≤ 180；� ∈ N ∗………………………7 分 第 6 页 共 8 页 （� ∈ N∗不标不扣分） （2）依题意并由（1）可得�(�) = 50� , 0 < � < 30 1 3 (180 − �)�, 30 ≤ � ≤ 180 ……………………………………9 分 当 0 < � < 30时， ( )f x 为增函数，故 ( )f x <1500；………………………………………………11 分 当30 180x  时， 2 1 1( ) (180 ) ( 90) 2700, 3 3 f x x x x      所以，当 90x  时， ( )f x 在区间[30,180]上取得最大值 2700；…………………………………14 分 即当滑雪者密度为 90 人/千米时，滑雪者流量可以达到最大，最大值 2700 人/小时.…15 分 18.（17 分）定义域均为 R的奇函数 ( )f x 与偶函数�(�)满足�(�) + �(�) = ��． (1)求函数 ( )f x 与�(�)的解析式； (2)证明：[�(�)]2 − [�(�)]2 =− 1； (3)设函数 F(�)=[�(�)]2 + [�(�)]2 −�，F(�)> 0恒成立，求�的取值范围. 【详解】（1）∵ �(�) + �(�) = ��， ∴ �( − �) + �( − �) = �−� ① …………………………………………………………2 分 ∵ �(�)为奇函数，�(�)为偶函数 ∴ �( − �) =− �(�)，�( − �) = �(�) ∴ − �(�) + �(�) = �−� ② …………………………………………………………4 分 由①②联立方程组解的�(�) = � �−�−� 2 ,�(�) = � �+�−� 2 …………………………6 分 （2）[�(�)]2 − [�(�)]2 = （ � �−�−� 2 ） 2 − ( � �+�−� 2 ) 2 = � 2�−2+ �−2� 4 − � 2�+2+ �−2� 4 =− 1 …………………………………………………………10 分 （3）F(�)=[�(�)]2 + [�(�)]2 −� = （ �� − �−� 2 ） 2 +（ �� + �−� 2 ） 2 −� = � 2�−2+ �−2� 4 + � 2�+2+ �−2� 4 −� = � 2�+�−2� 2 −� …………………12 分 由F(�)> 0恒成立可得 � 2�+�−2� 2 > �恒成立………………………………………………………14分 ∵ � 2�+�−2� 2 ≥ �2��−2� =1（当且仅当� = 0时“=”成立）……………16 分 ∴ � < 1，故�的取值范围是（−∞,1）………………………………………………………17 分 19.（17 分）我们知道，函数� = � � 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数� = � � 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数� = � � 的图象关于点 P(�, �)成中心对称图形的充要 第 7 页 共 8 页 条件是函数� = � � + � − �为奇函数.依据推广结论，已知� � = �3 + ��2的图象关于点（-1，2） 成中心对称图形. （1）求� � 的解析式； （2）求� −2025 + � −2024 + � 2022 + � 2023 的值； （3）已知� � 在 0， +∞ 是单调递增，若存在�, � ∈ 0, + ∞ ,使得� � 在 �, � 上的值域为 � �3−�2 �+1 , � � 3−�2 �+1 ,求实数�的取值范围. 【详解】 （1）解法一：设� � = � � + � − � ∵� � = �3 + ��2图象关于（-1，2）成中心对称 ∴ � � = � � − 1 − 2 = � − 1 3 + � � − 1 2 − 2为奇函数 ……………………………2 分 ∴ � −� + � � = 0 …………………………………………………………………………………3 分 化简得： 2� − 6 �2 + 2� −6=0………………………………………………………………5 分 ∴ 2�-6=0 解得�=3 ∴ �(�) = �3 + 3�2 ………………………………………………………………………………6 分 解法二：∵� � = �3 + ��2图象关于（ − 1，2）成中心对称 ∴� � = � � − 1 − 2 = � − 1 3 + � � − 1 2 − 2为奇函数…………………………………2 分 ∴� 0 =− 1 + � − 2 = 0…………………………………………………………………………………3 分 解得�=3 ……………………………………………………………………………………………… 4 分 经验证 �=3 符合题意…………………………………………………………………………… 5 分 ∴� � = �3 + 3�2 ………………………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）得� −� − 1 + � � − 1 = 4………………………………………………………………………8 分 ∴� −2025 +� −2024 +� 2023 +� 2022 = 8 …………………………………………………… 9 分 （3）∵� � 在 0， +∞ 是单调递增，�, � ∈ 0， +∞ ∴ � � 在 �, � 上的值域为 �3 + 3�2，�3 + 3�2 ……………………10 分 由题意得 �3 + 3�2 = � � 3−�2 �+1 �3 + 3�2 = � � 3−�2 �+1 变形得 �+ 3 � + 1 = � � − 1 � + 3 � + 1 = � � − 1 所以关于�的方程 � + 3 � + 1 = � � − 1 在 0， +∞ 有两个不相等的实数根�, �………13 分 化解得 �2 + 4 − � � + 3 + � = 0 第 8 页 共 8 页 ∴ �−4 2 > 0 3 + � > 0 ∆ = 4 − � 2 − 4 3 + � > 0 ……………………………………………………………………16 分 解得 � > 6 + 4 2 ………………………………………………………………………………………17 分