培优练11：圆锥曲线的切线与光学性质-2025届高三数学二轮复习

培优练11　圆锥曲线的切线与光学性质 一、单选题 1.如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆的长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝(　　) ∶ 1∶ 1∶3 1∶ 2.(2024·泉州调研)智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的大小为(　　) 3.(2024·西安质检)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点A，平行于对称轴的光线经过点A反射后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为(　　) 2 4.(2024·成都诊断)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则直线l1与l2间的距离最小值为(　　) 2 4 8 16 5.(2024·郑州质检)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，cos∠ABC＝，则该椭圆的离心率为(　　) 6.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆E交于点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|＝，＝，则＝(　　) 7.圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连接的夹角.请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点M在F1P延长线上，点Q的坐标为，且PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是(　　) ＝3 |＋|＝2 点P到x轴的距离为 ∠F2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150° 二、多选题 8.(2024·广州调研)双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为－＝1，则(　　) 双曲线的焦点F2到渐近线的距离为 若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42 若n过点Q(3，6)时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8 反射光线n所在直线的斜率为k，则|k|∈ 9.(2024·青岛模拟)抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光线l1从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线l2射出，经过点N，则(　　) 若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8 若l1的方程为y＝2，∠PQM＝∠MQN，则M(13，2) 延长PO，与NQ交于点D，则点D在C的准线上 抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l1所成角相等 三、填空题 10.(2024·石家庄调研)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的对称轴，已知抛物线y2＝2x，若从点Q(3，2)发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则|AB|＝________. 11.(2024·汉中二模)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程＋＝1，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为________. 12.(2024·长沙二模)椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)，F1，F2为其左、右焦点.M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF1|的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点F2关于直线l的对称点P(x1，y1)，S＝|3x1＋4y1－24|，则椭圆C的离心率为________，S的取值范围为________. 参考答案 1.C　[曲线C的方程为x2＋4y2＝4， 即为＋y2＝1，则有a＝2， 故有|PF1|＋|PF2|＝4， 又|PF1|＝1， 所以|PF2|＝3， 根据椭圆的光学性质，PM是∠F1PF2的平分线， 所以＝＝.] 2.D　[因为e＝，所以c＝a，a＝b， 不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1， 设|PF2|＝m，则|PF1|＝2＋m(m>0). 所以m2＋(m＋2)2＝(2)2， 解得m＝－1(m＝－－1已舍去). 所以cos∠F1F2P＝＝， 所以∠F1F2P＝75°＝.故选D.] 3.C　[设抛物线方程为y2＝2px， 将点A代入可得1＝2p×， 解得p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x，焦点为F(1，0)，准线为x＝－1， 由题意可得，直线AB的方程为 y－0＝(x－1)， 即y＝－(x－1)， 由可得y2＋3y－4＝0， 解得或 所以A，B(4，－4)， 可得AB的中点为， 所以线段AB的中点到准线的距离为＋＝＋1＝，故选C.] 4.B　[由 抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1，0)， 设直线AB的方程为x＝ty＋1， 将直线AB的方程代入y2＝4x中， 得y2－4ty－4＝0， 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， 直线l1与l2间的距离d＝|y1－y2| ＝＝≥4， 当t＝0时，d取最小值4，故选B.] 5.C　[由题意， 连接AF1，BF1， 由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线， 在△ABF1中， 因为AB⊥AD， 且cos∠ABF1＝＝， sin∠ABF1＝＝＝， 即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5， 可设|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k， 由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a， 则4k＋3k＋5k＝4a， 即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k， 在Rt△AF1F2中， |F1F2|＝＝3k＝2c， 则e＝＝＝.] 6.A　[如图， 由椭圆的光学性质可得M，A，F1三点共线. 设|BF2|＝x， 则|BF1|＝2a－x， |MF1|＝|AF1|＋|MA|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋x. 故＝＝，解得x＝. 又|AB|＝，所以|AF2|＝，|AF1|＝. 所以＝ ＝＝＝.] 7.D　[由已知可得PQ是双曲线的一条切线， 设点P(x0，y0)， 则切线PQ为x0x－＝1， 将点Q代入切线方程，可得x0＝， 所以P(，2)，即点P到x轴的距离为2，所以C错误； 由双曲线的方程可得F2(，0)， 由角平分线定理可知＝＝2，故A错误； 因为|＋|＝2||＝2，故B错误； 又因为直线PQ的斜率为， 所以∠F2PM的角平分线所在直线的斜率为－，即倾斜角为150°，故D正确.] 8.ABD　[对于A，由双曲线C的方程为－＝1知双曲线的渐近线方程为 x±2y＝0， 焦点F2(5，0)到直线x±2y＝0的距离为＝，故A正确； 对于B，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°. 因为P在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4. 由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2. 二者联立解得|PF1|·|PF2|＝ ＝＝42，故B正确； 对于C，光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|－2a＋|PQ|＝|F1P|＋|PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝－4＝6，故C不正确. 对于D，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，设左、右顶点分别为A，B. 如图所示，当m与同向共线时，n的方向为，此时k＝0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为|k|<. 即|k|∈，故D正确.] 9.BCD　[对于A，B，若l1的方程为y＝2， 则P，又F(2，0)， ∴直线PF的斜率k＝＝－， ∴直线PF的方程为y＝－(x－2)， 联立得2x2－17x＋8＝0， ∴x1＝，x2＝8，∴Q(8，－8)， ∴|PQ|＝x1＋x2＋4＝，A错误； 由P，Q(8，－8)，得直线PQ的方程为 4x＋3y－8＝0，直线l2的方程为y＝－8， 若∠PQM＝∠MQN，则点M在∠PQN的平分线上，点M到直线PQ和到直线l2的距离相等， 设M(a，2)， 则有＝2－(－8)， 由a>0，解得a＝13，所以M(13，2)，B正确； 对于C，抛物线C：y2＝8x，焦点坐标F(2，0)，准线方程x＝－2， 设P，Q， 由∥，得y2＝y1， 即y1y2(y2－y1)＝16(y1－y2)， 由y1≠y2，得y1y2＝－16， 又直线PO的斜率kPO＝， ∴直线PO的方程为y＝x，直线NQ的方程为y＝y2， 延长PO，与NQ交于点D，由y2＝x得x＝＝＝－2，即点D横坐标为－2，所以点D在C的准线上，C正确； 对于D，设抛物线C在点P处的切线为l， 且l与x轴交于点T，在l上的P点右侧取一点S(如图)，由抛物线的光学性质可得∠SPM＝∠TPF， 即抛物线C在P处的切线分别与PF，l1所成角相等，D正确.] 10.　[由条件可知AQ与x轴平行，令yA＝2，可得xA＝2， 故A点坐标为(2，2)， 因为lAB经过抛物线焦点F， 所以lAB方程为y－0＝， 整理得4x－3y－2＝0，联立 得8x2－17x＋2＝0， 所以xA＋xB＝， 所以|AB|＝xA＋xB＋p＝.] 11.8　[如图，根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行， 碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为a2＝4⇒a＝2，所以小球经过的路程为4×2＝8.] 12.　[7，47]　[根据椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|MN|＋|MF1|＝|MN|－|MF2|＋2a≤|NF2|＋2a， 因为|MN|＋|MF1|的最大值为6， 因为a＝2，所以|NF2|＝2，即＝2，解得c＝1，所以离心率为＝. 右焦点F2(1，0)关于直线的对称点P(x1，y1)， 设切点为A，由椭圆的光学性质可得P，A，F1三点共线，所以|F1P|＝|F1A|＋|AP|＝|F1A|＋|AF2|＝2a＝4， 即点P(x1，y1)的轨迹是以(－1，0)为圆心，半径为4的圆， 圆心(－1，0)到直线3x＋4y－24＝0的距离为＝， 则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值－4＝，最大值＋4＝， 所以点P(x1，y1)到直线3x＋4y－24＝0的距离为， 所以S＝|3x1＋4y1－24|表示点P(x1，y1)到直线3x＋4y－24＝0的距离的5倍， 则S＝|3x1＋4y1－24|∈， 即S∈[7，47].] 学科网（北京）股份有限公司 $$