9.4矩形、菱形、正方形 同步练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形、正方形 （同步练习） （满分100分，时间90分钟） 1、 选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 2.下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则这个四边形一定是菱形 3.用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 4.如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 5.如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（　　） A. 2.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 7.如图，矩形中，，，点为直线的一点，连，平移至，连接、，则四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 8.如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，ΔBMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ） A. m发生变化，n存在最大值 B. m发生变化，n存在最小值 C. m不发生变化，n存在最大值 D. m不发生变化，n存在最小值 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.菱形周长是20，对角线长的比为，则菱形的面积为_____． 10.在菱形中，若，则________． 11.如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________． 12.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是__________． 13.如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足的条件是_____． 14.如图，正方形中，，，，则面积为______________． 15.如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴上一动点，连接并延长至点D，使，取y轴上一点B，以，为边作，连接，则长度的取值范围为______． 16.如图，矩形中，，，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 18.已知四边形是矩形，是等边三角形，请仅用无刻度直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图①中，作的平分线： （2）在图②中，作菱形，使E，F，G，H四点均在矩形的各边上． 19.在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 20.如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落对角线上，连接，． （1）若，则______°； （2）求证：． 21.我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为a，b（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”=_________时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 22.如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是，的中点，顺次连接各点得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：是菱形． 23.如图，中，，和的外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，点B，D为垂足． （1）求证：四边形是正方形； （2）若（a为常数），求的值． 24.如图①，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． （1）如图②，射线恰好经过点B．试求此时t的值． （2）当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 【答案】D 2.下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则这个四边形一定是菱形 【答案】A 3.用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4.如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 5.如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（　　） A. 2.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 【答案】A 7.如图，矩形中，，，点为直线的一点，连，平移至，连接、，则四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 8.如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，ΔBMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ） A. m发生变化，n存在最大值 B. m发生变化，n存在最小值 C. m不发生变化，n存在最大值 D. m不发生变化，n存在最小值 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.菱形周长是20，对角线长的比为，则菱形的面积为_____． 【答案】24 10.在菱形中，若，则________． 【答案】 11.如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________． 【答案】（答案不唯一） 12.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是__________． 【答案】15°或75° 13.如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足的条件是_____． 【答案】 14.如图，正方形中，，，，则面积为______________． 【答案】 15.如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴上一动点，连接并延长至点D，使，取y轴上一点B，以，为边作，连接，则长度的取值范围为______． 【答案】 16.如图，矩形中，，，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为______． 【答案】或 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 【答案】，， 证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． 即平分菱形的一组对角． 18.已知四边形是矩形，是等边三角形，请仅用无刻度直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图①中，作的平分线： （2）在图②中，作菱形，使E，F，G，H四点均在矩形的各边上． 【答案】（1）如图①中，射线即为所求； （2）如图②中，四边形即为所求． 19.在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】证明：分别是的中点， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形 连接交于点，作射线，射线即为所求． 20.如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落对角线上，连接，． （1）若，则______°； （2）求证：． 【答案】（1）50 （2）连接， 由旋转的性质可知，矩形矩形， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 21.我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为a，b（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”=_________时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 【答案】（1）由题意可得： 当时，菱形为正方形， ∴； （2）连接和，交于点O，设， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即菱形的“神似度”为． 22.如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是，的中点，顺次连接各点得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：是菱形． 【答案】（1）∵点E与点H分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）∵点F与点H分别为，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴是菱形． 23.如图，中，，和的外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，点B，D为垂足． （1）求证：四边形是正方形； （2）若（a为常数），求的值． 【答案】（1）作于G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）根据解析（1）可知，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：， ∴ ． 24.如图①，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． （1）如图②，射线恰好经过点B．试求此时t的值． （2）当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在这样t值，使得QE=QB，t的值为秒或10秒． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$