9.4矩形、菱形、正方形 巩固练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形、正方形 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【例2】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 【例3】如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【例4】如图，、两点的坐标分别为、，是平面直角坐标系内一点．若四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【例5】 如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为_______． 【例6】如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为52，，求的长． 【举一反三】 【变式1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形 【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A．24 B．48 C．72 D．96 【变式3】如图，将矩形绕点A旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【变式4】如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________． 【变式5】如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点D作于点H，已知，，则________． 【变式6】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当AB＝AC时，判断四边形ADCF的形状，并说明理由． 【巩固练习】 1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 有一个内角等于 B. 对角线互相平分 C. 邻边相等 D. 对角线相等 2.如图，由两个等宽的矩形叠合而得到的四边形是（ ） A. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 B. 不是中心对称图形，但是轴对称图形 C. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 D. 既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.给出下列判断，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形 4. 如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点E．于点F，已知，，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.顺次连接一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个____． 6.如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______． 7.如图，矩形中，，，点在上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为______． 8.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1，则图1中菱形的面积为________． 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 10.在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知，．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段组成一个以为底，且腰长为无理数的等腰三角形． （1）填空：C点的坐标是　 　 ，的面积是 　 　； （2）将绕点C旋转180°得到，连接、，则四边形的形状是何特殊四边形？　 　 ． （3）请探究：在y轴上是否存在这样的点P，使四边形的面积等于面积的2.5倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由． 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF． （1）求证：CG＝CE； （2）判断四边形CGFE的形状，并证明； （3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度． 12.如图1，，，，分别是四边形各边的中点，且，，． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图2，依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，……以此类推，取，，，的中点，，，，根据信息填空： ①四边形的面积是__________； ②若四边形的面积为，则________； ③试用表示四边形的面积___________． 答案解析 【典型例题】 【例1】关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【例2】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 【答案】B 【例3】如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】C 【例4】如图，、两点的坐标分别为、，是平面直角坐标系内一点．若四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】 【例5】 如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为_______． 【答案】4 【例6】如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为52，，求的长． 【答案】（1）∵， ∴． ∵直线是对角线的垂直平分线， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【举一反三】 【变式1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形 【答案】D 【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【变式3】如图，将矩形绕点A旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【变式4】如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________． 【答案】10 【变式5】如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点D作于点H，已知，，则________． 【答案】 【变式6】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当AB＝AC时，判断四边形ADCF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE． ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC． ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：四边形ADCF是矩形．理由如下： 在△ABC中，AB＝AC，AD是斜边BC上的中线， ∴AD⊥BC， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴平行四边形ADCF是矩形． 【巩固练习】 1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 有一个内角等于 B. 对角线互相平分 C. 邻边相等 D. 对角线相等 【答案】C 2.如图，由两个等宽的矩形叠合而得到的四边形是（ ） A. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 B. 不是中心对称图形，但是轴对称图形 C. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 D. 既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】D 3.给出下列判断，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形 【答案】D 4. 如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点E．于点F，已知，，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 5.顺次连接一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个____． 【答案】菱形 6.如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______． 【答案】 7.如图，矩形中，，，点在上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为______． 【答案】 8.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1，则图1中菱形的面积为________． 【答案】8 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 【答案】∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD． ∵D为BC的中点， ∴CD＝DB． ∴CD∥AE CD＝AE， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC， ∴AC＝DE． ∴平行四边形ADCE是矩形． 10.在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知，．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段组成一个以为底，且腰长为无理数的等腰三角形． （1）填空：C点的坐标是　 　 ，的面积是 　 　； （2）将绕点C旋转180°得到，连接、，则四边形的形状是何特殊四边形？　 　 ． （3）请探究：在y轴上是否存在这样的点P，使四边形的面积等于面积的2.5倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）矩形 （3） 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF． （1）求证：CG＝CE； （2）判断四边形CGFE的形状，并证明； （3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度． 【答案】证明：（1）∵AE平分∠CAB ∴∠CAE＝∠BAE ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90° ∴∠CEG＝∠AGD＝∠CGE ∴CG＝CE （2）四边形CGFE是菱形 理由如下： ∵GF∥BC ∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE ∴∠AGC＝∠AGF 又∵∠CAE＝∠BAE，AG＝AG ∴△AGC≌△AGF（ASA） ∴CG＝FG ∴CE∥FG且CE＝FG ∴四边形CEFG是平行四边形 又∵CG＝CE， ∴四边形CEFG是菱形． （3）∵△AGC≌△AGF ∴AC＝AF＝3cm， ∴BF＝2AF＝6cm，AB＝9cm， ∴BC＝＝6cm ∵四边形CGFE是菱形 ∴EF∥CG，且CD⊥AB ∴EF⊥AB， 设CE＝EF＝x， 在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2， ∴x2+36＝（6﹣x）2， 解得x＝ ∴CE＝CG＝cm 又∵∠ACB＝90°，且CD⊥AB， ∵S△ABC＝×AC×BC＝AB×CD ∴CD＝＝2cm ∴DG＝CD﹣CG＝2﹣＝cm 12.如图1，，，，分别是四边形各边的中点，且，，． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图2，依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，……以此类推，取，，，的中点，，，，根据信息填空： ①四边形的面积是__________； ②若四边形的面积为，则________； ③试用表示四边形的面积___________． 【答案】（1）四边形矩形， 证明：∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵， 易得， ∴四边形是矩形； （2）①由题意可知：A1B1=AC=3，A1D1=BD=5， 四边形的面积=3×5=15； ②由构图过程可得：A2D2=B2C2=B1D1==，C2D2=B2A2=A1C1==， 可知四边形为菱形， ∴===； 同理可求：=，=，…，=， 故当四边形的面积为时，=， 解得：n=5； ③由②可知：用表示四边形的面积为. 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