5.3.2函数的极值与最大(小)值(第一课时）同步检测-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大(小)值(第一课时）（同步检测） 一、选择题 1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法错误的是(　　) A.－2是函数y＝f(x)的极小值点 B.1是函数y＝f(x)的极值点 C.y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零 D.y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增 2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A.在区间(－∞，0)上，f(x)单调递增 B.在区间(2，4)上，f(x)单调递减 C.2为f(x)的极大值点 D.f(x)有2个极小值 3.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.－1是f(x)的极小值点 B.曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零 C.f(x)在区间(－∞，3)上单调递减 D.－3是f(x)的极小值点 4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则实数a的值为(　　) A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5 5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1) B.(0，＋∞) C.(0，1) D.(－1，0) 6.已知函数f(x)＝x3＋a2x2＋ax＋b，当x＝－1时，函数f(x)的极值为－，则a＋b等于（ ）A.　 B.－　 C.　 D.－ 7.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　) A.y＝x3＋6x2＋9x B.y＝x3－6x2＋9x C.y＝x3－6x2－9x D.y＝x3＋6x2－9x 8.(多选)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　) A.－3是f(x)的一个极小值点 B.－2和－1都是f(x)的极大值点 C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3) 9.(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0，π)上单调递增 C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点 二、填空题 10.若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m＝________ 11.若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________ 12.已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________ 13.若实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝－x3＋3x的极大值为b，极小值为c，则ad＝______ 三、解答题 14.已知函数f(x)＝x3＋x2－8x＋7，求函数的单调区间和极值点． 15.设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0)． (1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值； (2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：f′(1)＝0，但在x＝1附近的左、右两侧的导函数值同号，则1不是f(x)的极值点． 2.D 解析：结合导函数的图象考查所给的选项，当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，选项A错误；当2＜x＜4时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，选项B错误；f(x)在区间(0，4)上单调递增，所以2不是f(x)的极值点，选项C错误；f(0)和f(6)为f(x)的极小值，选项D正确．故选D． 3.B 解析：结合导函数图象可知当x＜－3或x＞3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当－3＜x＜3时f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在区间(－∞，－3)，(3，＋∞)内单调递增，在区间(－3，3)内单调递减，C错误；所以－3是f(x)的极大值点，3是f(x)的极小值点，不存在其他极值点，A，D错误；又因为f′(2)＜0，所以f(x)在x＝2处切线斜率小于零，B正确．故选B． 4.D 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，∴a＝5． 5.D 解析：若a＜－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1＜a＜0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值；若a＞0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾．故选D． 6.B 解析：由f(x)＝x3＋a2x2＋ax＋b，则f′(x)＝x2＋2a2x＋a，又当x＝－1时，函数f(x)的极值为－，则解得或当a＝1时，f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上单调递增，即函数f(x)没有极值，不合题意；当a＝－时，f′(x)＝x2＋x－＝(2x－1)·(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，此时f(x)在(－∞，－1)上单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，此时f(x)在上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，此时f(x)在上单调递增，即当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，符合题意，故a＝－，b＝－1，则a＋b＝－．故选B． 7.B　解析：∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y′＝3x2＋2bx＋c． 又∵x＝1，x＝3是y′＝0的两个根，∴即∴y＝x3－6x2＋9x， 又∵y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，∴当x＝1时，f(x)极大值＝4 ， 当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B． 8.ACD　解析：当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)时f ′(x)≥0， ∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD．] 9.BD　解析：∵f(x)的定义域为[－2π，2π)，∴f(x)是非奇非偶函数， ∵f(x)＝x＋sin x－xcos x，∴f ′(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x， 当x∈[0，π)时，f ′(x)＞0，则f(x)在[0，π)上单调递增．显然f ′(0)≠0，令f ′(x)＝0，得sin x＝－，分别作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点．故选BD． 二、填空题 10.答案：－19 解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4．当x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；当x∈(0，4)时，y′＞0．∴当x＝4时取到极大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19． 11.答案:(－∞，1) 解析：∵f′(x)＝x2－2x＋a，由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝4－4a＞0，解得a＜1． 12.答案：2ln 2 解析：函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝－，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)－，∴f′(e)＝，∴f(x)＝2ln x－，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝－＝．令f′(x)＝0，得x＝2e．当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．∴当x＝2e时，函数f(x)取极大值，极大值为f(2e)＝2ln 2． 13.答案：－4 解析：由曲线y＝－x3＋3x可得y′＝－3x2＋3＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0，可得函数的极值点为－1，1．当x∈(－∞，－1)时，y′＜0，函数单调递减；当x∈(－1，1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，＋∞)时，y′＜0，函数单调递减，∴x＝－1是函数的极小值点，x＝1是函数的极大值点．又∵b，c分别是函数的极大值和极小值，∴c＝－(－1)3＋3×(－1)＝－2，b＝－13＋3×1＝2，∴bc＝－4．又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝－4． 三、解答题 14.解：f′(x)＝3x2＋2x－8＝(x＋2)(3x－4)， 令f′(x)＝(x＋2)(3x－4)＝0，解得x＝－2或x＝． 列出表格可得． x (－∞，－2) －2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，，单调递减区间为，极大值点为－2，极小值点为． 15.解：由题意得f′(x)＝3ax2－4x＋1． (1)当函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1． 当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1． 令f′(x)＞0，解得x＜或x＞1；令f′(x)＜0，解得＜x＜1． 所以函数在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．极小值为f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1． (2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立． f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是a≠0，且Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0， 即16－12a≤0，解得a≥． 综上，a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$