立体几何：翻折问题与旋转问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

立体几何：翻折问题与旋转问题专项训练 立体几何：翻折问题与旋转问题专项训练 考点一 立体几何中的翻折问题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且，将沿所在直线翻折到的位置，使，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川内江·期中）在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，点为线段中点.在翻折的过程中，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．三棱锥的体积最大值为 B．异面直线、所成角始终为 C．翻折过程中存在某个位置，使得大小为 D．点在某个圆上运动 3．（24-25高二上·福建福州·开学考试·多选）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成立的是（   ） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的余弦值最小值为 4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．不存在某个位置，使得 B．翻折过程中，CN的长是定值 C．若，则 D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 5．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ． 6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．    7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）如图，已知等腰梯形分别为的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足. (1)证明：平面； (2)设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由. 9．（24-25高三上·河北·期中）如图，在平面五边形中，，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点． (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 10．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在平面图形甲中，，，与分别为以斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿向上翻折使边重合（重合于），连.图乙中，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 考点二 立体几何中的旋转问题 1．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．旋转所形成的圆柱的侧面积最大是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习·多选）已知的三边长分别是，，，则（    ） A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为 D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习·多选）如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（    ） A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B．四点共面 C．点到的最近距离为 D．异面直线与所成角的范围为 6．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 7．（2024·广西南宁·三模）如图，在中，，，．将绕旋转得到，，分别为线段，的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台，底面为一个菱形，且. 底面与顶面的对角线交点分别为，. ，，与底面夹角余弦值为. (1)证明：平面； (2)现将顶面绕旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与的夹角正弦值为，此时求的值()； (3)求旋转后与的夹角余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：翻折问题与旋转问题专项训练 立体几何：翻折问题与旋转问题专项训练 考点一 立体几何中的翻折问题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且，将沿所在直线翻折到的位置，使，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过作，垂足为，连接，由翻折不变性可知：，， 在中，，且， 所以， 所以在中，，所以． 又因为，平面，平面，所以平面， 则四棱锥的体积． 故选：A． 2．（24-25高二上·四川内江·期中）在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，点为线段中点.在翻折的过程中，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．三棱锥的体积最大值为 B．异面直线、所成角始终为 C．翻折过程中存在某个位置，使得大小为 D．点在某个圆上运动 【答案】D 【详解】对于A，当二面角为直二面角，过作于， 所以平面平面．又平面平面，所以平面． 由题意可得，．由勾股定理可得． 由，即，解得． 因为为线段的中点，所以到平面的距离为． 又，所以，即三棱锥的体积最大值为，故A错误． 对于B、C选项，取的中点，则，且，，所以． 因为，所以是异面直线，所成的角． 取的中点，连接，，可得，， 所以． 在中，可得． 由余弦定理可得，所以． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以异面直线，所成的角为，故B，C均错误． 对于D选项，由B，C选项可知，，均为定值，则的轨迹为以，为球心的球面的交线， 即点在某个圆上运动，故D正确． 故选：D 3．（24-25高二上·福建福州·开学考试·多选）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成立的是（   ） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的余弦值最小值为 【答案】ABD 【详解】解：对于A，， 当平面平面时，三棱锥的高最大， 此时体积最大值为，故A正确； 对于B，设的中点为，则由知，， 所以为三棱锥外接球的球心，其半径为， 所以外接球体积为，即三棱锥的外接球体积不变，故B正确； 对于C，若，由，，平面，平面， 可得平面，因为平面，则， 因，根据直角三角形斜边最长，知道不成立，故C错误； 对于D，因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面 所成角最大， 当平面平面时，到面的距离为， 设与平面 所成角为，此时， 因为为锐角，所以， 即与平面 所成角的余弦值最小值为，故D正确． 故选：ABD 4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．不存在某个位置，使得 B．翻折过程中，CN的长是定值 C．若，则 D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 【答案】ABD 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图，   F为MD的中点，由于N为的中点，则， 如果，则， 由于，则， 由于共面且共点，故不可能有，同时成立， 即不存在某个位置，使得，A正确 对于B，结合A的分析可知，且， 在中，， 由于均为定值，故为定值， 即翻折过程中，CN的长是定值，B正确； 对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则，    若，由于平面，故平面， 平面，故，则， 由于，故，，则, 故，与矛盾，故C错误； 对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大； 设AD中点为E，连接，由于，则， 且，而平面平面，平面， 故平面，平面，故， 则， 从而，则, 即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1， 故外接球的表面积是，D正确， 故选：ABD 5．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【详解】如图，取的中点，连接交于点，连接．易知四边形为正方形，则， 由翻折前后的不变性可知，， 当平面平面时，又平面平面，平面， 所以平面． 由题意可知，，， 所以． 故答案为： 6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．    【答案】/ 【详解】设，取的中点,连接, 由题知平面平面, 平面平面, 又平面, 所以平面，    则直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值， 易求得， , 又, 解得， , 则, 所以直线与平面所成角的余弦值等于， 故答案为：. 7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在等腰梯形中，，则，，由为中点， ，得，则四边形为平行四边形，， ，又，则为等边三角形，即为等边三角形， 取中点，连接，于是，    由，，得为正三角形，， 则，又，于是，即， 而，且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量是，则，取，得， 设平面的法向量是，则，取，得， 则， 所以平面和面夹角的余弦值为. 8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）如图，已知等腰梯形分别为的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足. (1)证明：平面； (2)设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【详解】（1）在线段取一点，使得， 因为，所以，且， 因为， 所以，所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. （2）存在，理由如下： 因为等腰梯形分别是的中点， 所以平面， 所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，，， 所以，， 设，因为， 所以， 解得，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 解得，因为，所以. 9．（24-25高三上·河北·期中）如图，在平面五边形中，，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点． (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）翻折前，在平面五边形中，，，，， 则， 翻折后，在四棱锥，且，， 所以，，则，所以，， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，则四边形为平行四边形，则， 所以，， 因为为的中点，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，故. （2）因为，且，所以，，则， 因为平面，，则平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 因为，平面与平面夹角的余弦值为. 10．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在平面图形甲中，，，与分别为以斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿向上翻折使边重合（重合于），连.图乙中，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）图乙中，由题意知，所以， ，平面，所以平面； （2）取中点为，由于为中点， 故且，结合， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面， 故平面 （3）在等腰梯形中，设， 过C作，则所以， 在中，由余弦定理得，所以,所以， 如图以分别为轴建立空间直角坐标系： ， 设平面法向量为，则， 即，令，则，则， 平面法向量可取为，   设平面与平面夹角为， 所以，故 考点二 立体几何中的旋转问题 1．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．旋转所形成的圆柱的侧面积最大是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设矩形的长为cm， 则矩形的宽为()cm， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为cm，高为()cm， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设内角所对的边为，则有， 则该圆锥的体积， 设，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：D. 3．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可设梯形的高为， 易知该几何体为圆柱体挖掉两个相同的锥体， 欲使表面积最大，则下底长要大于1，即， 则该几何体侧面积为，两个锥体的侧面积均为， 所以该几何体表面积， 设， 记，令，此时， 又定义域内单调递减， 所以时，时， 即，则. 故选：A 4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习·多选）已知的三边长分别是，，，则（    ） A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为 D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 【答案】AD 【详解】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误； 以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长分别为3和4的两个圆锥组合体，表面积为，体积为，故C错误，D正确． 故选：AD． 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习·多选）如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（    ） A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B．四点共面 C．点到的最近距离为 D．异面直线与所成角的范围为 【答案】BD 【详解】对于A，因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为，故A不正确； 对于B，在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点， 所以，，又，相交于点，又都在平面内， 所以平面，又，与平面有一个公共点， 所以在平面内，所以四点共面，故B正确； 对于C，在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当，，三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小， 在直角中，，所以，故C不正确； 对于D，由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为，由此可知异面直线与所成角的范围为，故D正确. 故选：BD. 6．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以是直线与所成角，为， 所以，得，                        又因为，且，平面，平面， 所以平面， 由平面，得． （2）解法一：取的中点，连接，，． 因为， 所以四边形为菱形， 所以． 取中点，连接，，．    则，， 所以为所求二面角的平面角． 又，所以． 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此为等边三角形， 因此二面角E−AG−C的大小为． 解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得，，，，    故，，， 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 所以． 因此二面角E−AG−C的大小为． 7．（2024·广西南宁·三模）如图，在中，，，．将绕旋转得到，，分别为线段，的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，将绕旋转得到， 所以，又平面， 所以平面， 取中点，连接，作，垂足为， 因为，点为中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又，所以， 所以． （2）以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点，垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 可得，即，取，则， 取中点，连接， 由等腰得，，则，由（1）得平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为， 则 所以平面与平面所成锐角的余弦值为． 8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台，底面为一个菱形，且. 底面与顶面的对角线交点分别为，. ，，与底面夹角余弦值为. (1)证明：平面； (2)现将顶面绕旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与的夹角正弦值为，此时求的值()； (3)求旋转后与的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）连接，，过点作于点，取中点，连接，如图. 由题易得，. 所以. 在四棱台中易得， 又因为且，所以四边形为等腰梯形. 因为，分别是和的中点，所以， 又因为，易得等腰梯形的高. 因为在菱形中，且面，， 所以面，又因为面， 所以，又因为，且面，， 所以面，因此即与底面夹角. 由题易得，且，所以四边形为平行四边形，所以. 则， 在中由余弦定理可得，解得. 所以，由勾股定理得. 又因为，且面，， 所以平面. （2）因为， 所以为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 易得平面的一个法向量， 旋转前坐标分别为：，，，，，. 点旋转的过程俯视如图： 因为在旋转过程中不变，且点所在终边对应的角大小为，逆时针旋转角后点坐标为，即，所以 所以底面与的夹角正弦值为, 解得，又因为，所以. （3）由第二问可得，因为点所在终边对应的角为，所以旋转后点，即； 同理因为点所在终边对应的角为，所以旋转后点，即. 所以，， 因此旋转后与的夹角余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$