精品解析：安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

六安二中2025届高三第四次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解分式不等式和指数函数的值域，再根据交集定义求得结果. 【详解】对于集合可得，解得，即 对于集合 ，，则，所以，即， 则， 故选：C. 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的四则运算可计算出 ，即可得，即可得解. 【详解】， 故，故在复平面内对应的点在第四象限. 故选：A. 3. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式运算求解. 【详解】若直线与平行， 则，解得， 此时直线与平行，符合题意， 所以直线与之间的距离. 故选：C. 4. 在中，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据余弦定理的推论求出 的值，再利用向量的数量积定义求解即可. 【详解】在中，， 所以， 所以 ，，所以， 所以. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简条件等式可求 ，再利用齐次化方法求结论. 【详解】， 所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 6. 函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点P的横坐标为 （ ），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，， 则，， 设切点P的横坐标为 （ ），则根据题意可得， 得，即， 设， ， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点P坐标为，切线斜率 ， 则切线方程为 . 故选：D. 7. 已知等差数列的前 项和，若，且四点共面（为该平面外一点），则（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共面定理可得，再利用等差数列的性质及前项和公式即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又四点共面（为该平面外一点）， 所以， 所以， 又数列为等差数列， 所以, 所以. 故选：B. 8. 已知三棱锥中， 平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆半径求法求底面的外接圆半径，再由 平面，根据线面垂直模型求外接球半径，进而求球体面积. 【详解】由题设，底面的外接圆半径， 又 平面，且 ，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前 项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的前 项和求出通项，再逐项判断得解. 【详解】数列的前 项和， 当时，， 满足上式，因此， 对于A，，即，因此是递减数列，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当 时，，数列前4项都为正，从第5项起都为负， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象结合周期性和最值求，即可判断AB；可得、的解析式，直接代入运算判断对称性，即可判断CD. 【详解】设的最小正周期为，则，即， 且，则，解得，故B正确； 则， 因为，可得， 又因为，则， 可得，解得，故A错误； 所以， 对于选项C：因为， 所以的图象关于点对称，故C错误； 对于选项D：令， 因为（为最小值）， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD. 11. 函数，不等式对恒成立，满足实数a的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先证明函数为奇函数，再利用导数证明函数为增函数，利用函数性质将条件转化为在上恒成立，结合二次函数性质可求 的范围，再结合充分不必要条件的定义确定结论. 【详解】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， 又，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以 ，得在上为增函数， 因为， 所以在上恒成立，显然 时满足； 当 ，需满足，解得 ，综上，． 所以为不等式对恒成立充要条件，D错误， 因为都为的真子集， 所以为不等式对恒成立充分不必要条件， 为不等式对恒成立充分不必要条件，AB正确； 不是的子集，也不是的子集， 所以为不等式对恒成立既不充分也不必要条件，C错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 等比数列中，，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比数列的性质来求解即可. 【详解】在等比数列中，由，可得，即 ， 又由，，所以， 因为等比数列偶数项符号相同，所以， 故答案为：4. 13. 已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用极化恒等式化为，从而转化为动点到正方体中心的最大与最小距离问题，从而即可求解. 【详解】 设内切球的球心为， 由， 已知正方体的棱长为2，所以内切球的直径， 所以，由于点P是正方体表面上的动点， 可知：，即， 故答案为：. 14. 如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，，利用三角恒等变换得到，求出最大值，得到答案. 【详解】设，， 则， 故， 则，则， 则 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为正数，，其前 项和为，数列为等比数列，，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到方程组，求出公差和公比，得到公差和公比，得到通项公式； （2）由等差数列求和公式，变形得到，分组求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由，，，， 可得，， 所以，.则，. 【小问2详解】 由（1）可得， 故. 则数列的前 项和 . 故数列的前2n项和为. 16. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若PA⊥平面ABC， ，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）首先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得 、 ，构造线面角，再设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于 的等式求解即可得答案. 【小问1详解】 根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． 【小问2详解】 ∵ 平面 平面， ∴ ， 又∵，平面 ， ∴平面 ∵平面 ，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点 作交于 ，连结， 因为 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （1）求证： ； （2）若的角平分线交BC于 ，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） 因为 ，由正弦定理得 又，所以 因为为锐角三角形，所以，， 又在上单调递增，所以 ，即 ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合正弦函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ，所以在中， ， 由正弦定理得：，所以， 所以 ． 又因为为锐角三角形，所以，，，解得， 所以，即面积的取值范围为． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； （3）设，数列的前n项和为．证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分 和 ，求 及 的解，结合单调性与导数的关系可得结论； （2）令，证明在上单调递减，利用导数结合零点存在性定理研究函数在的零点的个数，由此证明结论； （3）由（1）可得当时，，令，可得，由此可证结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 若恒成立，在上单调递增． 若时，单调递增； 时，单调递减． 综上，当 时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 证明：令， 则 因为， 所以，在区间上单调递减． 令，则， 所以，时，单调递减， 时，单调递增， 所以，， 又，所以，，所以恒成立， 又因为，所以，． 同理可得，， 由（时等号成立）得，，即（时等号成立）， 又，所以，所以恒成立， 又因为，所以，， 所以，区间上存在唯一实数，使得， 所以对任意，存在唯一的实数，使得成立； 【小问3详解】 证明：当 时，由（1）可得，在上单调递减． 所以，时，，即． 令，则， 即，即， 令，则，所以， 所以，． 【点睛】关键点点睛：第三小问解决的关键在于确定不等式与不等式的关系，及不等式与函数的关系. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为. （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）若平面三角形ABC为直角三角形， ，设. ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②， 【解析】 【分析】（1）易得，再由球面三角形ABC面积公式求解； （2）①利用余弦定理和求解；②根据AD是球的直径，论证，则以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面OBC法向量和平面EST法向量，由，确定t的取值，设平面AEC中的法向量，确定球心O到平面AEC距离为，设平面AEC截球O圆半径为r，由求解. 【小问1详解】 若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为， 【小问2详解】 ①证明：由余弦定理有： ，且， 消掉，可得. ②由AD是球的直径，则，， 且平面BCD， 所以 平面BCD，且平面BCD， 则，且 平面ABC， 可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以，， 不妨先令，则， 由， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，， 则， 设平面OBC法向量， 则 取 ，则， 可得，， 设平面EST法向量， 则 取，则， 可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为， ， ， 令， 则， 可得， 当且仅当时取等号. 则取最大值，为最小值， 此时点后，可得， 设平面AEC中的法向量， 则 取 ，则， 可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆半径为r，则， 所以截面圆面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中2025届高三第四次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 在中，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前 项和，若，且四点共面（为该平面外一点），则（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 8. 已知三棱锥中， 平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前 项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 函数，不等式对恒成立，满足实数a的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 等比数列中，，则的值为_______． 13. 已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是_______． 14. 如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为__________. 四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为正数，，其前 项和为，数列为等比数列，，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若PA⊥平面ABC， ，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （1）求证： ； （2）若 的角平分线交BC于 ，且，求面积的取值范围． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； （3）设，数列的前n项和为．证明：． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为. （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）若平面三角形ABC为直角三角形， ，设. ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为 ，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $