精品解析：上海市上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

上师宝山2024-2025年高二12月月考试卷 一、填空题 (共 12 题) 1. 某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为______ 【答案】120 【解析】 【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解. 【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153， 因为，所以这组数据的分位数为120. 故答案为：120. 2. 已知事件与事件互斥，如果，，那么__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥得到，计算，得到答案. 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 3. 若，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用二项式定理直接计算即可. 【详解】， ， 所以. 故答案为：9 4. 在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】因为是正方体，建立以为原点的坐标系，如图， 设正方体的棱长为2，则有，，， ， ， ， 设异面直线与所成角为， ． 故答案为：． 5. 班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有________种．（结果用具体数字表示） 【答案】 【解析】 【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解. 【详解】每名学生可报一项或两项，所以有, 所以4名学生共有种. 故答案为： 6. 若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______. 【答案】3 【解析】 【分析】直接由勾股定理计算可得. 【详解】由于球心到平面的距离为，所得圆面的半径为2， 则球的半径为. 故答案为：3 7. 从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则a的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量，即可得出组内的数据有4个，进而求出a的值. 【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以组内有2个数据. 设样本容量为，则，所以. 所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以. 故答案为：. 8. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可. 【详解】甲、乙选择的景点可能为： 共16种可能； 甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为共4种可能； 因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为. 故答案为：. 9. 的展开式中，项的系数是__________. 【答案】5040 【解析】 【分析】根据计数原理确定展开式中含的项，即可得出答案. 【详解】的展开式中，含有的项是， 所以项的系数是5040， 故答案为： 10. 正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是__． 【答案】3 【解析】 【分析】先画出该三棱锥图像，然后利用边角关系求解即可. 【详解】画出正三棱锥的图形如图， 三角形的中心为，连接，球的球心在上，连接， 取的中点，连接，则，，， ，所以，，， 底面三角形的高为，底面三角形的边长为，，． 故答案为：3 11. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有_____个. 【答案】254 【解析】 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况， ， 当1前面只有7个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：. 12. 天上有四颗星星，地上有四个孩子，每个孩子随机向一颗星星许愿.如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真；如果一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真.则至少有两个孩子愿望成真的概率为______.（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出四个孩子向四个星星许愿的总事件数，再求出至少有两个孩子愿望成真事件数，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】第一步，根据题意，四个孩子向四个星星许愿，那么一共种可能得许愿方式， 那么两个孩子许愿成功的情况为， 四个孩子许愿成功的情况为， 则至少有两个孩子愿望成真的概率为 故答案为： 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分)每题 有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 14. 慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，进而求得数据的平均数为，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，数据的中位数为，可得，所以， 所以这6个月的月慢走里程的平均数为， 要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小， 又由， 故当标准差最小时，. 故选：C 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 16. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解. 【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：， 摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，， 摸次甲获胜概率： ， 所以， 所以， 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，故①正确； 由，设，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以，即， 即，即，即， 则，即，解得， 所以不小于1992，所以②正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解. 三、解答题 (本大题共有 5 题，满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 列式并计算：(写出必要的文字说明) （1）用能组成多少个没有重复数字不同的 3 位奇数？ （2）要从8名男医生和7名女医生中选5人组成医疗小分队，如果医疗小分队至少要2名男医生和2名女医生，求不同的选法种数. 【答案】（1）36 个 （2）2156 种 【解析】 【分析】（1）先选一个奇数排在个位，然后百位和十位任意排即可； （2）分两男三女和三男两女两种情况求解可得. 【小问1详解】 首先从3个奇数中选择一个放在个位，共有种结果， 其余4个数字选出2个在百位和十位排列共有种结果， 根据分步计数原理知共有种结果. 答：符合条件的三位数有36个. 【小问2详解】 医疗小分队至少要2名男医生和2名女医生，共有2种结果，包括： 三男两女，有种， 两男三女，有种， 共计种， 符合条件的选法有2156种结果. 18. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 【答案】（1） 取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到. （2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则为钝角， 所以二面角的大小为. 19. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】（1） （2）一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 （3）方差克，平均数克，预估平均质量为克 【解析】 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【小问1详解】 设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； 【小问2详解】 因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； 【小问3详解】 设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 20. 袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． （1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； （2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； （3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 【答案】（1）4个 （2） （3）4，5，6，7，8个 【解析】 【分析】设袋中有红球m个, （1）利用对立事件求概率，列出关于m的方程，解方程得解； （2）“摸球三次共取出两个白球”分三类，求出每一类的概率再求和可得； （3）由题意知，然后对m进行分类讨论，符合题意就可，最后解出m的所有可能取值即可得解. 【小问1详解】 设袋中有红球m个． 设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球”，则． 设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”． 则，解得，即袋中红球有4个． 【小问2详解】 设事“摸球三次共取出两个白球”， 则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”， 则． 所以摸球三次共取出两个白球的概率为． 【小问3详解】 设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”． 由题意知：． 若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意． 若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”， ，，符合题意． 若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，， 事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”， ， 由得，， 即，解得或．即，5，6，7， 综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个． 21. 如图，在三棱锥 中， 是线段 上的点. （1）求证:平面 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求 的值； （3）若 平面 ， 为垂足，直线 与平面 的交点为 . 当三棱锥 体积最大时，求 的值. 【答案】（1） 取 的中点 ，连接 ， ， 因为 ， ，则 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 ， 则 ， 又因为 ， 所以 ， 又因为 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 ; （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边长关系，结合勾股定理可得，，进而可得 平面 ，根据面面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据线面角的向量求解，即可得解， （3）根据锥体体积的计算，结合二次函数的性质可得体积最大时 时，即可根据空间向量的坐标运算，结合共面定理就可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以,2)，所以 设 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 设平面 的法向量为 ， 则 ，所以 取 ，可得 ，所以 ， 因为直线与平面所成角为，所以 则 ，化简可得: 解得: 或 (舍去). 所以 . 【小问3详解】 由 (1) 知， 平面 ，又 平面 ， 所以 在 上，因为 ，所以 ， ，所以 ， 即 ，所以 所以 三棱锥 体积为: 因为 ，当 时，三棱锥 体积最大为 ， 此时 分别为 的中点，所以 ,2)， 设 ，设 ， 因为 ， 所以 ，所以 因为 在平面 上，所以设 所以 即 解得 所以 ，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师宝山2024-2025年高二12月月考试卷 一、填空题 (共 12 题) 1. 某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为______ 2. 已知事件与事件互斥，如果，，那么__________. 3. 若，则的值为_________． 4. 在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________. 5. 班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有________种．（结果用具体数字表示） 6. 若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______. 7. 从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则a的值为___________. 8. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______. 9. 的展开式中，项的系数是__________. 10. 正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是__． 11. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有_____个. 12. 天上有四颗星星，地上有四个孩子，每个孩子随机向一颗星星许愿.如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真；如果一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真.则至少有两个孩子愿望成真的概率为______.（结果用最简分数表示） 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分)每题 有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 14. 慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 16. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题 (本大题共有 5 题，满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 列式并计算：(写出必要的文字说明) （1）用能组成多少个没有重复数字不同的 3 位奇数？ （2）要从8名男医生和7名女医生中选5人组成医疗小分队，如果医疗小分队至少要2名男医生和2名女医生，求不同的选法种数. 18. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 19. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 20. 袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． （1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； （2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； （3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 21. 如图，在三棱锥 中， 是线段 上的点. （1）求证:平面 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求 的值； （3）若 平面 ， 为垂足，直线 与平面 的交点为 . 当三棱锥 体积最大时，求 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $