精品解析：云南省丽江市润泽高级中学2024-2025学年高二上学期10月考试数学试题

2024～2025学年上学期高二10月考试 数学试题卷 （试卷满分150，考试时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题；每题5分，共计40分．） 1. 已知直线l：的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知双曲线的离心率为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 方程所表示的曲线为（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 4. 已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（ ） A B. C. D. 5. 已知点A，B为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段AB中点的横坐标的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（ ） A. 圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B. 直线l与圆O相交弦长 C. 过点P圆O的切线方程是 D. 过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 10. 在平面直角坐标系xOy中，，，为抛物线上的三点，F为抛物线的焦点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，则（ ） A. 与C有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B. 设，点P是椭圆上任意点，则有最小值 C. 过圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 D. A，B为椭圆C的左右顶点，M为曲线C上不同于A，B的一点，则直线MA、MB的斜率之积为 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 抛物线的焦点坐标为______． 13. 已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为______． 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 四、解答题（本题共5小题，共计77分．） 15. 已知直线：与直线：的交点为M． （1）求点M关于直线的对称点N； （2）求点到经过点M直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 16. 已知圆O：，点P在直线上，过点P引的两条切线PA、PB，切点为A、B． （1）求四边形OAPB面积的最小值； （2）求证：直线AB过定点． 17. 已知双曲线C：离心率为2，且经过点． （1）求C的方程； （2）双曲线C的两个焦点是，，双曲线上有一点P，，求的面积． 18. 已知椭圆，，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN，均不与x轴垂直． （1）若直线l过点，求弦MN的长； （2）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值． 19. 已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）直线AB否过定点？请说明理由； （2）证明：点H在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年上学期高二10月考试 数学试题卷 （试卷满分150，考试时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题；每题5分，共计40分．） 1. 已知直线l：倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以直线l：的斜率为， 则，解得. 故选：A. 2. 已知双曲线的离心率为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按焦点位置求出双曲线标准方程. 【详解】依题意，双曲线的实半轴长，由离心率为2，得该双曲线的半焦距， 则该双曲线的虚半轴长， 当双曲线焦点在轴上时，其标准方程为， 当双曲线焦点在轴上时，其标准方程为， 所以该双曲线的标准方程为或. 故选：B 3. 方程所表示的曲线为（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】变形已知方程，结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义即可得解. 详解】由原方程得， 即动点到定点的距离与它到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以此方程表示的曲线为抛物线. 故选：D 4. 已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 5. 已知点A，B为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段AB中点的横坐标的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，弦长建立关系，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，，，， 则，， 因此线段AB中点的横坐标 ， 当且仅当，即时取等号，此时，，符合题意， 所以线段AB中点的横坐标的最小值为2. 故选：D 6. 已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，建立方程求出离心率. 【详解】由椭圆定义得，而，则， 又，，于是，解得， 所以椭圆的离心率为， 故选：A 7. 如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线定义和中位线进行解题. 【详解】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，令半焦距为c， 设是双曲线的右焦点，连接， 由分别为的中点，得，由双曲线定义，得， 由切圆于点，得， 所以. 故选：D 8. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（ ） A. 圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B. 直线l与圆O相交弦长 C. 过点P的圆O的切线方程是 D. 过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 10. 在平面直角坐标系xOy中，，，为抛物线上的三点，F为抛物线的焦点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算计算判断AB；利用基本不等式推理判断C；不妨设，可得，结合计算判断D. 【详解】抛物线的焦点，， 对于AB，由，得， 则，，A错误，B正确； 对于C，由为抛物线上的三点，得不全相等， 则 ，C错误； 对于D，显然点的纵坐标互不相等，由， 不妨设，则， 于是，即，又， 则，因此 ，D正确. 故选：BD 11. 已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，则（ ） A. 与C有相同离心率椭圆标准方程一定是 B. 设，点P是椭圆上任意点，则有最小值 C. 过圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 D. A，B为椭圆C的左右顶点，M为曲线C上不同于A，B的一点，则直线MA、MB的斜率之积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出的离心率，举例说明判断A；结合椭圆的定义及线段和差关系求解判断B；在圆上任取点，按切线斜率存在与否求解判断C；利用斜率坐标公式，结合点在椭圆上计算D. 【详解】椭圆C：的焦点，其长轴长为， 对于A，椭圆C的离心率为，当椭圆方程为时，其离心率为，A错误； 对于B，点在椭圆内， ，当且仅当是线段的延长线与的交点时取等号，B正确； 对于C，设圆上任意点，， 当或时，，而直线与直线与椭圆都相切； 当过点向椭圆引的切线斜率存在且不为0时，设切线方程为， 由消去得，， ，整理得， 设两条切线的斜率分别为，则，即两条切线垂直， 因此过圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直，C正确； 对于D，，设，则，， 直线MA、MB的斜率之积为，D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 抛物线的焦点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化为，借助图形变换求出抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即可视为抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得， 而抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 13. 已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设动点，由点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 得，即， 整理得：，点P的轨迹方程为. 故答案为： 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共计77分．） 15. 已知直线：与直线：的交点为M． （1）求点M关于直线的对称点N； （2）求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 【答案】（1）； （2），； 【解析】 【分析】（1）解方程组求出点的坐标，再利用轴对称的意义列方程组求出点的坐标. （2）利用几何意义，结合两点间距离公式求出最大距离及对应直线方程. 【小问1详解】 由，解得，则点， 设点关于直线的对称点，则，解得， 所以点. 【小问2详解】 由（1）知，点，则，直线斜率， 以点为圆心，为半径的圆与直线始终有公共点， 当时，直线与该圆相切，点到直线的距离； 当与直线不垂直时，直线与该圆相交，点到直线的距离， 因此点到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率为， 方程为，即， 所以点到经过点M的直线l距离的最大值为，此时直线的方程为. 16. 已知圆O：，点P在直线上，过点P引的两条切线PA、PB，切点为A、B． （1）求四边形OAPB面积的最小值； （2）求证：直线AB过定点． 【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用切线长定理，结合勾股定理将四边形OAPB的面积表示为，进而求出最小值. （2）求出四边形OAPB的外接圆的方程，进而求出直线的方程即可. 【小问1详解】 圆O：的圆心，半径，点到直线的距离， 由切于点，得， 四边形OAPB的面积 ，当且仅当是直线与轴的交点时取等号， 所以四边形OAPB面积的最小值是. 【小问2详解】 设点，由，得点在以线段为直径的圆上， 此圆的方程为，即， 则圆与的公共弦所在直线方程为，而当时，恒有， 所以直线AB过定点. 17. 已知双曲线C：离心率为2，且经过点． （1）求C的方程； （2）双曲线C的两个焦点是，，双曲线上有一点P，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率和其所过的点即可求出，； （2）利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 双曲线的离心率为， 可得，∴，① 又因为双曲线经过点，则，② 联立①②解得， 则双曲线的方程为. 【小问2详解】 点为双曲线上一点，，设，，由（1）知， 由双曲线的定义可得：，则有，③ 又由，得，④ 联立③④解可得， 则△的面积. 18. 已知椭圆，，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN，均不与x轴垂直． （1）若直线l过点，求弦MN的长； （2）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，直接解出两点坐标，再利用两距离公式即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由题意知直线的方程为， 联立，解得或， 则， 【小问2详解】 设直线的方程为，,，,， 联立，消去得， 由，得， 则． 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再化简变形，最后代入韦达定理式即可. 19. 已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）直线AB是否过定点？请说明理由； （2）证明：点H在直线上． 【答案】（1）过定点，理由见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【小问1详解】 抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. 【小问2详解】 直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $