精品解析：江苏省盐城市第一中学2024—2025学年高一上学期第二次月考数学试题

2024—2025江苏省盐城市第一中学高一第二次月考 数学试卷 （2024.12） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数是（ ）. A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 2. 设命题，，则p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的否定是改量词否结论求解即可 【详解】解：因为命题 所以命题的否定为， 故选：A 3. 下列各组函数中，表示同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由定义域和对应关系逐项判断即可； 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故B错误； 对于C：的定义域均为，且，定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确； 对于D：的定义域均为，且，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：C. 4. 设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误. 故选：A. 5. 某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意列出一年的总运费与总存储费用之和的关系式，然后利用均值不等式进行求解. 【详解】某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，即吨时，等号成立，所以每次购买吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 故选：B. 6. 设，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可判断大小 . 【详解】由题意得，，，， 综合比较 ， 故选：C. 7. 已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 4046 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解. 【详解】对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以 . 故选：C 8. 已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是偶函数可得，代入解析式，判断出的单调性，利用单调性解不等式即可求. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，整理得， 由题意可知，所以，所以， 所以， 又，则， 任取，，且， 所以， 因为，，则， 又，，所以， 所以，所以， 所以， 所以在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 因为， 所以，又，解得， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由指数幂的运算求出集合，再由集合的交并补混合运算逐项判断即可； 【详解】因为函数为增函数，所以， 对于A、B，，，故A正确，B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC. 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断AB；举出反例即可判断C；利用作差法即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数则下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的图像恒过点 C. 若（），则 D. 设，则关于的方程有两个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据简单复合函数的性质，以及对数函数，二次函数的性质逐一选项代入求解即可得到答案. 【详解】对于A选项，代入，真数为，说明不在定义域内，A选项错误； 对于B选项，将代入，可得，过定点，B选项正确； 对于C选项，真数位置为关于的二次函数，由二次函数的性质，的对称轴为，可知，，C选项正确； 对于D选项，可化简为，当且仅当或时，，D选项正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过点，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据点在函数上计算求参. 【详解】因为过点，所以,所以. 故答案为：2. 13. 已知，在上为增函数，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】在上单调递增，， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式等价于，据此可求不等式的解. 【详解】题设不等式等价于， 故， 所以， 故， 而， 故，故. 又因为，故的取值范围是. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求值：. （2）已知扇形的半径为，圆心角为60°，求此扇形的弧长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系再转化为正余弦齐次式求解即可； （2）由扇形的弧长公式计算即可； 【详解】（1）由得 所以； （2）由题圆心角为，所以扇形的弧长为. 16. 已知函数（）. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和m的值； （2）若函数的值域为，，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理可求参数的值； （2）根据函数值域可得，由基本不等式中“1”的妙用可求最小值. 【小问1详解】 由题意可知，和m为方程的两根， 根据韦达定理，有，， 解得，. 【小问2详解】 ，所以， 当且仅当，即，时取等. 故的最小值为. 17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可得； （2）由同角的三角函数和诱导公式求解即可； 【小问1详解】 由角的终边经过点，可知，. 【小问2详解】 由（1）得， 原式. 18. 已知二次函数的图象过原点和点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数（，且），若存在，使得对任意，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，由二次函数的对称轴和图像所过点求解即可； （2）先将问题转化为在所给区间内满足，再结合二次函数的单调性和对数型复合函数的单调性求解即可； 【小问1详解】 由题可设， ， 所以的对称轴方程为， 又函数的图象经过点， 所以，两式联立，解得，， 所以； 【小问2详解】 由题意可知， 因为，， 所以在单调递增，单调递减， 当时，， 在上单调递增，当时，单调递减， ∴函数在上单调递减， ，适合题意； 当时，单调递增， ∴函数在上单调递增， ，则， 解得； 综上所述，实数的取值范围为. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 【答案】（1）， （2）对称中心为，证明如下： 由，则有，解得且， ， 故函数的对称中心为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得； （2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得； （3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，就对称中心分类讨论后可得数组的个数. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故， 令，则有， 又当时，，故， 故， 即，； 【小问2详解】 对称中心为，证明略； 【小问3详解】 设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、， 又、、， 若对称中心为，则必有，且， 故，，共有2022个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而就对称中心分类讨论即可 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025江苏省盐城市第一中学高一第二次月考 数学试卷 （2024.12） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数是（ ）. A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 2. 设命题，，则p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中，表示同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 5. 某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 6. 设，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 4046 8. 已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数则下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的图像恒过点 C. 若（），则 D. 设，则关于的方程有两个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过点，则实数______. 13. 已知，在上为增函数，则实数a的取值范围是______. 14. 若，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求值：. （2）已知扇形的半径为，圆心角为60°，求此扇形的弧长. 16. 已知函数（）. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和m的值； （2）若函数的值域为，，，求的最小值. 17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求和的值； （2）求的值. 18. 已知二次函数的图象过原点和点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数（，且），若存在，使得对任意，都有成立，求实数a的取值范围. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $