3.4圆周角和圆心角的关系 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第三章：圆 3.4圆周角和圆心角的关系 素养目标 回顾旧知 o B C A 问题1： 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心上的角叫圆心角, 如∠BOC. 情境导入 在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？ 探究新知 想一想：观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能发现它们有什么共同特征吗？ 答：发现： （1）它们的顶点都在圆上； （2）两边分别与圆有另一个交点． 归纳 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 做一做：如图，∠AOB=80°． 探究新知 （1）请你画出几个AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流． ) 做一做：如图，∠AOB=80°． 探究新知 （1）请你画出几个AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流． ) 答：（1）能画出无数个，如图所示． 通过度量可以发现：∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等． 做一做：如图，∠AOB=80°． 探究新知 结论：这样的圆周角有许多个，只要在 ACB上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半． ( 又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5， ∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)， ∠AOB=2∠ACB． ∴∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°． 议一议:在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？ 探究新知 答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立． 证明过程如下： 探究新知 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB． ( ( 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论： （2） （1） （3） 探究新知 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB． ( ( 证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图． 　　　∵∠AOB是△AOC的外角， 　　　∴∠AOB=∠A+∠C． 　　　∵OA=OC，∴∠A=∠C． 　　　∴∠AOB=2∠C， 　　　即∠C=　∠AOB． 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. （1） 探究新知 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB． ( ( 1 5 2 4 3 6 （2） ( 证明：（2）如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交 AB于点M． ∵OB=OC，∴∠1=∠2． 又∵OA=OC，∴∠4=∠5． ( 探究新知 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB． ( ( 1 5 2 4 3 6 （2） 又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5， ∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即 ∠AOB=2∠ACB． ∴∠ACB= ∠AOB． 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 探究新知 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB． ( ( （3） 证明：(3) 过点C做直径CD,由（1）可得： ∠AOD=2∠ACD， ∠BOD=2∠BCD, ∴∠AOB= 2∠ACB． ∴∠ACB= ∠AOB 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 探究新知 想一想:在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（ AC ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于 AC所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等． ( ( 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等. 典例精析 例1.如图，⊙O的直径AB=8 cm，∠CBD=30°，求弦DC的长. 解：如图，连接OC，OD， 　　则OC=OD=4 cm， 　　∠COD=2∠CBD=60°． 　　故△COD是等边三角形． 　　所以CD=4 cm． 例2.如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？ 典例精析 解：∠ACB = 2∠BAC ， 理由：∵∠ACB=1/2∠AOB ∠BAC=1/2∠BOC 而∠AOB = 2∠BOC， ∴ ∠ACB = 2∠BAC . 探究新知（一） 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B A · C O B A 1、判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 巩固练习（一） 2、指出图中的圆心角和圆周角 ∠AOB ∠AOC ∠BOC ∠BAC ∠ABC ∠ACB 巩固练习（一） 探究新知（二） 如图, ∠AOB=80°. （1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？ 做一做（课本78页） o B A 思考：圆周角和圆心有几种不同的位置关系？ 探究新知（二） 圆心O在∠BAC的内部 圆心O在 ∠BAC的一边上 圆心O在 ∠BAC的外部 o B C A o B C A B C o A 如图, ∠BOC=80°. （2）这些圆周角与圆心角∠BOC的大小有什么关系? o B C A 已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC= ∠BOC. 探究新知（二） 归纳新知（二） 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. o B C A o B C A B C o A 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC, ∠AEC. 这三个角的大小有什么关系? A 探究新知（三） 推论1： 同弧所对的圆周角相等. A B C O 归纳新知（三） 随堂练习 1．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数为（ ）． A．15° B．20° C．25° D．30° 2．如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点P在劣弧CD上，是不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）． A．45° B．60° C．75° D．90° D A 随堂练习 ( B 70° 3．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是优弧AB上一点，D，E是AB上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D+∠E的度数为（ ）． A．m B．180°- C．90°+ D． 4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________． 随堂练习 5.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：BD = DE ( ( 解:(1)BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD. (2)∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴BD = DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. ( ( 6.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数． 随堂练习 解：∵∠C=100°， ∴ BAD所对的圆心角=2∠C=200°． ∴∠BOD=360°-200°=160°． 又∵∠A= ∠BOD， ∴∠A= ×160°=80° ( 巩固练习 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． B A C O 166° 2. 如图，OA,OB,OC都是⊙O的径，∠AOB=50°， ∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. C B O 70° A 课堂总结 课堂小结 $$