7.1 复数的概念 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1 复数的概念 知识点1 数系的扩充与复数的概念 ① 复数的引入 在实数集中，方程无解。为了解决这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x = i是方程0的解，即使得把新引进的数i添加到实数集中，得到一个新数集。把实数a与实数b 和i相乘的结果相加，结果记作a+bi(a,b∈R)。注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R）的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 ② 复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位。全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集。 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R) ,这一表示形式叫作复数的代数形式。对于复数z=a+bi，以后不作特殊说明时，都有a,b∈R，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部。 对于复数z=a+bi(a,b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数a；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫作虚数；当a=0且b≠0时，它叫作纯虚数。 ③ 复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi,c+di相等的充要条件是a=c且b=d,，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等。 【问题质疑】虚数为什么不能比较大小？ 【提示】引入虚数单位i后，规定，但i与0的大小关系不能确定。理由如下： 若i>0，则2i>i,，两边同乘i，得即-2>-1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i<0,则-2<-1⇒-2i>-i⇒-2i·i<-i·i⇒2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的。故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分。 ④ 复数的分类 复数可以分为两大类-实数和虚数。 复数z=a+bi(a,b∈R)的分类如下： 复数 ⑤ 数集间的关系 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可用图7-1-1表示。 （1）一个复数若是虚数，则只需满足虚部b≠0即可；一个复数若是实数，则只需满足虚部b=0即可；一个复数若是纯虚数，则既要满足虚部b≠0，又要满足实部a=0，两个条件缺一不可。 （2）复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)中，虚部是b而不是bi，即实部和虚部都是实数。 （3）实数集R和虚数集都是复数集C的真子集，即R U｛虚数}=C,且R∩{虚数}=∅。 例1-1（2024·重庆期末）复数z=1-i的虚部是（ ）。 A.1 B.-1 C.i D.-i 解：虚部不带i,z=1-i的虚部是-1。（此处易误认为虚部为-i）故选B 例1-2（2024·湖北黄冈中学检测）下列命题中，正确的是（ ）。 A.1-ai(a∈R)是一个复数 B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b，则a+i>b+i 解：由复数的定义知A正确；当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数，故B错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C错误；a+i与b+i不能比较大小，故D错误。故选A。 例1-3 若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）。 A.-1 B.0 C.1 D．-1或1 解：因为z为纯虚数，所以解得x=-1。故选A 例1-4（2024·河南师大附中月考）若实数x,y满足x+yi=-1+(x-y)ii（i是虚数单位），则 。 解：∵x+yi=-1+(x-y)i,x,y∈R, ∴解得 例1-5（2024·山西太原五中期中）已知i为虚数单位，实数x满足5x-6)i≥0，则x= 。 解：由题意知 即(x-6)(x+1)=0，解得x=6 答：6 例1-6（2024·江西临川一中检测）a=-2”是“复数 (a∈R)为纯虚数”的（ ）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：a=-2时，z=-i是纯虚数；z为纯虚数时，，且a+1≠0,-即a=±2。:“可以推出“z为纯虚数”，反之不成立。故选A。 例1-7（2024·山东青岛二中质检）（多选）下列说法错误的是（ ）。 A.复数a+bi不是纯虚数 B.若x=1，则复数是纯虚数 C.若i是纯虚数，则实数x=±2 D.若复数z=a+bi，则当且仅当b≠0时，z 为虚数 解：当a=0,b≠0，且b∈R时，复数a+bi 是纯虚数，故A错误；当x=1时，复数z=2i 是纯虚数，故B正确；2）i是纯虚数，则≠0,即x=2，故C错误；复数z=a+bi,a,b未注明为实数，故D错误。故选ACD。 例1-8 设集合 C={复数},A={实数｝，B={纯虚数｝，且全集U=C，那么下列结论中正确的是（ ）。 A.A∪B=C B. C. D. 解：由复数的概念和分类易知选项D正确。故选D 知识点2 复平面及复数的几何意义 ① 复平面 根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。如图7-1-2，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。例如，复平面内的原点（0,0）表示实数0，实轴上的点（2,0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2,3）表示复数-2＋3i等。 ② 复数的几何意义-与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义。 提别提醒 （1）任一复数都可由一个有序实数对唯一确定。 （2）复平面内的点Z的坐标是(a,b)，而不是（a，bi）。也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i。 （3）当a=0,b≠0时，a+bi=0+bi=bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数。 （4）复数z=a+bi中的z，书写时应小写；复平面内点Z(a,b)中的Z，书写时应大写。 ③ 复数的几何意义-与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的。这样就可以用平面向量来表示复数。 如图7-1-3，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定。 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义。 为了方便，常把复数z=a+bi说成点Z(a,b)或向量OZ,，并且规定，相等的向量表示同一个复数。要确定一个向量对应的复数，就必须找到以坐标原点为起点且与此向量相等的向量。 教材解读 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z=a+bi、、复平面内的点Z(a,b）和平面向量OZ之间的关系可用图7-1-4表示。 ④ 共轭复数的概念及其几何意义 （1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数。 （2）复数z的共轭复数用z表示，即复数z=a+bi 的共轭复数是 ⑤ 复数的模及其几何意义 （1）复数的模 向量的模叫作复数z=a+bi的模或绝对值，记作lzl或|a+bi|。如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|(的绝对值）。由模的定义可知：b∈R)。 （2）复数的模的几何意义 ①复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义。 ②复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部。 例2-1（2024·安徽淮南一中月考）已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由，可知复数z在复平面内对应的点位于第二象限。故选B 例2-2（2024·湖北团风中学月考）已知复数z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）。 A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3) 解：z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，可得解得-3<m<1。故选A。 例2-3 已知i是虚数单位，在复平面内，复数-2＋i，1-3i对应的点分别为A，B，则A，B两点之间的距离为（ ）。 A. B. C.5 D.25 解：在复平面内，复数-2＋i对应的点为A（-2,1），复数1-3i对应的点为B（1，-3），则。答C 例2-4（2024·湖南长沙一中期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是（ ）。 A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 解：由复数的几何意义，可得，所小,-4)+(-5,4)=(0,0)，所对应的复数为0。故选C 例2-5（2024·江西师大附中测试）在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为点B，则向量对应的复数为（ ）。 A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 解：因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的复数为-2+i。故选B 例2-6（2024·重庆期末）设z=-6+2i，则在复平面内z对应的点位于（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：依题意得，故z在复平面内对应的点（-6，-2）位于第三象限。故选C 例题2-7 复数z和复数z在复平面内对应的点的位置关系为（ ）。 A.关于原点对称 B.关于实轴对称 C.关于虚轴对称 D.没有对称特征 解：由于，因此z与え在复平面内对应的点分别为,，故它们关于实轴对称。选B 例2-8（2024·湖北团风中学期末）已知z=1+bi(b>0)，且|z|=2，则( )。 A. B. C.-1+i D.1-i 解：因故。又b>0故。所以故选B。 分层训练 基础达标 1．（2024·湖北武汉二中月考·知识点2）（多选）若θ∈(π,2π)，则复数cosθ+isinθ在复平面内对应的点不可能在（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．（知识点2）在复平面内，向量AB对应的复数是2+i，向量CB又对应的复数是1-3i，则向量CA对应的复数是（ ）。 A.1-2i B.-1+2i C.-1-4i D.3+4i 3．（2024·四川雅安中学高二期中·知识点2）如图7-1-6，在复平面内点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）。 A.A B.B C.C D.D 4．（知识点2）已知复数z=1-2mi(m∈R)且|z|≤2，则实数m的取值范围是 。 5．（2024·重庆四区高一期末联考·知识点1）已知x,y∈R,i为虚数单位，且x-2+yi=-1+i则 。 6.(2024··广东珠海一中高一期中·知识点1）已知复数 (m∈R)。 （1）若z为实数，求m的值； （2）若z为纯虚数，求m的值。 高考提升 1．（2024·陕西西安交大附中月考）棣莫弗公式isin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转120°，所得点对应的复数是（ ）。 A. C. D. 3．（2024·山东枣庄期末）若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a 的值为（ ）。 A. B. C.5 D.7 4．（2024·江苏南通高一期末）（多选）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”。若复数z=a+2i （a∈R，i为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）。 A.a=2 B.|z|=4 C. D.复数i是纯虚数 5．（2024·湖南长沙麓山国际实验学校月考）（多选）18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|=IOZI，也即复数z的模的几何意义为复数z对应的点Z到原点O的距离。下列说法正确的是（ ）。 A.若|z|=1，则z=±1或z=±i B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量与，则向量BA对应的复数为9+i C．若点Z的坐标为（-1,1），则z在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π 6．（2024·河北邢台期末）写出一个同时满足下列条件①②的复数： 。 ① ②z在复平面内对应的点在第二象限。 7．（2024·山东日照一中月考）在复平面内，复数1+i,3+i对应的点分别是A，B，若ΔABC为正三角形，则点C对应的复数是 。 8．（2024·河北邢台一中开学考试）已知复数5m+6)i，i为虚数单位，,m∈R。 （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若在复平面内复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围。 9．（2024·云南师大附中期末）四边形ABCD为复平面内的平行四边形，O为坐标原点，向量对应的复数为对应的复数为对应的复数为-6+4i。 （1）求点D对应的复数； （2）判断A，B，C，D四点是否在同一个圆上，并证明你的结论。 答案解析 基础达标 1.AB 【解析】θ∈(π,2π),,∴-1<cosθ<1,-1≤sinθ<0，．复数cosθ+isinθ在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限，故选AB。 2．C【解析】由题意可得对应的复数是-1-4i。故选C。 3．B 【解析】因为x+yi(x,y∈R)的共轭复数是x-yi，所以由复数的几何意义知，z与其共轭复数所对应的点关于实轴对称，故选B。 D 【解析 ，解得 5.2【解析】由x-2+yi=-1+i可得解得故x+y=1+1=2。 6．（1）由题意得，解得m=±4。 （2）由题意得即或解得m=7。 高考提升 1．C【解析】由题意得，在复平面内所对应的点位于第三象限。 2．C【解析】如图，复数在复平面内对应的点为，因为，所以将点A绕着原点逆时针旋转120°，得 第2题图到的点B与点A关于y轴对轴，即点，因此，所求复数为 3．D【解析】由于复数在复平面内对应的点在同一个圆上，且，所以该圆以原点为圆心，则故，由于a为正实数，故 4.ACD 【解析】因为z=a+2i为“等部复数”，所以a=2，故A正确；则，故B错误；因为z=2+2i，所，故C正确；是纯虚数，故D正确。故选ACD。 5.BCD 【解析】令，满足|z|=1，故A错误；复数6+5i与-3+4i分别对应向量与，则，向量BA对应的复数为9+i，故B正确；点Z的坐标为（-1,1），．在复平面内对应的点（-1，-1）在第三象限，故C正确；设z=a+bi,a,b∈R,∵复数z满足.复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为，故D正确。故选BCD。 6.-1+i（答案不唯一） 【解析】设复数z=a+bi,∵|z|=，且z在复平面内对应的点在第二象限，.可以取a=-1,b=1，故z=-1+i。 或 【解析】由题意可知A(1,1),,B(3,1，设C(x,y)，因为ΔABC为正三角形，所以|CA|=|CB|=|AB|，所以，解得或故点C对应的复数为i或2+(1+ 8．（1）因为复数z为纯虚数，所以解得m=5 （2）因为在复平面内复数z对应的点位于第二象限，所以解得3<m<5，所以m的取值范围为（3，5)。 9．（1）由题意知， ∵，且 ∴ ∴D(-1,4)，则点D对应的复数为-1+4i。 （2）A，B，C，D四点在同一个圆上。 证明如下：由（1）可知，，则 ，即AB⊥BC。平行四边形ABCD为矩形，.A，B，C，D四点共圆。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 复数的概念 知识点1 数系的扩充与复数的概念 ① 复数的引入 在实数集中，方程无解。为了解决这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x = i是方程0的解，即使得把新引进的数i添加到实数集中，得到一个新数集。把实数a与实数b 和i相乘的结果相加，结果记作a+bi(a,b∈R)。注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R）的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 ② 复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位。全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集。 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R) ,这一表示形式叫作复数的代数形式。对于复数z=a+bi，以后不作特殊说明时，都有a,b∈R，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部。 对于复数z=a+bi(a,b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数a；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫作虚数；当a=0且b≠0时，它叫作纯虚数。 ③ 复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi,c+di相等的充要条件是a=c且b=d,，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等。 【问题质疑】虚数为什么不能比较大小？ 【提示】引入虚数单位i后，规定，但i与0的大小关系不能确定。理由如下： 若i>0，则2i>i,，两边同乘i，得即-2>-1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i<0,则-2<-1⇒-2i>-i⇒-2i·i<-i·i⇒2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的。故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分。 ④ 复数的分类 复数可以分为两大类-实数和虚数。 复数z=a+bi(a,b∈R)的分类如下： 复数 ⑤ 数集间的关系 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可用图7-1-1表示。 （1）一个复数若是虚数，则只需满足虚部b≠0即可；一个复数若是实数，则只需满足虚部b=0即可；一个复数若是纯虚数，则既要满足虚部b≠0，又要满足实部a=0，两个条件缺一不可。 （2）复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)中，虚部是b而不是bi，即实部和虚部都是实数。 （3）实数集R和虚数集都是复数集C的真子集，即R U｛虚数}=C,且R∩{虚数}=∅。 例1-1（2024·重庆期末）复数z=1-i的虚部是（ ）。 A.1 B.-1 C.i D.-i 例1-2（2024·湖北黄冈中学检测）下列命题中，正确的是（ ）。 A.1-ai(a∈R)是一个复数 B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b，则a+i>b+i 例1-3 若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）。 A.-1 B.0 C.1 D．-1或1 例1-4（2024·河南师大附中月考）若实数x,y满足x+yi=-1+(x-y)ii（i是虚数单位），则 。 例1-5（2024·山西太原五中期中）已知i为虚数单位，实数x满足5x-6)i≥0，则x= 。 例1-6（2024·江西临川一中检测）a=-2”是“复数 (a∈R)为纯虚数”的（ ）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 例1-7（2024·山东青岛二中质检）（多选）下列说法错误的是（ ）。 A.复数a+bi不是纯虚数 B.若x=1，则复数是纯虚数 C.若i是纯虚数，则实数x=±2 D.若复数z=a+bi，则当且仅当b≠0时，z 为虚数 例1-8 设集合 C={复数},A={实数｝，B={纯虚数｝，且全集U=C，那么下列结论中正确的是（ ）。 A.A∪B=C B. C. D. 知识点2 复平面及复数的几何意义 ① 复平面 根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。如图7-1-2，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。例如，复平面内的原点（0,0）表示实数0，实轴上的点（2,0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2,3）表示复数-2＋3i等。 ② 复数的几何意义-与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义。 提别提醒 （1）任一复数都可由一个有序实数对唯一确定。 （2）复平面内的点Z的坐标是(a,b)，而不是（a，bi）。也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i。 （3）当a=0,b≠0时，a+bi=0+bi=bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数。 （4）复数z=a+bi中的z，书写时应小写；复平面内点Z(a,b)中的Z，书写时应大写。 ③ 复数的几何意义-与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的。这样就可以用平面向量来表示复数。 如图7-1-3，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定。 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义。 为了方便，常把复数z=a+bi说成点Z(a,b)或向量OZ,，并且规定，相等的向量表示同一个复数。要确定一个向量对应的复数，就必须找到以坐标原点为起点且与此向量相等的向量。 教材解读 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z=a+bi、、复平面内的点Z(a,b）和平面向量OZ之间的关系可用图7-1-4表示。 ④ 共轭复数的概念及其几何意义 （1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数。 （2）复数z的共轭复数用z表示，即复数z=a+bi 的共轭复数是 ⑤ 复数的模及其几何意义 （1）复数的模 向量的模叫作复数z=a+bi的模或绝对值，记作lzl或|a+bi|。如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|(的绝对值）。由模的定义可知：b∈R)。 （2）复数的模的几何意义 ①复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义。 ②复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部。 例2-1（2024·安徽淮南一中月考）已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例2-2（2024·湖北团风中学月考）已知复数z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）。 A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3) 例2-3 已知i是虚数单位，在复平面内，复数-2＋i，1-3i对应的点分别为A，B，则A，B两点之间的距离为（ ）。 A. B. C.5 D.25 例2-4（2024·湖南长沙一中期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是（ ）。 A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 例2-5（2024·江西师大附中测试）在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为点B，则向量对应的复数为（ ）。 A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 例2-6（2024·重庆期末）设z=-6+2i，则在复平面内z对应的点位于（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例题2-7 复数z和复数z在复平面内对应的点的位置关系为（ ）。 A.关于原点对称 B.关于实轴对称 C.关于虚轴对称 D.没有对称特征 例2-8（2024·湖北团风中学期末）已知z=1+bi(b>0)，且|z|=2，则( )。 A. B. C.-1+i D.1-i 分层训练 基础达标 1．（2024·湖北武汉二中月考·知识点2）（多选）若θ∈(π,2π)，则复数cosθ+isinθ在复平面内对应的点不可能在（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．（知识点2）在复平面内，向量AB对应的复数是2+i，向量CB又对应的复数是1-3i，则向量CA对应的复数是（ ）。 A.1-2i B.-1+2i C.-1-4i D.3+4i 3．（2024·四川雅安中学高二期中·知识点2）如图7-1-6，在复平面内点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）。 A.A B.B C.C D.D 4．（知识点2）已知复数z=1-2mi(m∈R)且|z|≤2，则实数m的取值范围是 。 5．（2024·重庆四区高一期末联考·知识点1）已知x,y∈R,i为虚数单位，且x-2+yi=-1+i则 。 6.(2024··广东珠海一中高一期中·知识点1）已知复数 (m∈R)。 （1）若z为实数，求m的值； （2）若z为纯虚数，求m的值。 高考提升 1．（2024·陕西西安交大附中月考）棣莫弗公式isin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转120°，所得点对应的复数是（ ）。 A. C. D. 3．（2024·山东枣庄期末）若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a 的值为（ ）。 A. B. C.5 D.7 4．（2024·江苏南通高一期末）（多选）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”。若复数z=a+2i （a∈R，i为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）。 A.a=2 B.|z|=4 C. D.复数i是纯虚数 5．（2024·湖南长沙麓山国际实验学校月考）（多选）18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|=IOZI，也即复数z的模的几何意义为复数z对应的点Z到原点O的距离。下列说法正确的是（ ）。 A.若|z|=1，则z=±1或z=±i B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量与，则向量BA对应的复数为9+i C．若点Z的坐标为（-1,1），则z在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π 6．（2024·河北邢台期末）写出一个同时满足下列条件①②的复数： 。 ① ②z在复平面内对应的点在第二象限。 7．（2024·山东日照一中月考）在复平面内，复数1+i,3+i对应的点分别是A，B，若ΔABC为正三角形，则点C对应的复数是 。 8．（2024·河北邢台一中开学考试）已知复数5m+6)i，i为虚数单位，,m∈R。 （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若在复平面内复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围。 9．（2024·云南师大附中期末）四边形ABCD为复平面内的平行四边形，O为坐标原点，向量对应的复数为对应的复数为对应的复数为-6+4i。 （1）求点D对应的复数； （2）判断A，B，C，D四点是否在同一个圆上，并证明你的结论。 学科网（北京）股份有限公司 $$