2025年九年级中考数学一轮专题复习 点、线 与圆的位置关系 课件

点、线 与圆的位置关系 点 线 圆 一轮中考数学 考点导学: 考点一、点与圆的位置关系: 设圆的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有: 点在圆外 d>r 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 考点二、直线与圆的位置关系: 1.直线与圆的位置关系:设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有: 直线l与圆相离 d>r 直线l与圆相切 d=r 直线l与圆相交 d<r 2.切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的圆的半径。 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 3.切线的判定:经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。 4.解决切线问题的一般方法: (1)当直线与圆的公共点已知时,连半径证垂直; (2)当直线与圆的公共点未知时,作垂直证直线到圆心的距离等于半径; (3)连接圆心和切点,构造直角三角形解题。 5.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。 切线长是指过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长。 考点三、三角形的外接圆、内切圆 外接圆 内切圆 图形 圆心 外心(外接圆圆心,即三角形三条边的垂直平分线的交点) 内心(内切圆的圆心,即三角形的三条角平分线的交点) 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等(可从垂直平分线得到相等线段、角和互余角,还可得到等腰或直角三角形) 三角形的内心到三角形三条边的距离相等。 角度 关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90 + ∠A A B C O A B C O 温馨提示: 如图,当三角形为直角三角形时,外接圆半径为 R= ,内切圆的半径为r= . A B C a b c 例题解析: 1.已知 O的半径为5,在同一平面内有三个点A、B、C,且OA=2.OB=3,OC=5,则这三个点中,在 O内的是( ) A.点A B.点B C.点A、B D.点C 2. O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与 O的位置关系是 。 3.已知点P是 O外一点,PA切 O于A,PB切 O于B,若PA=6,∠APB=60 ,则PB= ,∠APO= 。 P A B O C 相交 6 30 4。如图,AB是 O的直径,PA切 O于点A,PO交 O于点C;连接BC,若∠P=40 ,则∠B等于( ) A.20 B.25 C.30 D.40 P A B C O 5.已知 ABC的三边长a=3,b=4,c=5.则它的内切圆的半径为 。 6.在平面直角坐标系内,以点P(3,-4)为圆心,4为半径的圆( ) A.与x轴相交,与y轴相切 B.与x轴相离,与y轴相切 C.与x轴相切,与y轴相交 D.与x轴相切,与y轴相离 B 1 C 7.如图,AB、AC分别是 O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作 O的切线,与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F。 (1)求证:PC是 O的切线; (2)若∠ABC=60 ,AB=10,求线段CF的长。 P A C O D F B 提示:连接OC,证明垂直。证两个三角形全等( OAP和 OBP)得到∠PCO=90 ,即垂直;对CF的长可利用锐角三角函数的知识求解。 (1)证明:连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O, ∴AD=CD,∴PA=PC,在 OAP和 OCP中, OA=OC PA=PC OP=OP ∴ OAP≌ OCP,∴∠OCP=∠OAP 又∵PA是圆的切线,∴∠OAP=90 ∴∠OCP=90 ,即OC⊥PC. ∴PC是圆的切线。 (2)解:∵OB=OC,∠OBC=60 ∴ OBC是等边三角形,∴∠COB=60 , ∵AB=10,∴OC=5。由(1)知∠OCF=90 , ∴CF=OC tan∠COB= O B A C 点和圆的位置关系、判断方法? 点和圆的位置关系有三种: 点在圆上;点在圆内;点在圆外。 知识点 一: 设⊙O 的半径为r,点P 到圆心的距离OP = d,则有: 点P在圆内 d < r ; 点P在圆上 d = r; 点P在圆外 d > r . A P P P O 例:如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米. (1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何? (B在圆上,D在圆外,C在圆外) (2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何? (B在圆内,D在圆上,C在圆外) (3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何? (B在圆内,D在圆内,C在圆上) A B C D 1. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是_. 3<r<5 2.在平面直角坐标系中,M(2,0),圆M的半径为4,那么点P(-2,3)与圆M的位置关系是( ) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定 C 过一点能作几个圆? A 无数个 圆心是平面上除A点外的任意一点 知识点 二: 过两点能作几个圆? A B 过A、B两点的圆的圆心有何特点? 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.则圆经过A,B两点。 知识点 二: 三点不共线 A B C O 三点共线 知识点 二: 过三点能作几个圆? 定理:不在同一直线上的三点确定一个圆 O A B C 1.经过三角形三个顶点可以作一个圆. 并且只能作一个圆. 2.经过三角形各顶点的圆叫做三角形 的外接圆. 3.三角形外接圆的圆心叫做三角形的 外心,这个三角形叫做这个圆的内 接三角形. O A B C 三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心 外心 1.三边垂直平分线的交点 2.到三个顶点距离相等 锐角三角形外心在 ABC的内部 A C B O A C B O 直角三角形外心是 斜边AB的中点 钝角三角形外心在 ABC的外部 相交 相切 相离 交点 切点 直线与圆 位置关系 公共点名称 及个数 图形 直线 切线 割线 2个 1个 0个 公共点 ⊙O 的半径为r,直线l 到圆心O 的距离为d, 直线l与⊙O相交 d < r 直线l与⊙O 相切 d = r 直线l与⊙O相离 d > r O O O r r r d d d (1) (3) (2) 1.已知⊙O的直径为8,P是直线l上一点,OP=4, 那么直线l与⊙O的关系是_. 注意:1.圆心与直线上一点的距离不一定是圆心到直线的距离. 相交或相切 2.已知⊙O的半径为5,点P到直线的距离为d,若直线与圆相交,那么d的取值范围是_. 0≤d<5 2.求字母范围时,要注意实际意义. 1.直线与半径为r的圆O相交,且点O到直线的距离为5, 则r的取值范围是( ) A. r<5 B. r=5 C. r>5 D. r≥5 2.已知在直角坐标系中,以点(0,3)为圆心,以3为半径作圆A 则直线y=kx+2(k≠0)与圆A的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与k有关 C B 3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0),将⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为( ) A.1 B.1或5 C.3 D.5 B 4.如图,在直角坐标系中,已知点P(6,8),M为OP中点, 以P为圆心,6为半径作圆P,则下列判断正确的有( ) ①点O在圆P外 ②点M在圆P上 ③x轴与圆P相离 ④y轴与圆P相切 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 5. 如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 , 以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E. (1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长. A B C D E O 7. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线 与x轴、y轴分别交于A,B两点,P是直线AB上一动点,⊙P的半径为1. (1)判断原点O与⊙P的位置关系,并说明理由; (2)当⊙P过点B时,求⊙P被y轴所截得的劣弧的长; (3)当⊙P与x轴相切时,求出切点的坐标. 切线=半径+垂直 切线的性质 半径 垂直 切线的判定 (连)半径+(证)垂直 (作)垂直+(证)半径 有点: 无点: AB为圆O的直径,直线DE与圆相切于点C,BE⊥DE于点E 求证:BC平分∠ABE AB为圆O的直径,直线DE与圆相切于点C,BC平分∠ABE 求证:BE⊥DE AB为圆O的直径,BC平分∠ABE,BE⊥DE, 求证:DE与圆O相切 ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心, OB为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于E。 (1)求证:DE是⊙O的切线 (2)若⊙O与AC相切于点F, 如图2,⊙O的半径为2cm, AB=AC=6cm,求∠A。 谢谢观看! $$