天津市西青区杨柳青第一中学2023-2024学年高二下学期第三次质量检测数学试卷

2023-2024学年第二学期高二年级第三次质量检测 数学学科（2024.5) 一，选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，每小题有且仅有一项符合题目要习 1.已知集合A={-3,-l,0,2,3,4},CRB={xx≤0或x>3},则AnB=（) A.O B.{-3,-1,0,4} C.{2,3} D.{0,2,3} 2.已知命题p:x2<2x+3和命题qx-12,则p是4的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 3.函数的大致图象是（) 4.设a=log,2,b=ln3,c=5i,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 5.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量5表示 高二第二学期第三次质量检测数学第1页共4页 出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(5)=() B.7 c. 21 D. 6.若函数)=号-+x+1在区间合内有极值点，则实数a的取值范围是( 7.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%， 40%,甲、乙车间的优品率分别为95%，90%现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概 率为() A.94.5% B.93.5% C.94% D.93% 8已知P为双曲线C号苦-a>06>0上一点，R,B为双曲线C的左、右焦点，若 PF=FF引，且直线P℉与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为() A.y=x B.y=+4x 3 C.y D.y=+ 9.已知函数f(x)=√3 sinxcosx+sin2x,给出下列结论其中谐误的是（) A.函数f(x)的最小正周期为π B.(侣一司引是函数)图象的一个对称中心 C.x=号是函数f八x)图象的一条对称轴 D.将函数/儿因的图象向左平移登个单位长度，即可得到函数y=s血2x+的图象 二，填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分. 10.己知复数z=3+4i 1+i (1是虚数单位)，则复数z的虚部为 山.在+会的展开式中，含x项的系数为 12.在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩5服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），若 高二第二学期第三次质量栓测第2页共4页 P(5<120)=0.75,则P(90≤5≤120)= 13.向量=(1，-2)在向量6=(-4,3)方向上的投影向量是 14.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统 计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2， 0.1,当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6， 0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为一· 15.己知函数f（x)=aC-x2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是() 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别 为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会， ()设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率： (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADP2是梯形，PD/1QA, ∠PD1=,CD⊥平面ADP2,且AD=PD=20A=2. (1)求证：OB/1平面PDC: (2)平面CPB与PB2夹角的大小： ()在棱PD上是否存在一点H,使得异面直线H与PB所成角的余弦值为N5 15， 求DH的 长 高二第二学期第三次质量检测数学第3页共4页 18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinB=2sinC且a=V6(b-c) (I)求cosA的值： (2)若a=√6，①求sinB的值：②求sin(2A+B)的值. 19.已知数列{a,}是等差数列，设S,(n∈N)为数列{an}的前n项和，数列{b}是等比数 列，bn>0,若a=3,6=1,4+S2=12,a5-2b2=43. (I)求数列{a}和{凸}的通项公式： ()求数列{anbn}的前n项和： ,n=2k-1,k∈Z (Ⅲ)若c,= S 求数列{c}的前2n项和. bn,n=2k,k∈Z 20.已知函数=心-式- (1)若函数∫(x)的图像在x=0处的切线方程是y=2x+b,求a,b的值： (2)若函数(x)在R上是单增函数，求实数a的取值范围； 《3)如果g)=-口-F恰有两个不同的极值点，证明：生产<h2a. 高二第二学期第三次质量检测第4页共4页 2022-2023学年第二学期高二年级第三次适应性测试 数学学科答案 一、选择题：1-5：CDAAB 69: CDBB 二、填空题：10.山.62.0513. 14.0.68 15.0<a< e2 16.(0号；2)=1， 【分析】(1)可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4” 的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果； (2)由题意知随机变量X的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分 布列，求出数学期望值 详期10由已知有0-SS-号， 所以事件A的发生的概率为 (2)随机变量X的所有可能的取值为0,1,2； mx-0-Sttg告：Px==S5-CtS-C-6 15 Px=2)-C:C.4 所以随机变量X的分布列为： X 0 2 4 7 4 P 15 高二数学第一次适应性测试第1页共8页 数学期望为(K)和号1号2音1 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随 机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题， 17.(1)证明见解析 6存在，DH- 【分析】(1)证明平面BAQ平面PDC,即可得到答案 (2)以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面CPB和平面PBQ的 法向量，根据向量夹角公式计算得到答案 (3)假设存在，设H(0,0,h),根据向量的夹角公式计算得到答案 【详解】(I)ABI CD,ABE平面PDC,CDc平面PDC,所以ABII平面PDC, 同理AOPD,AQ￠平面PDC,PDc平面PDC,所以AQII平面PDC, 又AB∩AQ=A,ABc平面BAQ,AQC平面BAQ,故平面BAQ平面PDC, OBC平面BAQ,故OBII平面PDC. (2)CD⊥平面ADPQ,PDc平面ADPQ,故CD⊥PD,故DA,DP,DC两两垂直 以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则C(0,2,0)，P(0,02),B(2,2,0),2(2,0,1),A(2,0,0), 设平面CPB的法向量为元=(x,y,z),则 m·BC=-2x=0 元·P℃=2y-2z=0' 取y=1得到m=(0,11), 设平面PB2的法向量为历=(a,b,c),则 n2·B0=-2y+z=0 n2·P0=2x-z=0 取x=1得到n2=(（1,1,2), 高二数学第一次适应性测试第2页共8页 cos(,= 同向”2×62，平面CPB与P80所成角为钝角，故为5 月1·n2 3 6 (3)假设存在，设H(0,0,h),则A=(-2,0,h),PB=(2,2,-2), 则leos(丽，P A匠.PB 而解器减信 4+2h 7N3 aP园 故存在H满足条件，DH=- 2 0g;@. 16 【分析】(1)由正弦边角关系及已知得sinA=√6sinC,且sinB=2sinC,进而可得a=√6c、b=2c, 应用余弦定理求cosA; (2)由已知及(1)得c=1、b=2,平方关系、正余弦定理求si血B,再应用和角、倍角正余弦公 式求sin(2A+B). 【详解)(l)）由a=√6(6-c)=sinA=√6(sinB-sinC)=√6(2sinC-sinc)=V6sinC, 所以a=√6c,又sinB=2sinC,即b=2c, cos4b+tci-ai c+c-6e1 2bc 4c2 4 2)由(1)知：a=√6c=√6→c=1,且b=2c=2, 由血4>0，则sinA=V-cosA= 4 高二数学第一次适应性测试第3页共8页 ①正弦定理知：b =-a →simB=bsin4=i而 sin B sinA a ②驭casB-t2-6,且sn24:2m4o4:- 2ac 4 ，cos2A=1-2sin2A=- 8 8 所以s血(2A+B)=sm2 Aco+eos24si血B=L5x5+C马xi而。-5西 2+( 81 4 8 4 16 19.0a,=2n+1,neN,6.=2,neNr;00）Z=(2m-)2+1,ne;W,2n+2-2 2n+13 【分析】()先根据题意设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为g,然后根据已知条 件列出关于d和g的方程组，并进一步计算出d和g的值，即可得到数列{an}和{bn}的通项公式； (l)根据第()题先计算出数列{ambn}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出数列{am~bn} 的前n项和； 0训根据第仙题先计算出S的表达式，进-步计算出子的表达式，即呵计算出数列么)的 通项公式，然后运用分组求和法，以及裂项相消法和等比数列的求和公式即可计算出数列{C}的 前2n项和， 【详解】()由题意，设等差数列{an}的公差为d,等比数列也}的公比为9(q>0), 则6+=692+d+2a=12 ∫g2+d=6 (a-26=%+4d-26g=3+2d,得 d-q=0' 整理，得g2+q-6=0,解得g=-3(舍去)，或q=2,d=q=2, an=3+2(n-l)=2n+l,neN°，bn=12-=2，neN'. ()由()得，a,b,=(2n+1)2"-,令数列{a.b}的前n项和为Tn, 则Tn=a+ab2+…+anbn=32°+52+7…22+…+(2n+1)2, 2Tn=32+522+…+(2n-1)2-+(2n+1)2”, 两式相减，可得-T=3+2·2+2·22+…+22--(2n+1)2” =3+2亿+2++22n+1-2”=3+2.2=号-(2m+12=-(2m-小2-1， 1-2 高二数学第一次适应性测试第4页共8页 Tn=(2n-1)2"+1,neN. m南0隔-2-e2小小号网名 ,n=2k-l,k∈Z 11 n=2k-1,k∈Z “.C= S nn+2' ba,n=2k,k EZ 2"-,n=2k,k EZ 数列{cn}的前2n项和为：G+C2+G+C4+…+C2-+C2n=(G+G+…+c2m)+(92+c+c2m） -5甘e*+2)2 =2n 2201-2 2n+1 3 【点睛】数列求和的方法主要有：等差，等比数列的公式法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消 法，分组求和法等 20.(I)a=-1,b=1;(2)as1;(3)证明见解析. 【分析】(1)利用导数的几何意义求解，由题意可得f'(0)=1-a=2,可求出a,由f(0)=1可求出 b的值； (2)由函数f(x)在R上是单增函数，可得e'-x-a≥0恒成立，即ase-x恒成立，构造函数 h(x)=e-x,利用导数求出其最小值即可； (3)由x,是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设x<x),当α≤0时可判断出函数不存在两个极 值点，所以a>0,则g-2ac-a=0,G-2a,-a=0,两式相减可得2a=- ,所以要证明 x1-x2 +五<n2a,即证明e学<-点，两边同除以r,即证e学<名 ,即证 2 x1-无2 X1-x2 6-)学>g-飞-1，即证6-5)e学-e+1>0,令x-名=1<0，则e-+1>0, 然后构造函数利用导数证明即可 【详解】(1）f'(x)=e-x-a,f'(0)=1-a. 于是由题知1-a=2,解得a=-1 高二数学第一次适应性测试第5页共8页 ·f)=e-x2+x,·f0=1,于是1=2x0+b,解得b=1. 即a=-1,b=1. (2)由题意f'(x)≥0即e-x-a≥0恒成立，·a≤e-x恒成立. 设h(x)=e-x,则hx)=e-l. (-∞，0) (0,+oo) 0 h(x) 0 + h(x) 减函数 极小值 增函数 ÷h(x)aa=h(0)=1,as1. 6创由已知g=e--om-am2+分=-am-m :g'(x)=e"-2ax-a. :,x是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设x<x), 若a≤0时，g"(x)>0,即g'(x)是R上的增函数，g(x)至多有一个极值点与已知矛盾 ÷a>0,且g(x)=0,g(s2)=0. ÷g-2ax1-a=0,e-2ax2-a=0. 两式相减得：2a=今-g x1-x2 于是要证明55<h2a,即证明e学<-￡ 2 x1-x2 两边同除以ex,即证e学<5，即证k-5宁>G--1, 1-x2 即证(6-5)登-e+1>0,令5-5=1<0. 高二数学第一次适应性测试第6硕共8页