精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2024-2025学年八年级上学期期末检测数学试题

新海初级中学2024—2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号填在答题纸上） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 7. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两名运动员同时从地出发前往地，在笔直的公路上进行骑自行车训练如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 (千米)与行驶时间 (小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，或．其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 用四舍五入法，对精确到百分位得到的近似数是______． 10. 如果点P（2，b）和点Q（a, -3）关于x轴对称，则a+b的值是____. 11. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 12. “三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则______． 13. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是______． 14. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为______． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴．垂足为B，直线AB与直线交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为_______. 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为______． 三、解答题（本大题共10题，共94分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的值． （1）； （2）． 19. 已知与成正比例，且时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求当时，y的值； （3）当时，求x取值范围． 20. 如图，在中，于点，于点，交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 21. 如图，已知点和点坐标分别为和． （1）在图中建立适当平面直角坐标系； （2）点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为______； （3）顺次连接，，，得到，点在轴上且满足，请直接写出点坐标为______． 22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． （1）求直线的解析式； （2）作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； （3）过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 24. 春节期间，某批发商欲将一批水果由点运往地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运输业务，设运输过程中的损耗为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示．（总费用途中损耗总费用运费装卸费用） 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用（元） 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 （1）若市与市之间的距离为600千米，则火车运输的总费用是 元；汽车运输的总费用是 元． （2）若市与市之间的距离为千米，请直接写出火车运输的总费用（元）、汽车运输的总费用（元）分别与（千米）之间的函数表达式． （3）如果选择火车运输方式合算，那么的取值范围是多少？ 25. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 26. 【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海初级中学2024—2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号填在答题纸上） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、=2，故本选项错误； B、=3，故本选项错误； C、=9，故本选项错误； D、=13，故本选项正确． 故选D． 3. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据用勾股定理逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D． 【详解】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 5. 如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，即，故②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故③正确； ④因为，所以，故④不正确． 综上，①②③正确． 故选：A． 7. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 8. 甲、乙两名运动员同时从地出发前往地，在笔直的公路上进行骑自行车训练如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 (千米)与行驶时间 (小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，或．其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①甲的速度为千米/小时，即可求解；②t≤1时，乙的速度为50千米/小时，t＞1后，乙的速度为千米/小时，即可求解；③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，即可求解；④甲的函数表达式为：y＝40x，乙的函数表达为：0≤t≤1时，y＝50x，t＞1时，y＝35x＋15，即可求解． 【详解】解：①甲的速度为千米/小时，故正确； ②t≤1时，乙的速度为千米/小时，t＞1后，乙的速度为千米/小时，故错误； ③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，乙在甲前10千米处，故正确； ④∵甲的速度为40千米/小时：甲的函数表达式为：y＝40x， 乙的函数表达为：0≤t≤1时，乙的速度为50千米/小时，∴y＝50x， t＞1时，设y=kx+b， 将点（1,50），（3,120）代入得： ，解得k=35，b=15， ∴t＞1时，y＝35x＋15， t＝0.5时，甲、乙两名运动员相距＝50×-40×=5（千米）， t＝2时，甲、乙两名运动员相距＝（35×2＋15）−2×40＝5（千米）， 同理t＝4时，甲、乙两名运动员相距为5千米，故错误． 故选：B． 【点睛】本题为一次函数应用题，此类问题主要通过图象计算速度，即为一次函数中自变量x的系数，进而求解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 用四舍五入法，对精确到百分位得到的近似数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，熟知精确到某一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键．精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对精确到百分位得到的近似数为， 故答案为：． 10. 如果点P（2，b）和点Q（a, -3）关于x轴对称，则a+b的值是____. 【答案】5． 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点P（2，b）和点Q（a，-3）关于x轴对称， ∴a=2，b=3， 则a+b的值是：2+3=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查关于x轴对称点的坐标特点，解题的关键在于熟练掌握：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． 11. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两条直线交点求方程的解， 先求出点P的坐标，再根据方程的解是直线与直线交点的坐标解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点， ∴方程的解是． 故答案为：． 12. “三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则______． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作于， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ， ， 的面积， 故答案为：15. 14. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ∴， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积为：5． 故答案为：5． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴．垂足为B，直线AB与直线交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【详解】如图，过点P 作EF∥x轴，交y轴与点E，交AB于点F，则 易证△CEP≌△PFD（ASA）， ∴EP=DF， ∵P（1，1）， ∴BF=DF=1，BD=2， ∵BD=2AD， ∴BA=3 ∵点A在直线上，∴点A的坐标为（3，3）， ∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（0，3）， 设直线CD的解析式为， 则解得： ∴直线CD的解析式为， 联立可得 ∴点Q的坐标为 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，， ， ， 即取得最小值时，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，转化线段是解题的关键． 三、解答题（本大题共10题，共94分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，立方根定义，零指数幂运算法则． （1）根据乘方运算法则，算术平方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据立方根定义，绝对值意义，算术平方根定义，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用立方根和平方根解方程，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根定义． （1）先移项，然后将系数化为1，再开平方即可； （2）先移项，然后再开立方即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边除以8得：， 开平方得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 19. 已知与成正比例，且时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求当时，y的值； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由与成正比例，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）把代入，进行计算可得答案； （3）先求解当时，；当时，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意设， 把，代入得， 解得， ∴，即， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ∴当时， 则x的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设，将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了两个量成正比例的含义及一次函数的性质． 20. 如图，中，于点，于点，交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，并且适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由于点于点，交于点，得，则，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，则，所以，求得，则． 【小问1详解】 证明：∵，， ， ， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ，，， ， ， ， ∴的长为5． 21. 如图，已知点和点的坐标分别为和． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为______； （3）顺次连接，，，得到，点在轴上且满足，请直接写出点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标． （1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系以及轴对称的性质即可得到结论； （3）设点的坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：建立的平面直角坐标系如图所示； 【小问2详解】 解：点C的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 由题意得， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为或． 故答案为：或． 22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； 【小问2详解】 解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． （1）求直线的解析式； （2）作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； （3）过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在；点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， 的面积为， 当时，如图： 此时， ， 即， 解得：， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图： 此时， ， 即， ， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； 【小问3详解】 解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为中点， ∴，， ∴； ②若时，如图： ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 24. 春节期间，某批发商欲将一批水果由点运往地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运输业务，设运输过程中的损耗为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示．（总费用途中损耗总费用运费装卸费用） 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用（元） 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 （1）若市与市之间的距离为600千米，则火车运输的总费用是 元；汽车运输的总费用是 元． （2）若市与市之间的距离为千米，请直接写出火车运输的总费用（元）、汽车运输的总费用（元）分别与（千米）之间的函数表达式． （3）如果选择火车运输方式合算，那么的取值范围是多少？ 【答案】（1）12200；14400 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以分别计算出火车运输的总费用和汽车运输的总费用； （2）根据题意和表格中的数据可以分别写出火车运输的总费用（元）、汽车运输的总费用（元）分别与x（千米）之间的函数表达式； （2）根据题意和②中的函数关系式，令，即可求得x的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得： 火车运输的总费用为：（元）， 汽车运输的总费用是：（元）； 【小问2详解】 解：由题意可得， 火车运输的总费用（元）与x（千米）之间的函数表达式是： ， 汽车运输的总费用（元）与x（千米）之间的函数表达式是： ； 【小问3详解】 解：令， 解得：． 答：如果选择火车运输方式合算，那么x的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，有理数混合运算的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 25. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2；45；（2），2，3；（3）255 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ，； （2），，且， ，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 26. 【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点作，交于，过作轴于，则等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； （3）由（1）得，得，再根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线平移，求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，最后求出结果即可； （4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题． 【详解】证明：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示： 则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ，， ，， ，， ， 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为； （3）由（1）得， ，， ∴， ，， ∵Q为的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为，把分别代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 把分别代入得：，， 解得：，， ∴，， ∴． （4）①若点为直角顶点时，如图， 设点的坐标为，则的长为， ，，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为； ②若点为直角顶点时，如图， 设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 此时点与点重合，点与点重合， 即点的坐标为； ③若点为直角顶点时，如图， 设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， ， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $