安徽省阜阳市临泉县临化高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（BC班）

第 1 页 共 4 页 临化中学 2024-2025 学年度（上）高二年级期末考试（BC 班） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：选择性必修一、二 命题人：张浚峰） 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列 na 中，若 1 1a  ， 2 4 10a a  ，则 20a  （ ） A．38 B．39 C．40 D．41 2．直线 1 : 2 8 0l ax y   与直线  2 : 1 4 0l x a y    平行，则实数 a的值是（ ） A． 2 B．1 C． 2 或 1 D． 1 或 2 3．直线 l的一个方向向量为 ( 2,1, 1)  ，平面 的一个法向量为 (3,3, 3)n    ，则（ ） A． //l  B． l  C． //l  或 l  D． l与 的位置关系不能判断 4．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   的一条渐近线的斜率为 3，且与椭圆 2 2 1 5 x y  有相等的焦距， 则 C的方程为（ ） A． 2 2 1 3 x y  B． 2 2 1 3 yx   C． 2 2 1 9 3 x y   D． 2 2 1 3 9 x y   5．已知 1x  是函数   3 3f x ax x  的一个极值点，其中 a为实数，则  f x 在区间[ 2,2] 上的最 大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F ，P为直线 3 2 x a 上一点， 2 1F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A． 3 3 B． 12 C． 3 2 D． 3 4 7．已知  1,3, 2AB    ，  3,1, 2BC    ，  1,0,2BP    ，则平面 ABC的法向量与BP  的夹角的余弦 值为（ ） A． 30 10 B． 30 10 或 30 10  C． 3 10 10 D． 3 10 10 或 3 10 10  8．数列 na 的前n项和为 nS ，若 1 2 2a a  ， 1 1n na S   ，则（ ） A．数列 na 是公比为 2的等比数列 B． 6 48S  C． n n a S 既无最大值也无最小值 D． 1 2 1 1 1 10 3na a a      第 2 页 共 4 页 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分 9．记等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 9 27S  ， 2 10 10a a  ，则（ ） A． 1 5a   B． 6 2S  C． 3nS S D． 7 7S a 10．已知点    0, 2 , 0, 2P Q ，动点� �, � 与 ,P Q两点连线的斜率分别为 1 2,k k 且 1 2k k  （为 常数），下列结论正确的有：（ ） A．若 0  ，则动点� �, � 一定在椭圆上 B．若 0  ，则动点� �, � 一定在双曲线上，且双曲线的焦点在 y轴 C．若 4   ，则 x y 的取值范围是 5, 5   D．若 1,O   为坐标原点，且直线 0x y t   上存在点A使得 30OAM  ，则 4 2 4 2t   11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E F M， ， 分别为棱 BD， 1 1AD ， 1 1AB 的中 点，N点在线段 1 1B D 上运动，则下列说法正确的是（ ） A．EF P平面 1 1A AB B B．三棱锥MNBD的体积不是定值 C．三棱锥MBDC 的外接球的表面积是 41 4  D．当直线BN和 EF所成角最小时，线段BN长为 3 2 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15 分. 12．已知圆 2 2: ( 3) ( 4) 1C x y    ，点 ( 1,0)A  ， (1,0)B ，点 P为圆上的动点，则 2 2PA PB 的最 大值是 . 13．已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F ，点 M 在抛物线上 .若 6MF  ，则点 M 的横坐标 为 ， OMF 的面积为 . 14．若曲线    ln 2f x x  在 1x   处的切线同时与圆( )2 2 2x a y- + = 相切，则 a  ． 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在四棱锥P ABCD 中， / / , 4, 2, 10, 60AB CD AB BC CD BP DP BCD        ， AD PD ． (1)求证：平面PBD 平面 ABCD； (2)若线段PC上存在点 F，满足CF FP   ，且平面 BDF 与平面 ADP的夹角的余弦值为 130 130 ，求实数的值． 16．（15分）已知点A是抛物线 2 16y x 上的动点，过点A向 x轴作垂线段，垂足为 B，垂线段 AB 中点为C，设C的轨迹为曲线 E . (1)求曲线 E的方程； (2)设过点  1,0F 且斜率为 1的直线 l交曲线 E于M ，N两点，O为坐标原点，求 OMN 的面积. 17．（15分）如图，椭圆 2 2 2 2 1 x y a b   （a>b>0）的左焦点为 F，过点 F的直线交椭圆于 A、B两点. 当直线 AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60°. （1）求该椭圆的离心率； （2）设线段 AB的中点为 G，AB的中垂线与 x轴、y轴 分别交于 D、E两点.记△GDF的面积为 1S ，△OED（O坐 标原点）的面积为 2S .求 1 2 S S 的取值范围. 第 4 页 共 4 页 18．（17分）已知函数 2( ) 2 ( )xf x xe ax ax a   R ． （Ⅰ）若曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程为3 0x y  ，求 a的值； （Ⅱ）当 1 0 2 a   时，讨论函数  f x 的零点个数． 19．（17分）设 na 和 nb 是两个等差数列，记  1 1 2 2min , , , ( 1,2,3, )     n n nc b a n b a n b a n n ， 其中  1 2min , , , sx x x 表示 1 2, , , sx x x 这 s个数中最小的数． (1)若 ,  n na n b n，求 1 2 3, ,c c c 的值； (2)若 2, n na b n ，证明 nc 是等差数列； (3)证明：或者对任意实数M ，存在正整数m，当n m 时， n c M n ；或者存在正整数m，使得 1 2, , ,m m mc c c    是等差数列． 高二数学期末考试参考答案 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．B 2．B 3.C 4．B 5.C 6．D 7．B 8．D 【分析】根据间的关系求出，进而判断A,B；然后求出，根据数列的增减性判断C；最后通过等比数列求和公式求出，进而判断D. 【详解】由题意，时，，又，解得：， 时，，则，又， 所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误； 易得，，则，B错误； 时，，时，，而是递减数列，所以时，. 综上：有最大值1.C错误； 时，，满足题意；时，，于是，.D正确. 9．ACD 10.BCD 由可得，即 对于A，若，则点M在圆上，选项A错误 对于B，若，则点轨迹为焦点在轴上的双曲线，B正确 对于C，若，则，即， 可设点， 则，可得C正确 对于D，当时，点M轨迹为， 当垂直于直线，且为圆切线时，此时最大， 此时需满足，即， 由点到直线距离，解得，D正确. 故选；BCD 11．ACD    对于A，取中点，连接，由于分别为棱BD的中点， 所以有，且， 又因为，且， 所以，且， 则四边形是平行四边行， 即，又因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，而N点在线段上运动，、 则点N到平面的距离不变，而为的中点， 所以三角形的面积是定值，即三棱锥的体积是定值，故B错误；    对于C，由直角三角形的外接圆心是点，再取的中点为， 则平面，即三棱锥的外接球的球心在上， 所以设，由棱长为2的正方体可知， ，，又因为， 所以，解得：， 即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；    对于D，建立如图以为原点的空间直角坐标系，可知：，设点的坐标为， 则， 所以有令，则，因为，所以，即 则上式 二次函数在递减，在递增， 所以在有最小值，即， 故上式有最大值，即， 此时线和所成角最小，所以此时， 则，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.74 13． 14．1或 【详解】由，得，，则， 所以曲线在处的切线方程为， 依题意，直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：1或 15  .（1）：因为，，所以为等边三角形，， 又，所以，又， 所以. 因为，所以为直角三角形，. 又，，为平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以，平面平面. （2）取中点，中点，因为， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又， 故以为原点，建立如图空间直角坐标系，    所以，，，，，. 设，因为， 解得，所以. 设平面的法向量为， 则，取； 设平面的法向量为， 则，取. 那么，，. 由，又，所以. 16．（1）设，则， 由于在抛物线上，所以，即 （2）根据题意可设直线l的方程为 联立，设， 则， 因此 ∴面积为 17．（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设，则.将代入，得.所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，椭圆方程可设为，设，.依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得. 则. 所以. 因为，所以. 因为， 所以.所以的取值范围是. 18．（Ⅰ）由已知， ∵函数图象在点处的切线方程为， ∴，即，． （Ⅱ）， ，， 由得，，， ①当，即时，当变化，，变化情况如下： ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 ∴在和是增函数，在是减函数， 又，，∴函数有一个零点； ②当当，即时，当变化，，变化情况如下： ＋ 0 ＋ 增 增 ∴函数在上是增函数，又，函数有一个零点； ③当，即时， 当变化，，变化情况如下： ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 ∴在和是增函数，在是减函数， 又，，∴函数有一个零点； ，，，， ∴当时，此时，函数只有一个零点， 时，，函数有两个零点， 时，，函数有三个零点， ④，即时，由于，因此函数有两个零点， 综上所述，（1）时，函数有一个零点，或时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点． 19．（1），， ； （2）， 当时， 当时，， 所以关于单调递增， 所以， 所以对任意，因此， 所以是等差数列； （3）设数列和的公差分别为，则 . 所以 ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$