精品解析： 北京市北京汇文中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期 期中考试 高三年级 数学学科 本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长120分钟.请考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 64 D. 4. 若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数为75分 C. 满意度计分的75%分位数是85分 D. 满意度计分的平均分是76 7. 已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 9. 直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，25分. 11. 抛物线的焦点坐标为_____________. 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则的最小正周期为____________；______________. 13. 已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是______________. 14. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）______块． 15. 设函数， （1）若，函数的最小值为____________； （2）若函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 三、解答题共6小题，共85分. 16. 已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数在上的单调递减区间. 17. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值. 18. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据： 康复时间 只服用药物A 只服用药物B 7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复 12人 40人 假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率； （2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望： （3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 20. 已知椭圆的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期 期中考试 高三年级 数学学科 本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长120分钟.请考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合、，再求. 【详解】， 或， 则或. 故选：D. 2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义、在上递减逐项判断可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，在开区间上单调递减，故A不正确； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以为奇函数，且在上单调递减，故C正确； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 由于在上单调递增， 所以在上单调递增，故D错误, 故选：C. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 64 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式的展开式通式求得常数项即可. 【详解】设二项式的展开式中的通项为 ，， 令，可得，, 故选：A. 4. 若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得，①正确；根据条件得，②正确；根据条件得，，③正确. 【详解】由得，所以，故，①正确. 由得，所以，②正确. 由得，，所以，③正确. 所以正确的个数是3. 故选：D. 5. 如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，由，可求解底面半径，即可求解. 【详解】设底面圆半径为，由，易得， 取的中点，连接， 则，又平面， 所以平面，所以，， 解得，所以圆柱表面积为. 故选:A. 6. 近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数为75分 C. 满意度计分的75%分位数是85分 D. 满意度计分的平均分是76 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图频率和为1计算判断A；根据频率分布直方图计算平均数，众数及百分位数定义计算判断B，C，D. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，即， 因为，所以，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可得，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以满意度计分的75%分位数， 所以，故C正确； 对于D， 满意度计分的平均分为，故D错误． 故选：D． 7. 已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，则，， 所以，， 当时，，所以是充分条件， 因为，只有当与反向时，等号成立，即， 此时，所以是必要条件， 综上可知，“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出值，再由废气中的污染物含量不超过的列出不等式求解即得. 【详解】依题意得，当时，， 当时，，则， 可得，即，所以， 当时，解得， 故至少需要过滤8h才能达到排放标准． 故选：C. 9. 直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式计算可得弦长的取值可以为4，5，再由对称性即可得出结论. 【详解】易知直线恒过点， 圆的圆心为，半径为； 因此，当与弦长垂直时，弦长最短，此时； 最大弦长应小于等于直径，因此长度为整数的弦的长度可以为4，5； 由对称性可知长度为4的只有一条，长度为5的弦长有2条，共3条。 故选：A 10. 数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】求出前四项可判断①；若存在使得，，成等比数列，得出相邻两项关系可判断②；由求出可判断③；由题意写出数列的前17项可判断④. 【详解】对于①，，，， 显然，成等差数列，故①错误； 对于②，若存在，使得，，成等比数列， 则，又，得， 即，解得， 由，， 得，且为整数， 所以，这与相邻两项为整数矛盾，故②错误； 对于③，因为，， 所以，所以，则成等差数列， 故存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列， 故③正确； 对于④，由题意知数列中的项：， 可得，故④正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题关键点是对的理解与运用. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，25分. 11. 抛物线的焦点坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据标准方程可直接得出焦点坐标. 【详解】由可得焦点在轴上，且，可得； 所以焦点坐标为. 故答案为： 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则的最小正周期为____________；______________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据表格中的数据，以及三角函数的性质求函数的解析式，即可求解. 【详解】函数的最大值为1，最小值为， 所以，得， ，， 则，所以取，符合题意， 所以，最小正周期，. 故答案为：； 13. 已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件确定、的值，利用导数研究函数的单调性及极值，结合函数的值域，得到方程，求方程的解即可确定的取值范围. 【详解】由题意可得：， 因为函数在处取得极小值， 所以，即，解得， 又因为，则有，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取极小值，在处取极大值， 令，即， 化为，解得， 令，即， 化为，解得或， 所以函数图像大致如图： 又因为函数在处取得极小值， 若满足定义域为，值域为，则有，. 故答案为： 14. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）______块． 【答案】 【解析】 【分析】设每层环数为，结合已知有求n，进而应用等差数列前n项和公式求三层共有扇面形石板数. 【详解】设每层环数为，则上层最后一环有块， 中层第一环有块，最后一环有块， 下层第一环有块，最后一环有块， 所以下层比中层多，可得， 则三层共有扇面形石板块. 故答案为： 15. 设函数， （1）若，函数的最小值为____________； （2）若函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】（1）代入画出函数图象可得结果； （2）对参数的取值进行分类讨论，得出不等式即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，； 其图象如下图所示： ∴当时，函数取最小值0； （2）由（1）知当时，函数的最小值为0，符合题意； 若，当时，单调递增， 当趋近于时，趋近于，此时没有最小值； 若，当时，单调递减，此时； 当时，； 所以或，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：0；. 三、解答题共6小题，共85分. 16. 已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数在上的单调递减区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先应用两角和正弦公式再结合二倍角正弦及余弦公式得出,根据①②③得出参数，最后结合正弦函数的对称中心得出对称中心；. （2）应用正弦函数的单调区间结合得出单调减区间即可. 【小问1详解】 因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. 【小问2详解】 因为, 令,可得, 又因为,令,得, 令,得, 所以函数在上的单调递减区间为， 17. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，故； 为等边三角形，为中点，故； ，且平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）平面得到，，得到线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则，故平面， 平面，故，. 为等边三角形，所以. 以为原点，以、、所在直线分别为、、 轴建立空间直角坐标系， 因为为等边三角形，所以， 即， 则， 由中点坐标公式得 则， 设平面的法向量为，则，， 令，得平面的一个法向量为， 又. 平面与直线所成角为， . 平面与直线所成角的正弦值为. 18. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据： 康复时间 只服用药物A 只服用药物B 7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复 12人 40人 假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率； （2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望： （3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为1 （3）2 【解析】 【分析】（1）结合表格中数据求出概率； （2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望； （3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案. 【小问1详解】 只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人， 故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为； 【小问2详解】 只服用药物A的患者7天内康复的概率为， 只服用药物B的患者7天内康复的概率为， 其中X的可能取值为， ，， ， 则分布列为： 0 1 2 数学期望为； 【小问3详解】 只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为， ， 令，即， 解得：，因为，所以. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）令，由，得，再结合的单调性可求得，然后再利用导数证明当时，即可. 【小问1详解】 当时，， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，无极大值． 【小问3详解】 令， 由得， 令，则在上单调递减， 又，故． 下面证明当时，． 易知． 设，则， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即 设，则， 当时，， 当时，， 故，则，即． 故，则． 故所求的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键构造函数，结合求出的取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 20. 已知椭圆的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆性质可得出短轴长，再由正弦值即可求得椭圆的标准方程； （2）设出直线方程并与椭圆联立，根据韦达定理利用数量积的坐标表示计算，可解得点满足题意. 【小问1详解】 根据题意可知，可得； 又，解得； 因此， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率存在， 不妨设斜率为，即，，如下图所示： 联立，整理可得，易知； 由韦达定理可得； 所以， ； 若，可得， 所以 对于恒成立； 即， 也即， 因此可得，解得， 而点在椭圆上，即存在点满足题意. 【点睛】难点点睛：此类圆锥曲线的综合解答题，一般比较复杂，计算量较大，难点在于基本都是字母参数的运算，因此需要十分细心. 21. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 假设中仅有有限项为0，不妨设，且当时，均不为0，则， 取，则存在，使得，与矛盾. （3） 【解析】 【分析】（1）依题意代入计算即可； （2）利用反证法证明即可； （3）①分与两种情况讨论，①当时，首先证明数列是递增数列，再证明即可，②当时，令，结合①的结论即可得解. 【小问1详解】 取，则存在，使得， 因为，，所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，首先证明数列是递增数列，即可证，恒成立， 若不然，则存在最小的正整数，使得，且， 显然，取，则存在，使得， 因为， 所以这个不同的数恰为这项. 所以与矛盾， 所以数列是递增数列， 再证明：，， 记，即证， 当时，结论成立， 假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立， 但，则， 取，，则存在，使得， 因为数列是递增数列， 所以， 所以， 因为这个数恰为这项， 所以， 这与矛盾， 所以， 当时，令，，则，，且， 对于中任意两项， 因为对任意，存在，使得， 所以，即存在，使得， 因此数列满足题设条件， 由①可知， 所以， 综上所述，， 经检验，数列满足题设条件. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解数列新定义问题，关键是数学归纳法和反证法的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $