江西省抚州市2024-2025学年高二上学期学生学业质量监测数学试题

抚州市2024一2025学年度上学期学生学业质量监测 高二数学试题卷 说明：1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卡，答聚要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给 分. 3.所有考试结束3天后，考生可凭准考证号登录智学网(m.zhixue..com)查询考试成 绩，密码与准考证号相同. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题 目要求 1.已知直线4：x+2y=0,l2:ar+by+1=0,若(1l2,则a+2b=（) A.0 B.1 c.-1 D.2 2.圆心为(4,0)且过点(0，-3)的圆的标准方程为() A.x2+0-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25 3.设RR为椭圆c:号+y=1的两个售点，点P在C上，若所丽=0，则PPF（) A.1 B.2 C.4 D.5 4.如图，三棱锥0-ABc中，O=a,0丽=6,0元=8，且O丽-0，丽-丽，则m () A.-18+16+18 433 B.+时5+ 43 +5+ C.- 3a+26+c D.4 2 2 5.若(2x-1)5=a+a,(x-1)+a2(x-1)2+a,(x-1)3+a(x-1)°+a,(x-l)°，则下列 结论中正确的是（) A.do=-1 B.a4=-80 C.laol+lal+lazl+lal+laal+lasl=35 《D.ata*aa+a+a)" 6.已知过原点的直线1与圆C:(x-3)2+0y-4)2=49相交于A,B两点，则4B的最小值为() 高二数学试卷第1页共4页 Page 1 of 4 A.6 B.39 C.4W5 D.4V6 7.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、 乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排 方法共有() A.25种 B.150种 C.300种 D.50种 8.如图，已知F,F是双曲线C: =1的左、右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足 FP11FQ,且F@=EP八=3FP叫，则双曲线C的离心率为() A. 0 B. 5 2 D. o 3 2 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9.己知空间向量m=(-1,2,4),n=(2,4,x),则下列选项中正确的是（) A.当m⊥i时，x=3 B.当m∥元时，x=-8 C.当|m+=6时，x=-3 D.当x=1时，sin<m,元>= 35 7 10.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，∠BAC=90,AB=AC=5,AA=2,E,F,G分别是棱 BC,AC,AB的中点，D在线段B,C上，则下列说法中正确的有() G B A.EF∥平面AA,B,B B.BD∥平面EFG C.存在点D,满足BD⊥EF D.三棱锥D-EFG的体积不变 11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离 之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知两定F(-2,0),F(2,0),动点P(,%)满足 PFPF引=4，设P的轨迹为曲线C,下列说法中正确的有() A.P的横坐标最大值是2 B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形 C.存在点P,使得PF⊥PF D.△FPF,面积最大值2 高二数学试卷第2页共4页 Page 2 of 4 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12.双曲线上+广 =1的离心率为2，求m=一 +1 13. 若 的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 14.在平面凸四边形ABCD中，CB=CD=√互，AB=AD,且∠BAD=60,∠BCD=90°，将四边 形ABCD沿对角线BD折起，使点A到达点E的位置.若二而角E-BD-C的大小范围是 了·3则三棱锥E-BCD的外接球表面积的取值范围是 元2r 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在 答题卡上的指定区域内. 15.(本小题满分13分)设直线4：mr+3my-6=0与42：(4-m)x+my+m-4m=0. (1)若4川2，求4、4，之间的距离： (2)当直线！与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值 16.(本小题满分15分)已知0为原点，直线x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0交于P、 2两点. (1)若Pg=2√万，求m的值： (2)若过O点作圆的两条切线，切点为M、N,求四边形ONCM面积的最大值. 1.(本小题满分15分)已知抛物线E:y=2p(p>0)与双曲线号-苦=1的渐近线在第一象限 的交点为Q,且Q点的横坐标为3. (1)求抛物线E的方程： (2)过点(2，I)作一直线交抛物线E于A,B两点，求弦AB的中点轨迹方程， 高二数学试卷第3页共4页 Page 3 of 4 18.(本小题满分I7分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB上AC,AP⊥BP,CA1AP,BC=√5， M、N分别为PB、PA中点. (1)证明：BP⊥AC: (2)证明：平面CN与平面ABC的交线I1/平面PAB: (3)若PA=PB,二面角C-MN-A的正切值为2， 求AC的长 B 19.（本小题满分17分)如图所示，在圆锥内放入两个球O,O,它们都与圆锥的侧面相切（即 与圆锥的每条母线相切)，且这两个球都与平面α相切，切点分别为F,F,数学家丹德林利用 这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，记为厂，F,F为椭圆的两个焦点.设直线FF 分别与该圆锥的母线交于A,B两点，过点A的母线分别与球O,O,相切于C,D两点，已知 4C=2-3,A0=2+√3.以直线FE为x轴，在平面a内，以线段FE的中垂线为y轴，建立 平面直角坐标系。 (1)求椭圆Γ的标准方程. (2)过点(1,0)作斜率不为0的直线1，直线1与椭圆Γ交于P,Q两点， A,B分别为椭圆左右顶点，记AP的斜率为k,BQ的斜率为k 求出 D k2 02 (3)己知B为椭圆Γ的右顶点，直线I与椭圆T相交于M,N两点(M, N两点异于B点)，且BM⊥BN,求SABMN的面积最大值. 高二数学试卷 第4页共4页 Page 4 of 4抚州市2024一2025学年度上学期学生学业质量监测 高二数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D 0 BD AD BCD 8.【详解】延长QF与双曲线交于点P',因为FP11FP,根据对称性知FP=FP叫， 设EP=EP叫=m,则EP=3m,Fg=3m,可得 FP-FP=2m=2a,即t=a, 所以P'g=4a,则lgF=F+2a=5a,EP=E=3a, 即Pg+EP\=',可知FP'=FPF=90, 在△PFE中，由勾股定理得FP+FP=FF,即 a+(3a=4c2,解得e=9.i 故选：D 2 1.【详解】[化+2+][化-2+=16， 即[(+后+4)+4x]〖x后+6+4-4x]=16, 即(x++4-16x=16,则=-+4V+1-4, 对于A,由-x+46+1-4≥0，得x后+4≤4+1， 则x≤8xd,解得-2√2≤x≤2V5,即P的横坐标最大值是2√2，A错误： 对于B,(x,-)满足(x++4)-16x=16,所以关于原点对称，（一x%),(x%)也 满足(+后+4)-16x=16所以关于坐标轴对称，B正确 对于C,若存在点P,使得PE1P明，则有x2+2=4又由于则=-x+4+1-4联 立，有解，存在C正确。 对于D,S。=)sin0=2sn0,△PE,面积最大值2，D正确 填空题 12. 13.112 16π52π 14 9 14.【详解】由题意可知，△ABD和△EBD是等边三角形， 取BD中点O2,连接O,E,取△EBD的外心O, 则O是△BCD的外心， 过点O,作I⊥平面BCD,则三棱锥E-BCD的外接球球心在I上 过点O作O,O⊥平面EBD交1于点O,则点O即为三棱锥 E-BCD的外接球球心， 由BD⊥O,C,BD⊥O,E可知，∠EO,C即二面角E-BD-C的平 面角，则∠EO,Ce π2π 33 设∠O0,0,=0,则0≤0≤max ππ2rπ_π 1233261 又因为0,0，=1×5x 所以00，= 0,0 52 33 cos 3 cos 33 因为O,O⊥平面CBD,BDc平面CBD,所以O,O⊥BD, 所以三棱锥E-BCD的外接球半径R2=O,B2+OO,2=1+OO,2∈ 「4137 39 所以三棱锥E-BCD外接球的表面积S泰=4πR∈ 「16m52π 39 16π52π 故答案为： 3 9 解答题 15.【详解】(1)1川2，∴.m2-3m·(4-m）=0,化简得：4m2-12m=0, ∴m=0或m=3, 3分 当m=0时，不成立， 当m=3时，1：x+3y-2=0,5:x+3y-3=0, 此时4，之间的距离为d= (-2)-(-3而 7分 V2+3210 (2):直线2与两坐标轴的正半轴围成三角形， m>0 4-m>0’60<m<4,…10分 4与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，S=2m(4-m)一2m-2)+2, 2 ∴.当m=2时，S有最大。 …13分 16.【详解】1)圆+户+x-+m=0的圆心为(3，半径，.B7,物，其中m< 2 4 圆心（←）3)到直线x+2y-3=0的距离 +6-3 5, 4分 V1+4 2 Pg=2NP2-dF=2、 37-4m5 4 =√28，解得m=1, 所以m的值为1. 47分 (2)0 +32 _57由（1)可知r=574m 9分 由勾股定理可得OM=√OC-7 3737-4nm V44 =m 11分 四边形ONCM由两个全等的直角三角形组成.所以 S-2xOMrx574mm(37-4m) 2 当且仅当m= 37 8 时成立 所以当m= 四边形ONCM有最大面积 7 8 .15分 17.(1)设点Q的坐标为(3，)，因为点Q在第一象限，所以%>0， 双曲线号号-1的渐近线方程为=±2 3 x,因为点在双曲线的渐近线上，所以%=25， 所以点Q的坐标为(3,25，又点Q(3,25在抛物线y2=2r上，所以12=2p×3,所以 卫=2，故抛物线E的标准方程为：y2=4红：…6分 (2）4x,yB,2中点MK,以，片+为=2y7分 若直线1的斜率存在，Kn=)-) x-2 8分 2=4x,乃22=4x,则（男-0y+片2）=4(g-x2) 2g-2=42y.y-=4 (-2) x-2 12分 “y2-y=2x-4 化简得y-=2x-日 …13分 直线1的斜率不存在，AB⊥x轴，弦AB中点为(2,0)也符合，14分 综上：载迹方程为=2江日 15分 (若其他求轨迹方法也可以) 18.【详解】(1)因为AC⊥AB,AC⊥AP,AB∩AP=A,AB,APC平面PAB, 所以AC⊥平面PAB, 3分 PBC平面PAB,所以PB⊥AC, 5分 (2)因为M,N分别是PB,PA的中点， 所以MN∥AB,因为ABC平面ABC,MN文平面ABC, 所以MN/平面ABC, 8分 所以MNIL,而MNc平面PAB,Id平面PAB, 所以I/平面PAB: 10s分 (3)解法一：以A为坐标原点，AB,AC所在直线为x,'坐标轴建立如图所示的空间直角坐 标系： …11分 由(2)知，AC⊥平面PAB且ACS平面ABC,故平面ABC⊥平面PAB, .平面PAB的法向量A=(O,L,0), 12分 设AB=2a,则AC=√5-4a2，C(0,V5-4a2,0), N号0.则=兮5-49 NM=1,0,0) n,·WM=0 设平面CMN法向量n,=(x,y,z),则 nCN =0 0l. 25-4a2 14分 设二面角C-MN-A的平面角为0，己知tan0=2 所以cos0=5 15分 几1·i2 1 1 5 4(5-4a2), 4(5-4a2) 5 a /1+ a 解得：a=1. 417分 (设AC=a也同样可以) 解法二：延长MN,过C作CH⊥MN于H点，连接AH,过P作PG⊥AB于G点 M G MN‖AB,AB⊥ACMN⊥AC MN⊥面ACH..MN⊥AH: ∠AHC为C-MN-A所成的二面角日 14分 设4C=a,”三面角C-MN-A的正切值为2，侧S-2得4仙-号 AH △PAB中PA=PB,PA⊥PB△PAB为等腰直角三角形， .PG=a,.AB=2a △ABC中，AB2+AC2=BC2,带入得a2+(2a)=5解得：a=1 .AC=1 17分 19.【详解】(1)设椭圆的标准方程为 手+茶-e>0b>0 由切线长定理知AF=AC,AE=AD,则AF+AF到=AC+AD=2a=4,解得a=2. 由AD-4C=25=2c,解得c=V5,b=1. 所以椭圆的标准方程为 4+y2=1. 3分 (2)设（，)，(2,2)，因为直线1过点且斜率不为0， 所以可设1的方程为x三y+1,代入椭圆方程+少2=1得，+4)严+2-3=0， 3 其判别式4=4+20+4>0，所以+，= 两式相除得5-子，即%西多+) 3 33 2 5分 因为A,B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为(-2,0)， +2%+3,=5=当 点B的坐标为(2,0)，所以k=上、=片 为3-2伪2-1·7分 从而车=上) 3(y+) 一 2 =+1 k2片(+3) 3(+)+3y 3y+9%23· 8分 2 (3)由题意知，直线1的斜率不为0，则不妨设直线1的方程为x=y+m(m≠2). 联立得。+护，通去得k++2+m-40, x=ky+m △=42m2-4(k2+4)(m2-4)>0,化简整理，得k2+4>m2. -2km m2-4 设M(),N(5乃)，则y+为=+4，出F+4 410分 PM⊥PN,.PM.PN=0.P(2,0),PM=(x-2,片)，PN-(x2-2,2),得 (x-2)(x3-2)+片2=0,11分 将：=g+m,名=2+m代入上式，得(2+1y丛+k(m-2)(+为)+(m-2)=0, 得+)四-习(m-分-0 解得m=或m=2(合去 13分 直线的方程为x=+?则直线1恒过点Q?0小： 5 w-r@lb.-y.-*-若 8 25(k2+4）-36 （k2+4 15分 设1+4则0<1s} =25 -3612+251,16分 易知y 25×√-36+251在0，上单调递增， ∴当1=时，Sanw取得最大值为 5 17分