精品解析：陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高三上学期教学检测（五）数学试卷

咸林中学2024-2025学年度第一学期质量检测（五） 高三数学科试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极值点 C. 过原点仅有一条直线与曲线相切 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏. 13. 安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则其中学生甲被单独安排去杭州的概率是__________． 14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 16. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸林中学2024-2025学年度第一学期质量检测（五） 高三数学科试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出B集合的元素，再根据并集的定义求解. 【详解】由题意， ； 故选：C. 2. 已知（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法公式，即可求解. 【详解】由条件可知. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：B. 4. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由可计算出，再根据模长公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 5. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量. 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为. 故选：D. 6. 已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，该几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成，结合圆锥的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】如下图所示： 因为等腰直角三角形的斜边长为， 将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体， 则这个几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成， 故该几何体的体积为. 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平移后函数解析式，再由图象的对称中心，可得，从而得出结论． 【详解】由已知得，所以， 解得，又，当时，． 故选：C. 8. 已知函数的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果. 【详解】因为， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， ， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案. 【详解】对于A，，∴，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误： 对于D， ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极值点 C. 过原点仅有一条直线与曲线相切 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调性，得出，整理即可构造，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得， 令，则. 解可得，，所以在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增，故选项A正确； 对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误； 对于选项C，设切点的坐标为， 根据导数的几何意义可知，切线的斜率， 所以过的切线方程为. 又切线经过原点，所以有， 整理为. 令，有， 当时，，有；当时，，有. 所以恒成立，函数单调递增. 又由，， 根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点. 故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确； 对于D选项，若，有， 由函数单调递增， 有，. 令，有． 令，有 （当且仅当时取等号）， 可得恒成立，所以函数单调递增. 又由， 所以时，，，所以在上单调递减； 时，，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，故成立，选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏. 【答案】30 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得. 【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和， 于是，解得， 所以底层所开灯的数量为30盏. 故答案为：30 13. 安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则其中学生甲被单独安排去杭州的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，对应的可能情况分别为种和种，再将其分配到三个城市，进而根据乘法原理求解即可得不同的安排方式，再讨论学生甲被单独安排去杭州的有种，最后结合古典概型求解即可. 【详解】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2， 当每组的人数为1,1,3时，共有种情况， 当每组的人数为1,2,2时，共有种情况， 所以把5人分为三组共有种情况， 再将三组人员分配到三个城市，有种， 其中男生学生甲被单独安排去杭州的情况为种， 所以学生甲被单独安排去杭州的概率是. 故答案为： . 14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程. 【详解】根据题意，作图如下： 依题意，为的角平分线，且， 设，由角平分线定理可得：，则； 在中，由余弦定理； 在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 故，， 所以的渐近线方程是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法： ①直接求出，从而得解； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解； ③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 16. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程，再结合，解方程得到，，，即可得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程得到，，根据以线段为直径的圆经过点，得到，然后列方程得到，解得，即可得到直线过定点. 【小问1详解】 由题意得，，又，解得，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 联立得，， 则，，， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， ，， ，即，解得或，满足， 因为，所以，直线方程为，恒过点， 所以直线过定点，定点为. 【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知：的定义域为，， 令，可得， 原题意等价于有两个不同的正实数根， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知，所以的取值范围； （ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，， 不妨设，可知， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以为的极小值点，为的极大值点， 对于的极值点，则， 可得， 设，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在上单调递减， 则，可知，则， 又因为在区间上单调递增，则， 所以的极大值的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数； （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解； （4）求函数f(x)在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $