复习专题2 一元二次函数、方程和不等式 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题2 一元二次函数、方程和不等式 Part 1思维导图 Part 2知识要点 1.不等式的主要性质 ①对称性： ②传递性： ③加法法则：； ④乘法法则：； ， ⑤乘方法则： ⑥开方法则： 2.基本不等式 A:两个重要不等式 ①，那么（当且仅当时取等号“=”）； ②基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. B:算术平均数和几何平均数： 算术平均数：称为的算术平均数；几何平均数：称为的几何平均数； 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. C:基本不等式的应用 ,且（定值），那么当时，有最小值； ,且（定值），那么当时，有最大值. 重点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. D:几个常用变形不等式： ①（当且仅当a=b时等号成立）； ②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）； ③；特别地：； ④ . 3.三个“二次”的关系 A:一元二次不等式0或的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R B:解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数： （2）计算判别式，分析不等式的解的情况： ①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）写出解集. Part 3 考点探究 题型一：等式性质与不等式性质 【方法储备】 1.不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． 2.应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导． 3.同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【典例精讲】 例1已知求证。 解：因为，所以ab>0，. 于是 ，即 由c<0 ，得 【变式训练】 练1-1若实数α,β满足,则α-β的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解：∵,∴,，又,∴故选D. 题型二：基本不等式 【方法储备】 1.应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件． 2.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值； 3.特别注意“1”的代换． 【典例精讲】 例2-1若正数满足，则的最小值为（       ） A．6 B． C． D． 解：因为正数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故选：C 例2-2若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解：正实数，满足， 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即，故选：C 【变式训练】 练2-1若，都是正数，且，则的最小值为（  ） A．4 B．8 C． D． 解：若，都是正数，且 ， 当且仅当时等号成立，故选：A. 练2-2（1）已知，则取得最大值时的值为________． （2）已知，则的最大值为________． （3）函数的最小值为________． 解：（1）， 当且仅当，即时，取等号．故答案为：. （2）因为，所以， 则, 当且仅当，即时，取等号． 故的最大值为1. 故答案为：1. （3） . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 练2-3已知正实数、满足，则的最小值是___________. 解：因为正实数、满足，则，由可得， 所以， . 当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：. 练2-4党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 解：设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元， 因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米， 因为底面长为米，所以底面的宽为， 依题意有)， 因为，由基本不等式和不等式的性质可得， 即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元． 题型三：一元二次不等式 【方法储备】 1.通过二次函数的图象及性质来解决问题，三个二次关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 2.一元二次不等式恒成立的情况： ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 【典例精讲】 例3-1已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C．或 D． 解：由题意得，即， 所以即，解得．故选：B. 例3-2若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 解：不等式，即， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故； 当时，不等式解集为，此时不符合题意； 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故； 故实数m的取值范围为．故选：C 【变式训练】 练3-1已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 解：关于x的不等式的解集为，，， 可化为，， 关于x的不等式的解集是．故选：D． 练3-2（多选）已知关于x的不等式的解集为则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 解：因为关于x的不等式的解集为 所以，是方程， 所以A错误，，则， 对于B，由，得，因为，所以，所以不等式的解集为，所以B正确， 对于C，因为，，所以，所以C正确， 对于D，不等式可化为，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，所以D错误， 故选：BC 题型四：恒成立或存在性问题 【方法储备】 1.一元二次不等式对任意实数恒成立，常通过一元二次不等式和相应二次函数、一元二次方程之间的关系，由二次函数的图像抛物线情形得到关于参数的不等式（组），从而得到参数的取值范围，还常用到分类讨论的思想、数形结合的思想. 2.一元二次不等式对部分实数恒成立，常通过函数的最值来做，在利用最值之前，常通过分离参数将不等式变形后，再通过最值问题求参数范围. 3.不等式对部分实数能成立，和对部分实数恒成立，都可以转化为最值问题，但最值的大小刚好相反. 4.不等式恒成立，且已知参数范围求未知数x的范围，可以互换主元，将未知数x视为参数，看成关于参数的不等式（函数）. 【典例精讲】 例4-1已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解：当时，该不等式为，成立； 当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，综上所述，的取值范围是，故选：A. 例4-2已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________. 解：由题意得，“，”是真命题， 则对恒成立，在区间上，的最小值为， 所以，即a的取值范围是.故答案为： 例4-3已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 解:令， 则不等式恒成立转化为在上恒成立． 有，即，整理得：，解得：或． 的取值范围为．故选：C． 【变式训练】 练4-1若不等式在时有解，则实数a的取值范围为______． 解：由，得， 因为，所以有解，令， 所以，所以，故答案为： 练4-2已知函数 (1)若关于的不等式的解集为,求的值; (2)若对任意恒成立,求的取值范围. 解：（1）法一：不等式可化为，其解集为， 由根与系数的关系可知， 解得，经检验时满足题意. 法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4， 将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意. （2）法一：由题意可知恒成立， ①若，则恒成立，符合题意。 ②若，则恒成立，而， 当且仅当时取等号，所以，即. 故实数的取值范围为. 法二：二次函数的对称轴为. ① 若，即，函数在上单调递增，恒成立， 故； ②若，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 由得. 故； ③若，即，此时函数在上单调递减， 由0得，与矛盾，故不存在. 综上所述，实数的取值范围为 题型五：含参一元二次不等式解法 【方法储备】 对于解含参数的一元二次不等式，一般需要进行讨论，常见的分类标准如下： ①按根的大小讨论 ②按判别式进行讨论 ③按二次项系数讨论 ④先按二次项系数讨论，再按根的大小讨论 讨论时要注意分类的标准和条理性 【典例精讲】 例5-1若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B．(0，1) C． D．(-1，0) 解：不等式 等价于，设 ， 显然a=0不符合题意， 若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线， 对于 ，解集为 或 ，不符合题意； 若 ，则是开口向下，零点分别为1和 的抛物线， 对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，故选：C 例5-2已知． （1）若，解不等式； （2）若，解不等式． 解： （1）当，不等式即，即， 解得，或， 故不等式的解集为或． （2）若，不等式为，即， ∵， ∴当时， ，不等式的解集为； 当时，，不等式即，它的解集为； 当时，，不等式的解集为 【变式训练】 练5-1解下列关于x的不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）ax2-2（a+1）x+4>0. 解：（1） 当时，不等式为，解集为； 时，不等式分解因式可得 当时，故，此时解集为； 当时，，故此时解集为； 当时，可化为，又 解集为； 当时，可化为，又 解集为. 综上有，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）把化简得， ①当时，不等式的解为 ②当，即，得，此时，不等式的解为或 ③当，即，得或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， ④当，得，此时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为且， 当时，不等式的解为或， （3）， ， ①时，，可得； ②时，可得 若，解可得，或； 若，则可得， 当即时，解集为，； 当即时，解集为，； 当即时，解集为. （4）不等式可化为. ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. （5）当时，不等式即，解得. 当时，对于方程， 令，解得或； 令，解得或； 令，解得或，方程的两根为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （6）原不等式可变形为. 当时，则有，即，解得； 当时，，解原不等式得或； 当时，. （i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； （ii）当时，即当时，解原不等式得； （iii）当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （7）①当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}. ②当a>0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2. 当0<a<1时，>2，所以原不等式的解集为或； 当a=1时，=2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}； 当a>1时，<2，所以原不等式的解集为或. ③当a<0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2， 则<2，所以原不等式的解集为. 综上，a<0时，原不等式的解集为； a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}； 0<a≤1时，原不等式的解集为或； 当a>1时，原不等式的解集为或 共14页/第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$