2025年中考数学二轮复习专题圆与相似三角形及三角函数综合训练

2025年中考数学二轮复习专题圆与相似三角形及三角函数综合训练 一、夯实基础 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当＝时，求tanE； （3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径． （1）求证：AM是⊙O的切线； （2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径． 3．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径． 4．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N． （1）求证：∠ADC＝∠ABD； （2）求证：AD2＝AM•AB； （3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2＝CD•2OE； （3）若cos∠BAD＝，BE＝6，求OE的长． 6．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线； （3）如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD． 7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）求证：GC＝GE； （3）若cos∠AOC＝，⊙O的半径为r，求CH的长． 8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tanD的值． 9．已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，AC＝6，求BD的长； （3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径． 10．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长． 二、能力提升 1．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC＝，BC＝2，求⊙O的半径. 2.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G． （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB＝5，＝，求PD的长； （3）在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围） 3．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K． （1）若点M的坐标为（3，4）， ①求A，B两点的坐标； ②求ME的长． （2）若＝3，求∠OBA的度数． （3）设tan∠OBA＝x（0＜x＜1），＝y，直接写出y关于x的函数解析式． 4．已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D． （1）如图1，求证：AD＝BD； （2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB＝90°； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ＝6DP，sin∠ABO＝，求的值． 5.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长． 6.如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝5，cos∠BED＝． （1）求证：△DEB∽△DAE； （2）求DA，DE的长； （3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$