第16章 二次根式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第16章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数的大小估算方法及二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则计算出结果，再估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， 即：的值应在4和5之间， 故选：A． 【融会贯通】 1．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小估算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．先对该式进行化简，再运用实数的估算方法求解． 【详解】解： ， 的值应在和之间， 故选：B． 2．估算比较大小： ； ． 【答案】 > < 【分析】①二次根式比较大小，可比较其平方的大小； ②二者作差与作比较，可比较二者的大小． 【详解】解：①，， 故答案为：． ②， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根式的大小比较．解题的关键在于识别根式适用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等． 3．估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 ． 【答案】21 【分析】先根据无理数的估算求出的值，再代入，利用平方差公式进行计算即可得． 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了无理数的估算、利用平方差公式计算二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 类型二、二次根式中的数轴化简 【解惑】若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【详解】解：由图知：， ，， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B．a C． D．b 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由图可知：，， ． 故选：D 2．实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 3．在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根等知识点，由数轴得，，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 【详解】由数轴得，，， ∴，， ， 故答案为：． 类型三、二次根式中的移根化简 【解惑】把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 【融会贯通】 1．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是(　　)． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质解答． 【详解】解：， 故选C. 【点睛】将根号外的m移到根号内，要注意自身的符号，只有正数平方后可以移到根号里面作因数，是负数的把负号留在根号外，同时注意根号内被开方数的符号． 2．若，，把代数式中的移进根号内结果是 . 【答案】 【分析】根据二次根式的性质变形即可得到答案. 【详解】解：，， 把代数式中的m移进根号结果是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性质，熟知二次根式的性质和计算法则是解题关键. 3．将a因式内移的结果为 ． 【答案】﹣ 【详解】由题意得：a<0， 故答案是为﹣ . 类型四、二次根式中的代数最值 【解惑】已知是整数，正整数n的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式性质的化简，掌握二次根式性质是解题的关键 ． 【详解】解：∵， ∴当时，是整数， ∴正整数n的最小值为3， 故选： ． 【融会贯通】 1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（   ）． A．2 B．4 C．21 D．84 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 2．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质化简，即可得答案． 【详解】解：，且是一个整数 正整数的最小值3 故答案为：3． 3．已知是正整数，是整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．首先根据：是正整数，可得，从而可得． 【详解】解：是正整数， 是一个能开得尽方的整数， 的最小值为， ， 解得：． 故答案为：． 类型五、二次根式中的规律 【解惑】现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问： (1)第个数是什么数？ (2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1) (2) (3)共有个数的平方相加 【分析】本题主要考查了数字类变化规律，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出这列数每6个数一个循环而且每个循环的6个数的和是0 （1）首先根据这列数的排列规律可得每6个数一个循环，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可； （2）首先用除以6求出一共有多少个循环以及剩下的数是多少，即可得出结论； （3）首先求出、、、、、六个数的平方和是多少，然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可． 【详解】（1）解：这列数每6个数一个循环：、、、、、； ∵， ∴第50个数是． （2） ∴ 把从第1个数开始的前个数相加，结果是 （3）∵，，而且， ∴，即共有个数的平方相加． 【融会贯通】 1．先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 2．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 3．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 类型六、二次根式中的分母有理化 【解惑】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 【融会贯通】 1．观察下列运算过程： ； 请运用上面的运算方法计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键． （1）根据分母有理化得出，，进而得到，，再代入代数式进行计算即可求解； （2）根据运算方法可得到，然后按照规律计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ； （2） ． 2．阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 3．阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 类型七、二次根式中的整数部分和小数部分 【解惑】阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为， 请解答：已知的整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解一元一次方程，分母有理化，先仿照题意得到，则可求出m、n的值，再代值并解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．已知，； (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求的平方根． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出和的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键． （1）先分母有理化求出x、y的值，再求出和的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可； （2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解；∵， ∴，， ∵的小数部分为，的整数部分为， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 2．阅读下列材料，然后回答问题． 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】，即， ． 的整数部分为1． 的小数部分为． (1)化简； (2)已知的整数部分为，小数部分为， ①求___，___． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 3．先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴． (1)若，其中、为有理数，则 ， ； (2)已知的整数部分为，小数部分为，求与的值； (3)在（2）的条件下，，为有理数，，，，满足，求，的值． 【答案】(1)， (2)， (3)的值为，的值为 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照材料的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据完全平方数进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论，再按照材料的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵，其中、为有理数， ∴， 为有理数，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，； （3）解：∵， ∴， ， 整理得：， ∵，为有理数， ∴为有理数，为有理数， 又∵是无理数， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为． 类型八、二次根式中的新定义 【解惑】定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 【融会贯通】 1．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了二次根式的计算，解一元一次方程： （1）根据定义列得,即可求出的值． （2）根据定义得,由为有理数得到，，即可解方程求出和的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）由题意可得， 整理得． 是有理数， ，， ，． 2．定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化即可求解； （）根据分子有理化即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 3．我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 类型九、复合二次根式的化简 【解惑】像…这样的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)若，且a，m，n为正整数，求a的值 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查化简复合二次根式： （1）根据题意，构造完全平方公式，进行化简即可； （2）根据题意得到是一个完全平方式，进而推出或，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）∵ ∴是一个完全平方式， ∵，，均为正整数，且或， ∴或， ∴，此时或，此时． 【融会贯通】 1．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 2．先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，， ∴； ②； （2）解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）解： ． 3．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 类型十、海伦——秦九韶公式 【解惑】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． (1)三角形三边长分别为9，10，11； (2)三角形三边长分别为，，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据海伦公式进行计算即可； （2）根据秦九韶公式进行计算即可． 【详解】（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积． ， ． （2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算． ，，， ． 【融会贯通】 1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据题目中的公式即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，三角形的三边长分别为5，6，7， 则该三角形的面积 ． 2．阅读材料： 我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”． 解答问题： (1)若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积； (2)请你写出由公式①推导出公式②的过程； (3)计算（1）中的BC边上的高． 【答案】(1)的面积为； (2)见解析； (3)的边上的高为． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，三角形面积的海伦公式的用法，培养了学生的推理和计算能力． （1）代入计算即可； （2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算； （3）设的边上的高为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，即， ∴公式①： ， 公式②：， ． （2）证明： ， ∵， ∴原式 ， ∴． （3）解：设的边上的高为， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高为． 3．我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． (1)求的最小值和的最大值； (2)求的最小值； (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 【答案】(1)当时，的最小值为；时，的最大值为3 (2)当时，的最小值为4 (3)三角形面积的最大值为 【分析】（1）仿照例题，根据非负数的性质以及二次根式的性质，即可求解； （2）仿照例题，将根号内的代数式配方，进而即可求解； （3）将已知数据代入代数式，根据例题的方法求得最大值即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为. ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为3. （2）∵ ∴当时，的最小值为4. （3）当，时，， ∵， ∴ ∴ ∴的最大值为， 【点睛】本题考查了二次根式的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【一览众山小】 1．实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可知：，则，化简所求代数式即可． 本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到是关键． 【详解】解：由数轴可知：， ， 故选：B 2．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 3．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 5．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，把代入函数表达式，再分母有理化即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值以及无理数整数部分的有关计算，先得即，从而求得，，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴， ∴即， ∵、是分别是整数部分和小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）原式先将括号内的进行化简，合并，再进行乘法计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【答案】(1)①√    ②×    ③√ (2)或 (3)①；②的最小值为 【分析】根据定义解答即可得解； 先由定义得出或，解方程即可得解； ①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解． 【详解】（1）∵， ∴①与互为“差值代数式”， ∵， ∴②与不互为“差值代数式”， ∵， ∴③与互为“差值代数式”， 故答案为：①√    ②×    ③√； （2）由题可知， ∴或， ∴或， 综上所述或； （3）①， ， ， ， ，       互为“差整值代数式”， ，                          ②， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 10．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【融会贯通】 1．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．估算比较大小： ； ． 3．估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 ． 类型二、二次根式中的数轴化简 【解惑】若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 【融会贯通】 1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B．a C． D．b 2．实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 3．在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 类型三、二次根式中的移根化简 【解惑】把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是(　　)． A． B． C． D． 2．若，，把代数式中的移进根号内结果是 . 3．将a因式内移的结果为 ． 类型四、二次根式中的代数最值 【解惑】已知是整数，正整数n的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．2 【融会贯通】 1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（   ）． A．2 B．4 C．21 D．84 2．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 3．已知是正整数，是整数，则的最小值为 ． 类型五、二次根式中的规律 【解惑】现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问： (1)第个数是什么数？ (2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？ 【融会贯通】 1．先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 2．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 3．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 类型六、二次根式中的分母有理化 【解惑】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【融会贯通】 1．观察下列运算过程： ； 请运用上面的运算方法计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 2．阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 3．阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 类型七、二次根式中的整数部分和小数部分 【解惑】阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为， 请解答：已知的整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【融会贯通】 1．已知，； (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求的平方根． 2．阅读下列材料，然后回答问题． 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】，即， ． 的整数部分为1． 的小数部分为． (1)化简； (2)已知的整数部分为，小数部分为， ①求___，___． ②求的值． 3．先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴． (1)若，其中、为有理数，则 ， ； (2)已知的整数部分为，小数部分为，求与的值； (3)在（2）的条件下，，为有理数，，，，满足，求，的值． 类型八、二次根式中的新定义 【解惑】定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【融会贯通】 1．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 2．定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 3．我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 类型九、复合二次根式的化简 【解惑】像…这样的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)若，且a，m，n为正整数，求a的值 【融会贯通】 1．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 2．先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 3．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 类型十、海伦——秦九韶公式 【解惑】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． (1)三角形三边长分别为9，10，11； (2)三角形三边长分别为，，． 【融会贯通】 1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 2．阅读材料： 我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”． 解答问题： (1)若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积； (2)请你写出由公式①推导出公式②的过程； (3)计算（1）中的BC边上的高． 3．我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． (1)求的最小值和的最大值； (2)求的最小值； (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 【一览众山小】 1．实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 2．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 3．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 5．已知，那么 ． 6．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 7．计算： (1)； (2)． 8．先化简，再求值：，其中． 9．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 10．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$