第16章 二次根式（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第16章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式的定义 【解惑】下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意有意义的条件是根号内的数为非负数．根据二次根式有意义的条件逐个判断即可． 【详解】二次根式有意义的条件是根号内的数为非负数 解：A．是二次根式，故A符合题意； B．，是负数，无意义，不是二次根式，故B不符合题意； C．是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D．中，无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：A．的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意；     B．是二次根式，故符合题意；     C．的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选B． 2．在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有 个． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. 依次分析即可. 【详解】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. ①是二次根式； ②是二次根式； ③不是二次根式； ④，二次根式无意义，故④不是二次根式； ⑤，因为，所以1-x0，故⑤是二次根式. 二次根式有①②⑤三个. 故答案为3. 【点睛】本题考查二次根式的定义. 3．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式有 【答案】①③ 【分析】根据二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式判断即可． 【详解】二次根式有：①；③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式． 类型二、最简二次根式 【解惑】在，，，中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的必须满足两个条件：（1）被开方数不含有开的尽方的因数或因式，（2）被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 【详解】解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记相关概念是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：5． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3． 类型三、二次根式有意义 【解惑】二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 2．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，不等式的解法，解题的关键是熟练掌握以上知识．根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型四、同类二次根式 【解惑】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：， 与是同类二次根式． 故答案为：是． 3．若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 类型五、比较大小 【解惑】下列各实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．因为2.52＝6.25， 所以＞2.5． 所以A选项错误； B．因为＝4，22＝4， 所以＝22． 所以B选项错误； C．因为＞， ∴． 所以C选项错误； D．因为−1＞1， 所以． 所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数大小比较，熟知二次根式的性质与实数比较大小的法则是解答此题的关键． 【融会贯通】 1．比较大小：4与5的结果是（    ） A．4=5 B．4＞5 C．4＜5 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先求出4与5的平方各是多少，然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出4与5的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵48＜50， ∴4＜5 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个正实数，平方大的这个数也大． 2．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 3．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 类型六、二次根式的值 【解惑】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 2．当时，二次根式的值是 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 3．计算：若，则代数式 ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算． 将代入计算求解即可 【详解】当时， ． 故答案为：． 类型七、二次根式的乘除混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先根据绝对值的意义、零指数幂运算法则、算术平方根的运算法则化简各项后再进行加减运算即可得到答案； （2）原式先计算二次根式的除法运算，再进行二次根式的乘法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘除混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则． （1）首先计算完全平方公式，然后合并同类项即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质，加减混合运算计算即可． （2）根据二次根式的乘除混合运算计算即可． （3）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值的化简解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，乘除混合运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）先根据负整数指数幂运算法则，算术平方根、立方根的概念求解，然后合并即可； （）根据二次根式的乘法和除法法则计算即可； （）根据平方根的定义解方程即可； 此题主要考查了负整数指数幂运算，二次根式的运算，平方根与立方根的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 或 或． 类型八、二次根式的加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据二次根式的除法、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （3）先化简每个二次根式，再合并同类项二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质、二次根式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键； （1）根据二次根式的加减计算即可； （2）先由零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质化简，再有二次根式加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 2．计算． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 类型九、二次根式的四则混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算： （1）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案； （2）根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的和运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，化简二次根式，最后进行加减计算； （2）先计算乘法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型十、化简求值 【解惑】已知，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ，． ∴． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 2．已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 3．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 【一览众山小】 1．下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，根据选项化简得到的结果即可作答． 【详解】A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 2．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵, ∴, 故答案为：． 6．已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出和的值是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据立方根，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可； （2）根据零指数幂，绝对值，化简二次根式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算二次根式的乘法和分母有理化，再加减求解即可． 【详解】解： ． 9．（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、负整数指数幂的法则，零指数幂的法则、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的混合运算顺序进行化简，然后根据负整数指数幂的法则、零指数幂的、则求出x的值，最后代入计算即可； （2）先求出，然后再因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴原式 （2）解：∵，， ∴， ∴． 10．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2. 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. ∴， ∴， ∴的最小值为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式的定义 【解惑】下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有 个． 3．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式有 类型二、最简二次根式 【解惑】在，，，中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 类型三、二次根式有意义 【解惑】二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 类型四、同类二次根式 【解惑】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 2．与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 3．若最简二次根式与可以合并，则 ． 类型五、比较大小 【解惑】下列各实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．比较大小：4与5的结果是（    ） A．4=5 B．4＞5 C．4＜5 D．无法确定 2．比较大小： （填“”，“”或“”）． 3．比较大小： ． 类型六、二次根式的值 【解惑】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，二次根式的值是 3．计算：若，则代数式 ． 类型七、二次根式的乘除混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 类型八、二次根式的加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算． (1)； (2) 3．计算：． 类型九、二次根式的四则混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1) (2) 类型十、化简求值 【解惑】已知，，求的值． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知：，，求：的值． 3．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【一览众山小】 1．下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 5．已知，则 ． 6．已知实数m，n满足，则 ． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算：． 9．（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，，求的值． 10．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$