16.2 二次根式的运算 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

16.2 二次根式的运算 一、最简二次根式和同类二次根式 1.最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号。 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 二、二次根式的运算 1.二次根式的加减：先将每个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式合并。 2.二次根式的乘除：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。二次根式相乘或相除结果必须化为最简形式。 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 巩固课内例1:二次根式的乘法计算 1．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 2．计算的结果为 ． 3．计算： 巩固课内例2:二次根式的除法计算 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为 ． 3．化简： (1)； (2)． 巩固课内例3:比较二次根式的大小 1．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．比较大小： ． 3．先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 巩固课内例4:二次根式的加减计算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) 巩固课内例5:二次根式的乘法公式结合计算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知：，则代数式的值为 ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例6:二次根式的混合计算 1．化简得（    ） A． B． C．2 D． 2．计算：结果为 ． 3．计算： (1) (2) 类型一、二次根式的乘法 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．化简： (1) (2) 类型二、二次根式的除法 1．下列计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： 类型三、二次根式的加法 1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型四、二次根式的减法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) 类型五、最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式可以合并，则 ． 3．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 类型六、同类二次根式 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 类型七、比较大小 1．的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 2．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 3．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 类型一、二次根式的乘除混合 1．下列计算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、二次根式的加减混合 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型三、二次根式的四则混合 1．下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型四、化简求值 1．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 2．化简求值：当时，二次根式的值为 ． 3．先化简，再求值：，其中，． 类型一、估算二次根式 1．估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．估计与的大小关系是： （填“”“”或“”）． 3．通过估算，比较与的大小． 类型二、二次根式的新定义运算 1．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 2．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 3．对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 类型三、二次根式的规律 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 2．数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ． 3．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 类型四、二次根式的分母有理化 1．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 2．已知，则a的值为 ． 3．阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 类型五、二次根式的应用 1．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 3．阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 类型六、海伦——秦九韶公式 1．海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 3．如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．7和8之间 4．化去根号内的分母 . 5．比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 6．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 7．计算：． 8．先化简，再求值：，其中． 9．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，（，），求的值． 10．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 二次根式的运算 一、最简二次根式和同类二次根式 1.最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号。 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 二、二次根式的运算 1.二次根式的加减：先将每个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式合并。 2.二次根式的乘除：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。二次根式相乘或相除结果必须化为最简形式。 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 巩固课内例1:二次根式的乘法计算 1．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 巩固课内例2:二次根式的除法计算 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，根据同类二次根式判断A，再根据二次根式的加减法法则计算判断B，然后根据二次根式的乘除法法则计算判断C，D． 【详解】因为和不是同类二次根式，不能计算，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：C． 2．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 则该长方形的宽为， 故答案为． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解； （2）根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固课内例3:比较二次根式的大小 1．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 2．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键． 直接利用二次根式的性质将原数变形进而得出答案． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 3．先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 巩固课内例4:二次根式的加减计算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 根据合并同类二次根式的计算方法进行判定即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，绝对值等知识点，先去绝对值符号，再合并同类二次根式即可，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式及零次幂和绝对值，根据二次根式的加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例5:二次根式的乘法公式结合计算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法，减法，乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原式计算错误，故该选项不符合题意； B、，原式计算错误，故该选项不符合题意； C、，原式计算正确，故该选项符合题意； D、，原式计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．已知：，则代数式的值为 ． 【答案】12 【分析】由，易得，然后变形代数式，再把整体代入计算即可 【详解】解：， ， ． 故答案为：12 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则及平方差公式、完全平方公式计算． （2）先化简再合并同类二次根式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 巩固课内例6:二次根式的混合计算 1．化简得（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先利用二次根式的性质化简第一项，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：． 2．计算：结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质化简，再算加减即可． 【详解】解：     ． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂等知识点， （1）先计算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数幂，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，除法，化简二次根式，然后再进行计算即可解答； 熟练掌握二次根式的混合运算法则并能准确熟练地进行计算是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、二次根式的乘法 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和乘法法则． 根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质、立方根的定义、同类二次根式，分别判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．计算 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查二次根式的乘方，直接根据二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：8． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法法则以及二次根式的性质． （1）分别利用二次根式的乘法法则以及二次根式的性质化简即可求出答案； （2）分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型二、二次根式的除法 1．下列计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选： D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式除法，掌握二次根式除法法则成为解题的关键． 直接运用二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次根式的运算法则、立方根的定义、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 类型三、二次根式的加法 1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的混合运算法则一一计算判断即可得到答案． 【详解】解：A、2和不能合并，则，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确，符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将各二次根式化为最二次根式后再合并即可得出答案． 【详解】解： 类型四、二次根式的减法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的性质化简，进而根据二次根式的加减进行计算即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据乘方的法则，去绝对值的法则，立方根的定义，实数的运算法则计算即可． （2）根据算术平方根的定义，实数的运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型五、最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键． 根据最简二次根式的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B．，则该选项不是最简二次根式，不符合题意； C．，则该选项不是最简二次根式，不符合题意； D．，则该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故答案为：A． 2．若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 类型六、同类二次根式 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的定义，熟练掌握以上知识点是解题关键，根据同类二次根式的定义“化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∴与是同类二次根式， 故选：B． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 类型七、比较大小 1．的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可． 【详解】解：原式= ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键． 2．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 类型一、二次根式的乘除混合 1．下列计算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 根据二次根式的乘除法则对A、C进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；运用完全平方公式计算并对D进行判断． 【详解】解：A、，正确，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项不符合题意； C、，原计算不正确，故此选项符合题意； D、，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．化简 ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的乘除法运算，主要是掌握二次根式乘除法运算法则，注意化为最简二次根式． 根据二次根式乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 类型二、二次根式的加减混合 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，先运用二次根式性质化简，再根据二次根式的加减混合运算进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据平方差公式进行计算即可； （2）原式先化简二次根式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、二次根式的四则混合 1．下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简的方法是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则即可判断． 【详解】A、与不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、是最简二次根式，不能再化简，故不符合题意； D、，故符合题意． 故选：D 2．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：6． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键．结合二次根式的混合运算法则，先根据乘法运算律进行计算，再进行乘法运算，然后进行加减计算即可得解． 【详解】解： ． 类型四、化简求值 1．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可． 【详解】当时，， ， ∴乙计算正确． 观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确， 故选B． 2．化简求值：当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】将式子化简后，直接将x的值代入进而化简求出答案． 【详解】解：∵ 又∵ ∴原式= 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 先根据整式的乘除法混合运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 类型一、估算二次根式 1．估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算及估算无理数的大小，先根据二次根式混合运算的法则进行计算，再估算出结果的取值范围即可． 【详解】解： ∵ ∵，即 ∴ 故选：C． 2．估计与的大小关系是： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，先比较两数平方的大小，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴ 又∵， ， ∴ 故答案为：． 3．通过估算，比较与的大小． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质得，，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得， ∵ ∴，即 故答案为 【点睛】此题考查了二次根式比较大小，涉及了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的大小比较方法． 类型二、二次根式的新定义运算 1．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，根据题中的新定义正确列式计算是解题的关键． 根据新定义分别求出和，然后利用平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 3．对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)4 (2)x的值为 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴的值为4． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 类型三、二次根式的规律 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简，根据数据可得第个数为，据此即可求解，由已知数据找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴个数据应是， 故选：． 2．数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式，再证明即可． 【详解】∵n是正整数， ∴． 故答案为：． 3．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 类型四、二次根式的分母有理化 1．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 2．已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 类型五、二次根式的应用 1．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 2．李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，结合图形求出阴影部分的长和宽是解题的关键．根据题中条件分别计算阴影部分的长和宽，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为27和18， ， 由题意得： 正方形和正方形重叠部分为正方形，面积为3， 则重叠部分边长为， 则正方形的边长为， 剩余部分（阴影部分）的面积等于正方形的面积减去两个小正方形的面积，再加上重叠部分的面积， 剩余部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 3．阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得，，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得，即可求解； （3），代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ； （3）解： ． 类型六、海伦——秦九韶公式 1．海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次根式的应用，利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积即可．解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 【详解】解：∵、、， ∴， ∴的面积， 故选：C． 2．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 3．如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型， （1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可； （2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴，，， ∴＝． （2）解：∵ ∴，， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．下列能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，完全平方公式，二次根式的运算，根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，是无理数，不符合题意； 、∵， ∴，是无理数，不符合题意； 、∵， ∴，是有理数，符合题意； 、∵， ∴，是无理数，不符合题意； 故选：． 3．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查根式的运算及根式的估算，先根据根式的运算法则求出值，再估算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故选：B． 4．化去根号内的分母 . 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 把被开方数的分子、分母同时乘以即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据二次根式乘法运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，熟练掌握公式解答本题的关键． （1）运用完全平方公式的变形求解即可； （2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可； （3）将变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∴． 10．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$