河南省洛阳市嵩县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）（2024秋•嵩县期末）牛奶中含有蛋白质、脂肪、碳水化合物等多种营养成分，下列统计图，最能清楚地表示出牛奶中各种营养成分所占百分比的是（　　） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布直方图 2．（3分）（2024秋•嵩县期末）在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）（2024秋•嵩县期末）已知x﹣1，则x2+x的值为（　　） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 4．（3分）（2019•九龙坡区校级三模）计算（﹣x2）3÷x2的结果是（　　） A．﹣x4 B．x4 C．﹣x5 D．x5 5．（3分）（2024秋•嵩县期末）若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 6．（3分）（2024秋•嵩县期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 7．（3分）（2024秋•嵩县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是∠AOB的角平分线．依据的数学基本事实是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．（3分）（2020•广西）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 9．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 10．（3分）（2013•齐齐哈尔）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为 　 　． 12．（3分）（2024秋•嵩县期末）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球 　 　． 13．（3分）（2024秋•嵩县期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　 　．（填序号） 14．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米． 15．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（10分）（2024秋•嵩县期末）（1）计算． （2）先化简，再求值：（3x+y）2﹣（x﹣3）（x+3）+（﹣8x2y+5xy2﹣y3）÷y，其中x＝1，y＝﹣1． 17．（9分）（2024秋•嵩县期末）如图，在等边三角形ABC中，BE⊥AC，垂足为E，延长BC到点D，使CD＝CE，AB＝10cm． （1）求BD的长； （2）求证△BDE是等腰三角形． 18．（9分）（2024秋•嵩县期末）如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 　 　； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 　 　； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 　 　． （4）【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 　 　． ②直接写出下面算式的计算结果：（1）（1）（1）（1）…（1）． 19．（9分）（2024秋•嵩县期末）为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图所示的直线AB上建一图书阅览室E，该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，则阅览室E建在距A点多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等． （1）用尺规作图作出点E的位置（要求：保留作图痕迹，标明字母E，不写作法）； （2）求AE的长． 20．（9分）（2024秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长． 21．（9分）（2024秋•嵩县期末）为了加强未成年人思想道德建设，某校开展了“为家献爱心”活动，活动设置了四个爱心项目：A项：为家人过生日；B项：为家人做早餐；C项：当一天小管家；D项：与父母谈心．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是 　 　人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中m＝ 　 　，α＝ 　 　； （4）该校参加活动的学生共2400人，请估计选择D项的学生有 　 　人． 22．（10分）（2024秋•嵩县期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 23．（10分）（2017•义乌市模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC； （2）如图②，当点P为AB的中点时，求CD的长； （3）如图③，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由． 2024-2025学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A B D D B B A 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）（2024秋•嵩县期末）牛奶中含有蛋白质、脂肪、碳水化合物等多种营养成分，下列统计图，最能清楚地表示出牛奶中各种营养成分所占百分比的是（　　） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布直方图 【考点】统计图的选择．版权所有 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念． 【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别；用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势；直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势． 【解答】解：牛奶中含有蛋白质、脂肪、碳水化合物等多种营养成分，用扇形统计图最能清楚地表示出牛奶中各种营养成分所占百分比． 故选：B． 【点评】本题考查统计图的选择及频数（率）分布直方图，应充分掌握各种统计图（条形统计图、扇形统计图及折线统计图）的优缺点以及频数（率）分布直方图中各量的意义． 2．（3分）（2024秋•嵩县期末）在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】无理数；算术平方根；立方根．版权所有 【专题】实数；数感． 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数，无限不循环小数为无理数，分为正无理数和负无理数．根据无理数的意义即可解答． 【解答】解：， 在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有，，共2个． 故选：A． 【点评】本题考查了无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 3．（3分）（2024秋•嵩县期末）已知x﹣1，则x2+x的值为（　　） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【考点】立方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】根据立方根等于它表示的数有0和±1解答即可． 【解答】解：∵x﹣1， ∴x﹣1＝0或1或﹣1， 解得x＝1或2或0， ∴x2+x的值为2或6或0． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解答本题的关键． 4．（3分）（2019•九龙坡区校级三模）计算（﹣x2）3÷x2的结果是（　　） A．﹣x4 B．x4 C．﹣x5 D．x5 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【专题】整式． 【分析】根据同底数幂的除法解答即可． 【解答】解：（﹣x2）3÷x2＝﹣x6÷x2＝﹣x4， 故选：A． 【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法解答． 5．（3分）（2024秋•嵩县期末）若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【专题】计算题；整式；运算能力． 【分析】将题中所给等式左边利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再与等式右边比较即可得出答案． 【解答】解：（x﹣3）（2x+1） ＝2x2+x﹣6x﹣3 ＝2x2﹣5x﹣3， ∵（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3， ∴a＝﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题的关键． 6．（3分）（2024秋•嵩县期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】计算题；因式分解；运算能力． 【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断． 【解答】解：A．因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故A错误； B．因为4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故B错误； C．因为a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故C错误； D．因为x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法． 7．（3分）（2024秋•嵩县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是∠AOB的角平分线．依据的数学基本事实是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由三边对应相等得△OMC≌△ONC，再根据全等三角形对应角相等得出∠MOC＝∠NOC，即可判断． 【解答】解：由图可知，CM＝CN， 在△OMC和△ONC中， ， ∴△OMC≌△ONC（SSS）， ∴∠MOC＝∠NOC， ∴射线OC是∠AOB的角平分线． 因此依据的数学基本事实是：三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 8．（3分）（2020•广西）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE的度数． 【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°， ∴∠A＝∠ACB（180°﹣80°）＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°， 观察作图过程可知： CE平分∠ACD， ∴∠DCEACD＝65°， ∴∠DCE的度数为65° 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 9．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝32m，OB＝24m， ∴AB40m． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 10．（3分）（2013•齐齐哈尔）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【专题】压轴题． 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线． 【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC， 即∠CAE＝∠BAG， ∵在△ABG和△AEC中， ， ∴△ABG≌△AEC（SAS）， ∴BG＝CE，（故①正确）； 设BG、CE相交于点N， ∵△ABG≌△AEC， ∴∠ACE＝∠AGB， ∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°， ∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°， ∴BG⊥CE，（故②正确）； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵AH⊥BC， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABH＝∠EAP， ∵在△ABH和△EAP中， ， ∴△ABH≌△EAP（AAS）， ∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确）， EP＝AH， 同理可得GQ＝AH， ∴EP＝GQ， ∵在△EPM和△GQM中， ， ∴△EPM≌△GQM（AAS）， ∴EM＝GM， ∴AM是△AEG的中线，（故③正确）． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为 　9　． 【考点】勾股定理；角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质解答． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12．（3分）（2024秋•嵩县期末）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球 　14个　． 【考点】用样本估计总体．版权所有 【专题】常规题型． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：设盒子中有红球x个， 由题意可得：0.3， 解得：x＝14， 经检验，x＝14是分式方程的解． 故答案为14个． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 13．（3分）（2024秋•嵩县期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　③④①②　．（填序号） 【考点】反证法；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；命题与定理．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【分析】根据反证法的一般步骤判断即可． 【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°， 2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， 3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， 4、因此假设不成立．∴∠B＜90°， 故答案为：③④①②． 【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 14．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　米． 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 15．（3分）（2024秋•嵩县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　150°或105°或60°　． 【考点】含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；应用意识． 【分析】由∠C＝90°，∠B＝60°，得∠A＝30°，分三种情况讨论：①当B'A＝B'E时，可得∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；②当AB'＝AE时，即得∠AEB'＝∠AB'E75°，即得∠BEB'＝105°；③当EA＝EB'时，可得∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， 分三种情况讨论： ①当B'A＝B'E时，如图： ∴∠B'EA＝∠A＝30°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°； ②当AB'＝AE时，如图： ∴∠AEB'＝∠AB'E75°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°； ③当EA＝EB'时，如图： ∴∠A＝∠EB'A＝30°， ∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°； 综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°， 故答案为：150°或105°或60°． 【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（10分）（2024秋•嵩县期末）（1）计算． （2）先化简，再求值：（3x+y）2﹣（x﹣3）（x+3）+（﹣8x2y+5xy2﹣y3）÷y，其中x＝1，y＝﹣1． 【考点】整式的混合运算—化简求值；实数的运算．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）根据实数的运算法则运算即可； （2）根据整式的运算法则化简合并后代入求值即可． 【解答】解：（1） ＝3﹣4﹣4 ＝﹣5； （2）（3x+y）2﹣（x﹣3）（x+3）+（﹣8x2y+5xy2﹣y3）÷y ＝9x2+6xy+y2﹣x2+9﹣8x2+5xy﹣y2 ＝11xy+9， 当x＝1，y＝﹣1时．原式＝11×1×（﹣1）+9＝﹣2． 【点评】本题考查了实数的运算、整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算知识点是关键． 17．（9分）（2024秋•嵩县期末）如图，在等边三角形ABC中，BE⊥AC，垂足为E，延长BC到点D，使CD＝CE，AB＝10cm． （1）求BD的长； （2）求证△BDE是等腰三角形． 【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得BC＝AB＝6cm，再根据“三线合一”得AD＝CDAC＝5cm，而CD＝CE＝5cm，所以BD＝BC+CD＝15cm； （2）根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据“三线合一”得∠CBE∠ABC＝30°，而CD＝CE，则∠CDE＝∠E，接着利用三角形外角性质得∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，所以∠E＝30°，于是得到∠CBD＝∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形． 【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝10cm， ∵BE⊥AC， ∴AE＝CEAC＝5cm， ∵CD＝CE， ∴CD＝5cm， ∴BD＝BC+CD＝10+5＝15cm； （2）证明：△BDE为等腰三角形．理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BE⊥AC， ∴∠CBE∠ABC＝30°， ∵CD＝CE， ∴∠D＝∠CED， 而∠D+∠CED＝∠ACB＝60°， ∴∠D＝30°， ∴∠CBE＝∠D， ∴△BDE为等腰三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了等腰三角形的判定与性质． 18．（9分）（2024秋•嵩县期末）如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 　a2﹣b2　； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 　（a+b）（a﹣b）　； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　． （4）【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 　3　． ②直接写出下面算式的计算结果：（1）（1）（1）（1）…（1）． 【考点】平方差公式的几何背景．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， （2）图2是长为a+b，宽a﹣b的长方形，由长方形的面积公式可得（a+b）（a﹣b）即可； （3）由（1）（2）阴影部分面积相等可得答案； （4）①利用平方差公式（2m+n）（2m﹣n）＝12，再代入计算即可； ②利用平方差公式将原式化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）进而得到即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2； （2）由拼图可知，图2是长为a+b，宽a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 故答案为：（a+b）（a﹣b）； （3）由（1）（2）得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （4）①∵4m2﹣n2＝12，即（2m+n）（2m﹣n）＝12，而2m+n＝4， ∴2m﹣n＝3； 故答案为：3； ②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 19．（9分）（2024秋•嵩县期末）为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图所示的直线AB上建一图书阅览室E，该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，则阅览室E建在距A点多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等． （1）用尺规作图作出点E的位置（要求：保留作图痕迹，标明字母E，不写作法）； （2）求AE的长． 【考点】作图—应用与设计作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【分析】（1）作线段CD的垂直平分线交AB于点E，点E即为所求； （2）设AE＝x km．由作图可知EC＝ED，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，点E即为所求； （2）设AE＝x km． 由作图可知EC＝ED， ∴EC2＝ED2， ∵AC⊥AEBD⊥EB， ∴AC2+AE2＝BD2+BE2， ∴152+x2＝102+（25﹣x）2， 解得x＝10． ∴AE＝10km． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 20．（9分）（2024秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，则AB＝AC，利用ASA证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长． 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE． ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE． ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC， ∵F是AC的中点， ∴AF＝CF． ∵AE∥BC， ∴∠C＝∠CAE． 由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC． 在△AFE和△CFG中， ， ∴△AFE≌△CFG（ASA）， ∴AE＝GC＝8． ∵GC＝2BG， ∴BG＝4． ∴BC＝12， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（9分）（2024秋•嵩县期末）为了加强未成年人思想道德建设，某校开展了“为家献爱心”活动，活动设置了四个爱心项目：A项：为家人过生日；B项：为家人做早餐；C项：当一天小管家；D项：与父母谈心．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是 　200　人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中m＝ 　20　，α＝ 　162°　； （4）该校参加活动的学生共2400人，请估计选择D项的学生有 　720　人． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有 【专题】统计的应用． 【分析】（1）用参加C项的人数除以所占的比例即可得解； （2）先求出参加B项的人数，再补全统计图即可； （3）用参加B项的人数除以总人数即可得出m的值，用45%乘以360°即可得出α的值； （4）由样本估计总体的计算方法计算即可得解． 【解答】解：（1）这次抽样调查的人数是90÷45%＝200（人）； （2）参加B项的人数为：200﹣10﹣90﹣60＝40（人）， 补全统计图如下： ； （3）m%＝40÷200×100%＝20%，即m＝20， α＝45%×360°＝162°； （4）（人）， 故该校参加活动的学生共2400人，估计选择D项的学生有720人． 【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22．（10分）（2024秋•嵩县期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为25km/h， ∴140÷25＝5.6（小时） 即台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 23．（10分）（2017•义乌市模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC； （2）如图②，当点P为AB的中点时，求CD的长； （3）如图③，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA进行证明； （2）过点P作PF平行于AQ，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠PFB，证出BP＝PF，得出PF＝CQ，由ASA证明△PFD≌△QCD，得出DF＝CDCF，再证出F是BC的中点，即可得出结果； （3）过点P作PF∥AC交BC于F，首先证明BE＝EF，根据DF＝FC，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． ∵PF∥AC， ∴∠PFB＝∠ACB ∴∠B＝∠PFB， ∴BP＝FP 由题意，BP＝CQ， ∴FP＝CQ ∵PF∥AC， ∴∠DPF＝∠DQC． 又∠PDF＝∠QDC， ∴△PFD≌△QCD； （2）如图，过P点作PF∥AC交BC于F ∵点P为AB的中点， ∴F为BC的中点， ∴FCBC＝3 由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF ∴CD＝DFFC； （3）线段DE的长度保持不变． 如图，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF ∵PE⊥BC， ∴BE＝EF 由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF， ∴DE＝EF+DFBC＝3． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$