专题 第一章有理数章末重点题型复习（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

第一章 有理数章末重点题型复习 题型一 正数和负数 题型二 数轴 题型三 绝对值与相反数 题型四 有理数的大小 题型五 有理数的混合运算 题型六 有理数的实际应用 题型七 有理数的新定义运算 题型八 数轴上的动点问题 题型九 绝对值的几何意义 题型十 有理数综合 题型一 正数和负数 1．《九章算术》记载的余和不足等概念，体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出2025元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据收入记为正，则支出记为负即可得解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出2025元记作元， 故选：B． 2．下列各数：，其中负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负理数的定义逐项分析判断，即可． 【详解】解：在中，其中负有理数有，共2个， 故选：B． 3．有下列各数：，，，，，．其中，正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也不是负数． 【答案】 2 3 0 【分析】本题主要就是考查了对正、负数的相关知识的理解掌握与运用的情况，对正数、负数、零的概念的理解是解本题的关键； 根据大于零的数是正数，小于零的数是负数，即不是正数也不是负数求解即可． 【详解】解：下列各数中，，，，，， 其中，正数有、，共2个，负数有、、，共3个，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：2；3；0． 4．将下列各数分别填在相应的横线上：，，，，0，，，2.4，72．负分数： ；非负整数： ． 【答案】 ， ，0，72 【分析】本题考查的是有理数的分类，带非字的有理数，理解有理数的分类是解本题的关键．根据小于0的分数是负分数；0和正整数为非负整数可得答案； 【详解】将下列各数分别填在相应的横线上：，，，，0，，，2.4，72．负分数：，；非负整数：，0，72， 故答案为：，；，0，72． 5．把下列各数填入相应的括号内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧， 正数：{                      }； 负数：{                      }； 整数：{                      }； 负分数：{                   }． 【答案】②④⑥⑦；①③⑤⑧；①②⑦⑧；③⑤ 【分析】本题主要考查有理数的分类，理解并掌握有理数的分类方法是解题的关键． 正数是大于0的数；负数是在正数前面加上负号“”的数；整数包括正整数，负整数；负分数是小于0的分数，由此即可求解． 【详解】解：正数：{ ②④⑥⑦ }； 负数：{ ①③⑤⑧ }； 整数：{①②⑦⑧ }； 负分数：{ ③⑤ }． 6．把下列各数填在相应的集合内： ，，，0，，1000，，4，，，，，（每两个3之间依次多一个1）． 正有理数集合：{   …}； 负数集合： {   …}； 整数集合： {   …}； 分数集合： {   …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类“整数和分数统称为有理数，分数包括正分数和负分数，整数包括正整数、负整数和0”，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据大于0的有理数是正有理数，小于0的数是负数，整数包括正整数、负整数和0，分数包括正分数和负分数求解即可得． 【详解】解：正有理数集合：； 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 题型二 数轴 1．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，理解数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：B． 2．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，其中对应的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，根据图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：对应的是点A， 故选：A． 3．如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质．根据折叠分类讨论，当点A落在4和12对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：∵对折后的点到点的距离为4， ∴对折后的点的对应点为或， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数12对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或0， 故答案为：或0． 4．已知点A，B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为5，则中点C表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查数轴，数轴上的点表示数，根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可． 【详解】线段的中点C对应的数为， 故答案为：1． 5．综合与探究 问题情境：如图1是牛顿摆的示意图，它由7根等距离的细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们利用牛顿摆和数轴进行探究． 初步分析： （1）如图2，将牛顿摆放在数轴的上方，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为5，求铁球①的最低点在数轴上对应的数； 深入探究： （2）如图3，将牛顿摆放在数轴的上方，铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，． （1）用含，的代数式表示铁球⑦的最低点在数轴上对应的数； （2）点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点的距离是铁球①与⑤最低点距离的2倍，则点在数轴上对应的数为______（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算方法，掌握数轴上两点之间距离的计算是解题的关键． [初步分析] （1）根据题意可得每个铁球表示，由铁球④到铁球①之间有三个铁球，铁球①在原点左边，即可求解； [深入探究] （1）每两个铁球之间的距离为，可得铁球⑦到铁球⑤之间的距离为，根据两点之间距离的计算方法即可求解； （2）先算出点到铁球⑦的距离为，再分类讨论：当点在铁球⑦的左边时；当点在铁球⑦的右边时；运用数轴上两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：[初步分析] （1）铁球④与铁球⑥之间有两个铁球，表示的数之间的距离为， ∴，即每个铁球表示， ∵铁球④到铁球①之间有三个铁球， ∴， ∵铁球①在原点左边， ∴铁球①的最低点在数轴上对应的数为 [深入探究] （1）铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，， ∴每两个铁球之间的距离为， ∴铁球⑦到铁球⑤之间有个铁球， ∴铁球⑦到铁球⑤之间的距离为， ∴铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为； （2）铁球①与⑤最低点距离的2倍，即为， ∴点到铁球⑦的距离为， 当点在铁球⑦的左边时，； 当点在铁球⑦的右边时，； ∴点在数轴上对应的数为或． 6．如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 【答案】(1)1 (2) (3)5秒或7秒 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，中点公式，动点表示的数，是解题的关键． （1）运用中点公式计算即得；（2）写出运动后A、B表示的数，相等，建立方程，解方程即可；（3）包括A没超过B和A超过B两种情况，A、之间的距离等于2个单位长度，建立方程解答． 【详解】（1）解：的中点对应的数． （2）A对应的数是，对应的数是， ∵A、对应的数相同， ∴ 解得． 故当时A、对应的数相同． （3）∵A、之间的距离等于2个单位长度， ∴． 当点A在点左边时，，解得； 当点A在点右边时，，解得． 综上，当为5秒或7秒时，A、之间的距离等于2个单位长度． 题型三 绝对值与相反数 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2与 B．3与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，理解定义是解答此题的关键．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断． 【详解】解：A、2与不互为相反数，故本选项错误； B、3与不互为相反数，故本选项错误； C、与不互为相反数，故本选项错误； D、与互为相反数，故本选项正确； 故选：D 2．如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 3．若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，由相反数的定义可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握一个数的绝对值是非负数． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 【答案】(1) (2)小于；与 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上每一小段的长度为，与互为相反数， 在数轴上表示，在数轴上表示， ， 故答案为：； （2）， 小于， 、、、中，可能互为相反数的是与， 故答案为：小于；与． 6．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 题型四 有理数的大小 1．下列各对数的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，绝对值，相反数，关键是掌握有理数的比较大小的法则．先化简能化简的数，根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，则，故，故原式正确，符合题意； C、，故原式错误，不符合题意； D、，故原式错误，不符合题意； 故选：B． 2．若一只小熊的质量（单位：克）与标准质量相比，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则在下面4只小熊中，最接近标准质量的小熊是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的应用，有理数大小比较，熟练掌握求绝对值是解题的关键． 求出各数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， 故选： B． 3．比较两个数的大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，理解比较方法：“正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．” 是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 4．比较下列有理数的大小： 0； ．（填<、=或>） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：； ， ∵， ∴． 故答案为：，． 5．已知有理数，0，，，，． (1)在数轴上表示：，，，； (2)比较大小：______；（填“”“”或“”号） (3)整数集合：｛______…｝． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，有理数的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接在数轴找出各数即可； （2）根据负数大小比较方法求解； （3）按照整数包括正整数和0和负整数即可求解． 【详解】（1）解：数轴表示为： （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：在有理数，0，，，，中，整数有，0，， 故答案为：，，． 6．（1）在数轴上把下列各数表示出来：，，，，； （2）将上列各数用“”连接起来：______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，将各数正确表示在数轴上是解题关键． （1）先化简各数，然后在数轴表示出各数即可； （2）根据各点在数轴上的位置从左到右用“”连接起来即可． 【详解】解：（1），，，， 如图所示， ． （2）由图可知，． 故答案为：． 题型五 有理数的混合运算 1．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据先计算有理数乘法与再计算减法计算出各项的值，再进行判断即可． 【详解】解：A．，选项正确，不符合题意； B．，选项正确，不符合题意； C．，选项错误，符合题意； D．，选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选A. 3．规定一种新运算“”，对于任意两个有理数x和y有，例如：．则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算；直接根据计算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，四则混合运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 5．（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先进行乘方和乘法运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先去绝对值，同时进行乘法运算，并把除法化为乘法，再进行加减运算，即可求解； 能熟练利用运算法则进行运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型六 有理数的实际应用 1．某气象站每天记录2时，8时，14时，20时四个时刻的气温，将它们的平均数作为这天的平均气温．张家口市某天这四个时刻的气温分别是：；；；，则张家口市这天的平均气温为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正负数的意义，平均数． 由平均数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 2．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表xx年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例，天干为；地支为；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年．依据上述规律推断，2055年应为 （     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 A．壬亥年 B．乙亥年 C．壬子年 D．乙子年 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的年数．根据题意，可以计算出2055年对应的天干和地支，从而可以写出2055年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：， 地支为：， 对照天干地支表得出，2055年为农历乙亥年， 故选：B． 3．下表是筐蔬菜的质量记录，每筐以为标准质量（高于标准质量记为“”），则这筐蔬菜总质量为 ． 筐数 与标准质量比较/kg 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正负数的应用，解题的关键是掌握相关知识．用筐标准质量的重量加上筐实际蔬菜重量与标准质量相差的总和即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4．甲、乙两人在两条生产线上加工产品．在生产线，甲第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件，乙第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件；在生产线，甲每天加工件产品，乙每天加工件产品．在一天内，甲和乙只能选择在中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于天时不可改变产品线． ①甲在产品线连续工作天能加工产品 件； ②一件产品、一件产品组成一套产品，则天最多能加工 套产品． 【答案】 【分析】（）根据题意列出算式计算即可； （）根据题意列出算式解答即可； 本题考查了有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：①由题意可得，甲在生产线连续工作天最多能加工产品个 故答案为：； ②∵一个产品、一个产品组成一套产品， ∴天两种产品要同时生产出的数量最多， ∵甲在生产线连续工作天最多能加工产品个，甲在生产线连续工作天最多能加工产品个；乙在生产线连续工作天最多能加工产品个，乙在生产线连续工作天最多能加工产品个， ∴每天甲、乙轮流生产可使产品的数量相同，为个，最后两天甲生产产品件，乙生产产品件， ∴天最多能加工套， 故答案为：． 5．（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为_____分，最低分为_____分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 【答案】(1)表格见解析 (2)92，57 (3)671分 【分析】（1）求出数学的相对分数，再补全表格即可； （2）先找出相对分数中的最高分和最低分，再用基准分数加上相对分数的最高分即可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上相对分数的最低分即可求出该产品所得的最低分； （3）先根据题意列式，然后再按照有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：该产品的数学测试分数为61分，数学的相对分数为（分）， 补全表格如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 （2）解：在相对分数中，最高分为，最低分为， 该产品所得最高分为（分），最低分为（分）， 故答案为：，； （3）解： ， 该产品在本次测试中全科目的总分是671分． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用，有理数减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，熟练掌握正负数的应用和有理数的运算法则是解题的关键． 6．【综合与实践】体重调查 素材1：党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重=（年龄）； 素材2：本表是七年级某小组6位同学的体重情况，以标准体重为基准，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 学生编号 1 2 3 4 5 6 标准体重 43 43 43 43 43 43 实际体重 素材3：表一60分钟各项运动消耗热量表． 运动 骑车 快跑 慢跑 爬楼梯 游泳 热量变化（卡） 素材4：表二常见食物摄入热量表． 食物 炸薯片 方便面 巧克力 曲奇饼 基围虾 热量变化（卡） (1)哪几位同学的体重超出标准体重？体重最大和最小的分别是哪位同学？ (2)该小组6位同学的平均体重是多少千克？ (3)根据该小组6位同学的体重情况，并结合素材3、4，从身体健康方面，说说你的想法． 【答案】(1)编号为2、4、5的学生的体重超过了标准体重；编号为4的学生体重最大，编号为6的学生体重最小 (2) (3)见解析（合理即可） 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式，准确计算． （1）根据表格中数据进行求解即可； （2）根据平均数的计算方法，列式计算即可； （3）根据题干提供的信息进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴编号为2、4、5的学生的体重超过了标准体重；编号为4的学生体重最大，编号为6的学生体重最小； （2）解： ； 答：该小组6位同学的平均体重是； （3）答：体重偏重的同学建议在饮食方面少吃炸薯片、巧克力等高糖、高热量的食品，多吃蔬菜水果；在体育运动方面，多运动，以消耗多余的热量，想要快速降重可以选择游泳、快跑或慢跑等项目的体育锻炼；体重偏轻的同学建议在饮食方面不要挑食，适当吃一些高热量的食品，并多吃蔬菜水果；适当参加体育运动，推荐多骑自行车． 题型七 有理数的新定义运算 1．中考新考法·新定义形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．11 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的混合运算，根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：． 故选：A 2．（中考新趋势·新定义）我们规定，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义的运算，有理数的混合运算，理解题意并熟练掌握有理数的混合运算法则即可． 根据题意，将相应的值代入新定义的运算中，再结合有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算． （1）先根据题意得到推出，据此求解即可； （2）将所求式子变形为，得出，得到，据此计算可得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 4．定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的大小比较及加法运算，新定义，掌握表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数是解题的关键．根据新定义求解即可． 【详解】解：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数， ， 故答案为：8． 5．【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】（1）0，，20；（2）；（3）不成立，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）按照混合运算顺序和新定义，先算括号里面的，再算括号外面的即可得； （3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：0，，20． （2） ． （3）不成立，举例如下： 当时， ， ， 所以不成立． 6．综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (2)17 (3)， 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． （1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17 （3）， ，， 解得，． 题型八 数轴上的动点问题 1．已知：是最小的两位正整数，且、、满足，若、、在数轴上所对应的点分别为、、，点为数轴上的一个动点，对应的数为． (1)求、两点间的距离； (2)若、两点间的距离是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值的非负性、数轴、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴知识，正确理解题意，弄清点的位置是解题的关键． （1）由是最小的两位正整数，得出，由绝对值的性质得出，，即可得出结果； （2）由两点间的距离公式即可得出结果． 【详解】（1）解：因为是最小的两位正整数， 所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以、两点间的距离为：； （2）解：因为，、两点间的距离是，点在数轴上， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 所以或． 2．如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)的长为或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出，，再根据为线段的中点可求出； （2）由题意可得：，，得到点表示的数为，点表示的数为，进而得到，，根据求出，即可求解； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为，得到，，最后根据，列方程即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 为线段的中点， ， 故答案为：，，； （2）由题意可得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 的长为或； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或． 3．已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)、之间的距离为 ； (2)数轴上一点距点24个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，，点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30； (2)当在之间时，点表示；当在点右侧时，点表示2； (3)点表示20，则第20次点表示的数与点重合；点表示，第10次点表示的数是10，故点不与点重合． 【分析】本题考查实数与数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）根据，可以求得、的值，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点对应的数； （3）根据题意可以发现题目中点对应的数的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得，，， ， 即、之间的距离为30， 故答案为：30； （2）解：∵，，数轴上一点距点24个单位长度， ， ， ， ， 当在之间时，点表示， 当在点右侧时，点表示2； （3）解：由题意可得， 第一次点表示， 第二次点表示2， 第三次点表示， 第次点表示， 点表示20，则第20次点表示的数与点重合， 点表示，第10次点表示的数是10，故点不与点重合． 4．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 5．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，其中是最大的负整数，是最小的正整数． (1)________，________； (2)用“<”将，，，连接起来； (3)点为数轴上一动点，则的最小值为________． 【答案】(1)；1； (2)； (3)2． 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值以及数轴，正确得出、的值是解答本题的关键． （1）根据最大的负整数为，最小的正整数为1可得答案； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果；（3）根据数轴上两点之间的结论解答即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是最小的正整数， ∴，， 故答案为：，1； （2）解：由题意可知，即， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，当点在、之间时，的最小，的最小值为2． 故答案为：2． 6．如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型九 绝对值的几何意义 1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______； （2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【拓展运用】 （5）若，则______． 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，；（5）或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可；②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据中点坐标公式求出，即可求解； （5）根据绝对值的几何意义可得：或，即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）①若，则或， 解得：或， 故答案为：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （5）， 或， 解得：或， 故答案为：或． 2．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 3．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 4．舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 【答案】(1)、，B (2)①甲：；乙：；②千米 (3) (4)， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据与，与之间的距离均为米，米千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解； （4）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：与，与之间的距离均为米，米千米， 、两点在数轴上所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车在数轴上表示的数为： ， 乙车在数轴上表示的数为：； ②当分钟时， 甲车在数轴上表示的数为：， 乙车在数轴上表示的数为：， 两车的距离：（千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为， 故答案为：； （4）表示数轴上点分别到，，，，，的距离之和， 该式子取得最小值时，应满足的条件是， 当时，取得最小值， 最小值为： ． 5．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 6．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． 【详解】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 题型十 有理数综合 1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“的次商”．记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； 任何非零数的次商都等于； 对于任何正整数，； ； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． 仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ； ． (3)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字规律，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用题中的新定义计算逐项分析可得答案； （2）利用题中的新定义计算即可求出值； （3）根据题意确定出所求即可； （4）根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：任何非零数的次商等于这个数与它本身相除，结果为， 任何非零数的次商都等于， 故正确； 对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，， 错误； ，， ， 错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数， 正确； 综上，说法错误的是：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解：， 将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于， 故答案为：； （4）解：原式． 2．综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 【答案】(1)，六； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、不同进制的数之间的转换，解决本题的关键是读懂阅读材料中不同进制数之间的转换原理，利用材料中的解题思路进行解答． 根据：逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，可知六进制的基数为，逢六进一； 仿照材料二中的思路，运用除取余法，可知把十进制对应的二进制数为，根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为，仿照材料二中的思路，运用除取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为，逢六进一， 故答案为：，六； （2）解：运用除取余法，如下图所示， 十进制对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为： ， 故答案为：，； （3）解：将十二进制转化为十进制数为： ， 故答案为：； （4）解：先将转化为十进制数为： ， 运用除取余法，如下图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 故答案为：，． 3．综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）根据发现的规律解答即可； （4）根据发现的规律解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】解：（1），， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． （4）解：原式 ． 4．年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息． ．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里； ．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个； ．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全如下补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）； 公里点 补给站 (2)下列说法中，所有合理说法的序号是______． ①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个； ②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍． 【答案】(1)补表见解析 (2)②③ 【分析】（）根据题意可知补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站，据此即可求解； （）由题意可得不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，即可判断①；由可判断②；分别求出固定医疗站的数量和补给站数量，即可判断③，据此即可求解； 本题考查了有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表知，补给站的第一站的公里点是， ∵自公里起，每隔公里设置一个， ∴补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站， ∴补全补给站的信息表如下： 公里点 补给站 （2）解：①∵，， ∴不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，故选项①说法错误； ②∵， ∴同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里，故选项②说法正确； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量为个，补给站数量为个， ∴固定医疗站的数量是补给站数量的两倍，故选项③说法正确； 综上，所有合理说法的序号是②③， 故答案为：②③． 5．小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． 6．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数章末重点题型复习 题型一 正数和负数 题型二 数轴 题型三 绝对值与相反数 题型四 有理数的大小 题型五 有理数的混合运算 题型六 有理数的实际应用 题型七 有理数的新定义运算 题型八 数轴上的动点问题 题型九 绝对值的几何意义 题型十 有理数综合 题型一 正数和负数 1．《九章算术》记载的余和不足等概念，体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出2025元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．下列各数：，其中负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有下列各数：，，，，，．其中，正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也不是负数． 4．将下列各数分别填在相应的横线上：，，，，0，，，2.4，72．负分数： ；非负整数： ． 5．把下列各数填入相应的括号内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧， 正数：{                      }； 负数：{                      }； 整数：{                      }； 负分数：{                   }． 6．把下列各数填在相应的集合内： ，，，0，，1000，，4，，，，，（每两个3之间依次多一个1）． 正有理数集合：{   …}； 负数集合： {   …}； 整数集合： {   …}； 分数集合： {   …}． 题型二 数轴 1．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 2．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，其中对应的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 4．已知点A，B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为5，则中点C表示的数是 ． 5．综合与探究 问题情境：如图1是牛顿摆的示意图，它由7根等距离的细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们利用牛顿摆和数轴进行探究． 初步分析： （1）如图2，将牛顿摆放在数轴的上方，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为5，求铁球①的最低点在数轴上对应的数； 深入探究： （2）如图3，将牛顿摆放在数轴的上方，铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，． （1）用含，的代数式表示铁球⑦的最低点在数轴上对应的数； （2）点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点的距离是铁球①与⑤最低点距离的2倍，则点在数轴上对应的数为______（用含，的代数式表示）． 6．如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 题型三 绝对值与相反数 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2与 B．3与 C．与 D．与 2．如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 3．若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 4．已知，则的值为 ． 5．如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 6．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型四 有理数的大小 1．下列各对数的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若一只小熊的质量（单位：克）与标准质量相比，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则在下面4只小熊中，最接近标准质量的小熊是（   ） A． B． C． D． 3．比较两个数的大小： （填“”“”或“”）． 4．比较下列有理数的大小： 0； ．（填<、=或>） 5．已知有理数，0，，，，． (1)在数轴上表示：，，，； (2)比较大小：______；（填“”“”或“”号） (3)整数集合：｛______…｝． 6．（1）在数轴上把下列各数表示出来：，，，，； （2）将上列各数用“”连接起来：______． 题型五 有理数的混合运算 1．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 3．规定一种新运算“”，对于任意两个有理数x和y有，例如：．则 ． 4．计算的结果为 ． 5．（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 6．计算： (1)； (2)． 题型六 有理数的实际应用 1．某气象站每天记录2时，8时，14时，20时四个时刻的气温，将它们的平均数作为这天的平均气温．张家口市某天这四个时刻的气温分别是：；；；，则张家口市这天的平均气温为（   ） A． B． C． D． 2．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表xx年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例，天干为；地支为；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年．依据上述规律推断，2055年应为 （     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 A．壬亥年 B．乙亥年 C．壬子年 D．乙子年 3．下表是筐蔬菜的质量记录，每筐以为标准质量（高于标准质量记为“”），则这筐蔬菜总质量为 ． 筐数 与标准质量比较/kg 4．甲、乙两人在两条生产线上加工产品．在生产线，甲第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件，乙第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件；在生产线，甲每天加工件产品，乙每天加工件产品．在一天内，甲和乙只能选择在中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于天时不可改变产品线． ①甲在产品线连续工作天能加工产品 件； ②一件产品、一件产品组成一套产品，则天最多能加工 套产品． 5．（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为_____分，最低分为_____分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 6．【综合与实践】体重调查 素材1：党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重=（年龄）； 素材2：本表是七年级某小组6位同学的体重情况，以标准体重为基准，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 学生编号 1 2 3 4 5 6 标准体重 43 43 43 43 43 43 实际体重 素材3：表一60分钟各项运动消耗热量表． 运动 骑车 快跑 慢跑 爬楼梯 游泳 热量变化（卡） 素材4：表二常见食物摄入热量表． 食物 炸薯片 方便面 巧克力 曲奇饼 基围虾 热量变化（卡） (1)哪几位同学的体重超出标准体重？体重最大和最小的分别是哪位同学？ (2)该小组6位同学的平均体重是多少千克？ (3)根据该小组6位同学的体重情况，并结合素材3、4，从身体健康方面，说说你的想法． 题型七 有理数的新定义运算 1．中考新考法·新定义形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．11 B． C．5 D． 2．（中考新趋势·新定义）我们规定，则（   ） A． B．1 C． D． 3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 4．定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 5．【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 6．综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 题型八 数轴上的动点问题 1．已知：是最小的两位正整数，且、、满足，若、、在数轴上所对应的点分别为、、，点为数轴上的一个动点，对应的数为． (1)求、两点间的距离； (2)若、两点间的距离是，求的值． 2．如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 3．已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)、之间的距离为 ； (2)数轴上一点距点24个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，，点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由． 4．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，其中是最大的负整数，是最小的正整数． (1)________，________； (2)用“<”将，，，连接起来； (3)点为数轴上一动点，则的最小值为________． 6．如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 题型九 绝对值的几何意义 1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______； （2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【拓展运用】 （5）若，则______． 2．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 3．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 4．舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 5．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 6．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 题型十 有理数综合 1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“的次商”．记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； 任何非零数的次商都等于； 对于任何正整数，； ； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． 仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ； ． (3)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 2．综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 3．综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 4．年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息． ．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里； ．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个； ．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全如下补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）； 公里点 补给站 (2)下列说法中，所有合理说法的序号是______． ①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个； ②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍． 5．小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 6．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$