寒假新课衔接：专题09 正比例和反比例-六年级下册数学（人教版）

2024-2025学年人教版数学六年级寒假新课衔接 专题09 （四） *正比例和反比例 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个 （也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示： 圆的面积与半径成正比例关系。( ) 【答案】× 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定(也就是商一定),这两种量成正比例关系。 【详解】由圆的面积S=πr²,可得S:r=πr(不一定),比值不一定，则圆的面积与半径不成比例。原题说法错误。 故答案为：× x、y是两个相关联的量，如果： x=v,则x和y成( )比例。练2 练1 下面各种关系中，成正比例的是( )。 A.路程一定，速度和时间 B.平行四边形的面积一定，它的底和高 C.三角形的高不变，它的底和面积 D.圆的半径一定，它的周长和圆周率练3 下列说法中，正确的有( )个。 ①0是正数。 ②正方形的周长和边长成正比例。 ③正六边形的内角和是720°。 ④商场促销中的“买三送一实际就是“打八折”。 A.1 B.2 C.3 D.4 知识点二：正比例的应用 小林积极参加学校开展的“世界读书日“活动，计划阅读经典名著《西游记》,前3天读了15回，照这样的速度，他读完全书100回一共需要多少天?(用比例知识解答) 【答案】20天 【分析】因为每天读书的速度是一定的，也就是读的回数和天数的比值是一定的，所以读的回数和天数成正比例。设读完全书一共要天，可 列出比例式：15:3=100:x,解出比例，即可他读完全书100回一共需要多少天，据此解答。 【详解】 解：设读完全书一共要x天。 15:3=100:x 15x=3×100 15x=300 x=300÷15 x=20 答：照这样的速度，他读完全书100回一共需要20天。 2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024受年“世界青光眼周“北京第二届“健步走公益乐跑活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是( )。练1 ①x:30=7:;②30:x=:1;③1:x=:30 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③练2 一种新型笔芯每支售价是0.8元。 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 总价/元 0 0.8 1.6 ... （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线 （2）买11支笔芯需要（    ）元。 （3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（    ）倍。 知识点三：反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 一定。这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k 表示它们的积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示： 如果路程一定，那么速度和时间成( )比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果相对应的两个数的积一定，则这两种量成反比例关系；据此解答。 【详解】速度×时间=路程(一定),所以速度和时间成反比例。总价+数量=单价(一定),所以总价和数量成正比例。如果路程一定，那么速度和时间成放比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成正比例关系。练1 下列选项中，两个量成反比例的是( )。 A.稻谷每公顷产量一定，稻谷的总产量与公顷数。 B.用方砖铺教室地面，方砖的边长和块数。 C.圆锥的体积一定，它的底面积和高。 教室里的面积一定，教室里的人数和人均占地的面积( )。练2 A.成反比例 B.成正比例 C.不成比例 D.无法确定练3 下列说法中成正比例关系的是( ),成反比例关系的是( )。 ①《快乐数学》的订阅数量和付款钱数； ②人的身高和体重； ③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度； ④圆锥的体积一定，它的底面积和高。 A.①③;④ B.④;② C.②;④ D.③;① 知识点四：反比例的应用 小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页?(用比例解) 【答案】30页 【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天读的页数读书的天数=一本书的总页数(一定),所以每天读的页数与读的天数成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。 【详解】解：设平均每天要读x页。 (10-2)x=24×10 8x=240 8x÷8=240÷8 x=30 答：平均每天要读30页。 学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。练1 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 ... 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 ... (1)每块地砖的面积和所需地砖的数量成( )比例关系。 (2)如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大?(用比例解答) 农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%,需多少天能完成任务?(用比例知识解答)练2 三、课后巩固 1.已知：a÷b=.那么下面说法正确的是( )。 A.a和b成正比例 B.a和b成反比例 C.3a=4b D.b是a的 2.如图，如果a与b成正比例，可以填( );如果a与b成反比例，可以填( )。 a 3 5 b 45 ? 3.一间教室要用方砖铺地，用面积是64平方分米的方砖要90块，如果改用边长6分米的方砖，需要多少块?列式或方程：( )。 4.如果路程一定，那么速度和时间成( )比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成( )比例关系。 5.x、y是两个相关联的量，如果x=y,则x和y成( )比例 6.三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 7.=c,(a、b、c都是不等于0),当b一定时，a与C成( )比例，当a一定时，b与c成( )比例。 8.若x:4=5:y(x,y≠0),则x和y成( )比例关系。若a=0.2b(a,b≠0),则a和b成( )比例关系。 9.下面图象表示淘气、笑笑骑车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题 （1）淘气骑车行驶的路程与时间成（       ）比例。（填“正”或“反”） （2）从图象上看，（       ）骑车更快一些。（填“淘气”或“笑笑”） （3）骑车2小时，笑笑行驶了多少千米？骑行40千米，淘气用了多长时间？ 10.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行72千米，4小时可以到达。从乙地返回甲地，每小时行48千米，需要多少小时到达?(用比例解) 11.小林积极参加学校开展的“世界读书日“活动，计划阅读经典名著《西游记》,前3天读了15回，照这样的速度，他读完全书100回一共需要多少天?(用比例知识解答) 参考答案 知识点一：正比例的意义 比值 =k（一定） 【答案】正练1 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果x=v，那么x÷y=,比值一定，所以y和x成正比例。 【答案】C练2 【分析】相关联的两个量对应的数值的比值一定，则这两个量成正比例关系。据此依次分析各个选项，进而得出答案。 【详解】A.路程=速度×时间，路程一定，即速度与时间的乘积一定，不成正比例； B.平行四边形面积=底×高，平行四边形面积一定，即底与高的乘积一定，不成正比例； C.三角形的高=面积×2÷底，三角形面积与底的比值一定，即它的底和面积成正比例； D.圆的半径=周长÷2÷圆周率，圆周率是一个定值，半径也是定值，则它的周长和园周率不成比例。则成正比例的是：三角形的高不变，它的底和面积。 故答案为：C练3 【答案】B 【分析】①0是正数和负数的分界点，0既不是正数也不是负数； ②正方形周长=边长×4。比值或商一定的两个量成正比例关系； ③多边形的内角和=(边数-2)×180°; ④“买三送一”说明买三个得四个。将3除以4,可求出折扣。百分之几十几对应几几折。 【详解】①0不是正数，原说法错误； ②正方形周长÷边长=4,所以正方形的周长和边长成正比例。原说法正确； ③(6-2)×180°=4×180°=720°所以，正六边形的内角和是720°。原说法正确； ④3÷4=75%=七五折，所以“买三送一”实际是“打七五折”。原说法错误。 所以，正确的说法有2个。故答案为：B 知识点二：正比例的应用练1 【答案】C 【分析】把全程看作单位“1”,根据李医生的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式即可。 【详解】如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟。 1:x=:30，变形可得30:x=:1则正确的关系式有②③。故答案为：C练2 【答案】2.4;3.2;4.0;4.8;5.6;6.4 (1)图见详解 (2)8.8 (3)3 【分析】已知一种新型笔芯每支售价是0.8元，根据“单价×数量=总价”,求出买不同数量的笔芯对应的总价，据此把表格补充完整。 (1)把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 (2)根据“单价×数量=总价”,求出买11支笔芯需要的钱数。 (3)根据总价+数量=单价，单价一定，则总价与数量成正比例关系，据此解答 【详解】0.8×3=2.4(元) 0.8×4=3.2(元) 0.8×5=4.0(元) 0.8×6=4.8(元) 0.8×7=5.6(元) 0.8×8=6.4(元) 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 总价/元 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 ... (1）如下图： (2)0.8×11=8.8(元) 买11支笔芯需要8.8元。 (3)因为单价一定，总价与数量成正比例关系，所以小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的3倍。 知识点三：反比例的意义 积 XY=k (一定)练1 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量呈正比例或反比例时，要看两个变量的比值或乘积是否为定值，比值一定，成正反例，乘积一定，则成反比例，据此解答。 【详解】A.稻谷的总产量÷公顷数=稻谷每公顷产量(一定),即稻谷的总产量与公顷数的比值一定，所以稻谷每公顷产量一定，稻谷的总产量与公顷数成正比例； B.方砖边长的平方(方砖面积)×所需要的块数=教室的面积(一定),所以方砖的边长和所需要的块数不成比例； C.园锥的底面积×高=圆锥的体积×3(一定),即圆锥的底面积与高的乘积一定，所以圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。 故答案为：C练2 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】因为人数×人均占地的面积=教室面积(一定),所以教室里的人数和人均占地的面积成反比例。教室里的面积一定，教室里的人数和人均占地的面积成反比例。 故答案为：A练3 【答案】A 【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这两种量就成正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这两种量就成反比例关系。 【详解】①《快乐数学》的单价固定的，即付款钱数÷订阅数量=单价(一定),因此《快乐数学》的订阅数量和付款钱数成正比例； ②人的身高和体重不是相关联的量，因此它们的积或比值都不一定，所以人的身高和体重不成比例； ③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度的比值是一定的，因此同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度成正比例； ④圆锥的体积=×底面积×高，因为圆锥的体积一定，即底面积×高=3×体积(一定),因此圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。 则成正比例关系的是①③,成反比例关系的是④。故答案为：A 知识点四：反比例的应用 【答案】(1)反(2)0.24平方米练1 【分析】(1)判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 (2)可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。 【详解】(1)0.2×600=0.3×400=0.4×300=0.6×200=0.8×150=120(平方米) 因为每块地砖的面积×需要的块数=铺地面积(一定),所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 (2)解：设所用地砖的面积为x平方米。 500x=0.2×600 500x=120 500x÷500=120÷500 x=0.24 答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。 【答案】16天练2 【分析】根据题意可知，生产这批农具的台数一定，每天生产的台数与生产的天数成反比例，把原计划每天生产的台数看作单位“1”,实际生产台数是原计划(1+25%),用原计划每天生产的台数×(1+25%),求出实际每天生产的台数，设需x天完成任务，原计划每天生产的台数×天数=实际每天生产的台数×需要的天数，列方程：(1+25%)×80×x=80×20,解方程，即可解答。【详解】解：设需x天能完成任务。 (1+25%)×80×x=80×20 1.25×80×x=1600 100x=1600 x=1600÷100 x=16 答：需16天能完成任务。 三、课后巩固 1.【答案】A 【分析】A.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定(也就是商一定),这两种量成正比例关系。 B.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系， C.先根据除法与比的关系，把a÷b=改写成比例式，再根据比例的基本性质把它改写成两数相乘的形式。 D.根据除法中各部分的关系“除数=被除数÷商”,得出b与a的关系。 【详解】A.a÷b=,商一定，则a和b成正比例，原选项说法正确； B.由上一个选项可知，a和b成正比例，原选项说法错误； C.a÷b=,即a:b=3:4,根据比例的基本性质可得：4a=3b,原选项说法错误； D.a÷b=,则b=a÷=a×=a,,即b是a的,原选项说法错误。故答案为：A 2.【答案】 75 27 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定(也就是商一定),这两种量成正比例关系。如果a与b成正比例，则a:b=3:45;把a=5代入比例式，解比例求出b的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果a与b成反比例，则ab=3×45;把a=5代入比例式，解比例求出b的值。 【详解】如果a与b成正比例，则a:b=3:45; 当a=5时5:b=3:45 解：3b=5×45 3b=225 b=225÷3 b=75 如果a与b成反比例，则ab=3×45;当a=5时5b=3×45 解：5b=135 b=135÷5 b=27 如果a与b成正比例，可以填(75);如果a与b成反比例，可以填(27)。 3.【答案】6×6×x=64×90 【分析】由于每块方砖的面积×块数=教室的面积(一定),因此，方砖的块数与每块方砖的面积成反比例关系。先根据正方形面积计算公式S=a²,,求出边长为6分米的方砖的面积再设需要x块，最后列比例解答即可。 【详解】解：设改用边长6分米的方砖，需要x块。 6×6×x=64×90 4.【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果相对应的两个数的积一定，则这两种量成反比例关系；据此解答。 【详解】速度×时间=路程(一定),所以速度和时间成反比例。总价+数量=单价(一定),所以总价和数量成正比例。如果路程一定，那么速度和时间成放比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成正比例关系。 5.【答案】正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果x=y.那么x÷y=,比值一定，所以y和x成正比例。 6.【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x-y=k(一定),x和y成正比例关系；如果xy=k(一定),x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】根据总价：数量=单价，如果A一定，那么B和C成正比例关系；根据单价×数量=总价，如果C一定，那么A和B成反比例关系。 7.【答案】 反 正 【分析】正比例关系：两种量对应的数的比值一定，则这两种量成正比例关系；反比例关系：两种量对应的数乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此可得出答案。 【详解】当b一定时，=c可变换为：ac=b,即a和c的乘积一定，a和c成反比例；当a一定时，=c可变换为：=a即b和c的比值一定，b和c成正比例。 8.【答案】 反 正 【分析】两个相关联的量，比值一定，这两个量成正比例；两个相关联的量，乘积一定，这两个量成反比例，据此解答即可。 【详解】根据比例的基本性质，因为x:4=5:y,则xy=4×5=20,乘积一定，则x和y成反比例关系；根据等式的性质，因为a=02b,则=0.2,,比值一定，则a和b成正比例关系。 9. 【答案】(1)正 (2)淘气 (3)20千米；时 【分析】(1)如果两个相关联量的比值一定，那么它们成正比例；如果两个相关联量的乘积一定，那么它们成反比例。据此解答； (2)从图上看，淘气和笑笑都骑了50干米，淘气花的时间是3个多小时，笑笑花的时间是5个小时，同样的路程，花的时间少，速度就快，据此解答； (3)图像的横轴表示时间，纵轴表示路程，从图像中找出笑笑2小时对应的路程，是20干米；从图像中可知，淘气骑行15干米花了1小时，先根据速度=路程÷时间，算出淘气的骑行速度，再根据时间=路程÷速度，算出淘气骑行40干米，所花的时间即可。 【详解】(1)15:1=30:2=45:3=15 观察淘气的路程和时间数据，随着时间的增加，路程也在增加，并且路程与时间的比值是一定的，即速度一定，所以淘气骑车行驶的路程与时间成正比例。 (2)从图象上看，淘气骑车更快一些。 (3)由图可得，骑车2小时，笑笑行驶了20千米。 15÷1=15(千米/时) 40÷15=(时) 答：骑车2小时，笑笑行驶了20千米；骑行40千米，淘气用了时。 10.【答案】6小时 【分析】根据题意可知，甲地与乙地的距离一定；根据速度×时间=路程(一定),乘积一定，则汽车的速度和行驶的时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要x小时到达。 48x=72×4 48x=288 x=288÷48 x=6 答：需要6小时到达。 11.【答案】20天 【分析】因为每天读书的速度是一定的，也就是读的回数和天数的比值是一定的，所以读的回数和天数成正比例。设读完全书一共要x天，可列出比例式：15:3=100:x,解出比例，即可他读完全书100回一共需要多少天，据此解答。 【详解】解：设读完全书一共要x天。 15:3=100:x 15x=3×100 15x=300 x=300÷15 x=20 答：照这样的速度，他读完全书100回一共需要20天。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$