9.1向量概念（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.1 向量概念 情境导入 思考：力、速度、加速度以及位移这些物理量有什么共同特征？ 木块在重力和支持力的合力作用下，沿着斜面向下运动。其运动的加速度为正，向下运动的速度越来越快。木块滑动后就会发生位置的变化，物理上我们用位移来表示这种变化。 它们都是既有方向又有大小的量。 情境导入 思考：老鼠以的速度向西跑，猫以的速度向东追，猫能否追上老鼠？ 追不上，不仅要有速度，还要追对方向。也就是说，不仅要看速度的大小，还要看速度的方向。 类似的，生活中有没有哪些既有大小又有方向的量呢？ 情境导入 情境导入：生活中的量 身高 体重 衡量孩子成长情况的基本要素？ 只有大小，没有方向 速度 力 影响距离的因素？ 既有大小，又有方向 影响命中的因素？ 位移 力 加速度 既有大小，又有方向 情境导入 生活中的量 物理学：矢量 既有大小 又有方向 只有大小 物理学：标量 身高 价格 面积 路程 等 速度 位移 力 加速度 等 共性 数学抽象 共性 概念 新知探究 在数学中，我们把(向量的定义)既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量. 定义 既有大小又有方向的量叫做向量 思考：向量是否可以比较大小？ 向量没有大小之分？ 新知探究 思考：数量可以用数轴上的点表示，向量可以用什么表示呢？ 实数与数轴上的点一一对应 数量的几何表示： 向量的几何表示？ 以我方军机从出发点到拦截点的位移为例： 发现点 拦截点 几何表示: 符号表示： 常用一条有向线段来表示 箭头所指方向表示向量的方向 ， ， 新知探究 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 有向线段的三个要素：起点、方向、长度 可以用带箭头的线段来表示向量 长短表示向量的大小. 箭头指向表示向量的方向 向量的大小——模 向量的大小称为向量的长度（或称模）， 记作： 思考：有向线段和向量有什么异同呢？ 新知探究 思考：表示同一个有向线段吗？ 表示同一个向量吗？为什么？ A B C D A B C D 不同的有向线段（起点不同） 同一个向量（大小、方向相同） 有向线段的要素：起点、方向、长度. 向量的要素：方向、长度（模）. 有向线段：位置是固定的，与起点有关； 向量：位置是自由的，可以平移，与起点无关. 新知探究 零向量 单位向量 规定长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 思考：零向量和单位向量的方向是怎样的？ 追问：（1） 和0有区别吗？ （2）若和都是单位向量，则，对吗？ 任意方向，单位向量有无数个。 新知探究 思考：,表示同一线段，,表示同一向量吗？为什么？ 不是，方向不同，特别的，,方向相反，大小相等，所以称是两个平行向量。 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如图，用有向线段表示的向量与是两个平行向量.向量与平行，记作. 规定：零向量与任意向量平行.即对于任意向量，都有. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记作. 新知探究 共线向量 任何一组平行向量都可以移到同一直线上， 所以平行向量也叫做共线向量。 问题：你能用充分条件、必要条件等来描述平行向量、相等向量、共线向量之间的联系吗？ 相等向量 共线向量 平行向量 练习巩固 辨析1：判断正误. 1.如果，那么. ( ) 2.若都是单位向量，则. ( ) 3.力、速度和质量都是向量. ( ) 4.零向量的大小为0，没有方向. ( ) 5.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等. ( ) 6.向量与向量的大小相等. ( ) 【答案】： 新知探究 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作 ， ,则叫做向量与的夹角. 注：1.向量的夹角可表示为<>； 2.向量夹角范围是. 特殊情况 θ 与同向 与垂直，记作 与反向 新知探究 辨析2：试判断下列向量的夹角。 辨析3：已知||＝||＝2，且与的夹角为60°，则＋与的夹角是多少？－与的夹角又是多少？ 60° 30° . . 【答案】：，. 找夹角，先确定是否共起点。 练习巩固 例1：已知是正六边形的中心，在右图所标出的向量中： (1)试找出与共线的向量； (2)确定与共线的向量； (3)与相等吗？ 解：(1)，是共线向量； (2)与长度相等且方向相同，则； （3）虽然，且，但它们方向相反，所以这两个向量并不相等。 探索新知 问题：在实数运算中，数的相反数是，如何类比定义“相反向量”？ 我们规定，与向量长度相同，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． 规定：零向量的相反向量仍是零向量。 于是，对任意一个向量，总有 练习巩固 练习1：如图所示，四边形和四边形都是平行四边形. (1)与向量相等的向量为____； (2)若，则向量的模等于____. 【答案】：(1),; (2)6. 解析：(1)在平行四边形和中， ∵∴. (2)由(1)知，∴三点共线， 练习巩固 练习2：在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从𝐴点出发向西航行了200𝑚到达𝐵点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400𝑘𝑚到达𝐶点，最后又改变航行方向，向东航行了200𝑘𝑚到达��点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务. (1)作出，，； (2)求||. 解：(1)如图所示，作出，，： (2)由题意知， 所以四边形是平行四边形. 所以， 所以. 练习巩固 变式2-1：在四边形中，，且，则这个四边形是（ ）. .正方形 .矩形 .等腰梯形 .菱形 【答案】： 变式2-2：（1）分别用向量表示图中地至两地的位移，并说出向量的模。 （2）在坐标纸中，做出下列向量：① ② ③ 小结 平面向量的概念 表示 向量间关系 特殊向量 大小表示 符号表示 几何表示 零向量 单位向量 平行（共线）向量 相等向量、相反向量 长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 有向线段 向量夹角 $$