第05讲 复数的概念（2大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第05讲 复数的概念 目录 题型归纳 1 题型01 复数的基本概念 3 题型02 求复数的实部与虚部 5 题型03 已知复数的类型求参数 7 题型04 复数的坐标表示 8 题型05 判断复数对应的点所在的象限 10 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 11 题型07 求复数的模 13 题型08 由复数模求参数 15 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 16 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 25 知识点01复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 4、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 6、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点02复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 题型01复数的基本概念 【例1】（20-21高一下·全国·课后作业）设集合，，，则，，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的定义、复数的分类判断． 【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确． 故选：B． 【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【知识点】复数的基本概念 【分析】由复数的基本概念求解即可. 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 【变式2】（21-22高一下·河南·阶段练习）已知复数． (1)若z为实数，求m的值； (2)若z为纯虚数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的基本概念 【分析】（1）虚部为0列出方程即可；（2）实部为0，虚部不为0列出方程即可 【详解】（1）由题意得，解得 （2）由题意得,即,解得 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）观察下面方程在已知条件下是否有解？如果没有解，我们怎么变换条件使其有解呢？ (1)在自然数集中求方程的解； (2)在整数集中求方程的解； (3)在有理数集中求方程的解； (4)在实数集中求方程的解. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】复数的基本概念 【详解】（1）无解，在整数集中有解，把数集扩展到整数集即可. （2）无解，在有理数集中有解，把数集扩展到有理数集即可. （3）无解，在实数集中有解，把数集扩展到实数集即可. （4）无解，数集进一步扩展，扩展到复数集即可. 题型02 求复数的实部与虚部 【例2】（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部定义即可求解. 【详解】由于，故虚部为. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则 . 【答案】7 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数实部和虚部的概念结合题意即可求解. 【详解】的实部和虚部分别是2和3， 则，，解得， 故. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）以复数的实部为虚部、虚部为实部的新复数为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的概念可得实部与虚部，进而可得新复数. 【详解】由复数可知其实部为，虚部为， 所以新复数的实部为，虚部为， 即为复数， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数：，，，，0，，，i，其中 为实数， 为纯虚数. 【答案】 ，0， ，，i 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的分类，纯虚数的定义即可逐一判断 【详解】由纯虚数定义可以知，实部为0，虚部不为0的虚数为纯虚数，所以 ， ，i为虚数， 因为，所以为实数， 易知，0，为实数， 故答案为：，0，；， ，i 题型03 已知复数的类型求参数 【例3】若，则“”是复数“为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、已知复数的类型求参数 【分析】由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由“”为纯虚数，得，解得， 故“”是复数“为纯虚数”的充要条件. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数，则实数 . 【答案】–1 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用复数相等的条件可得结果. 【详解】由题意可得， 解得，所以实数. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）若复数，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】复数能比较大小，它一定是实数，由此计算即可． 【详解】因为复数， 所以复数为实数， 即，解得. 当时，，成立， 当时，，不成立. 综上所述，. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 【答案】当时是实数；当时是纯虚数；当时是零 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的分类可列方程，即可得解. 【详解】当复数为实数时，，解得或，即当时是实数； 当复数为纯虚数时，，解得，即当时是纯虚数； 当复数为零时，，解得，即当时是零 题型04 复数的坐标表示 【例4】（23-24高一下·安徽淮南·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的几何意义，写出复数的标准式，结合虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可知，则其虚部为. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数（）复平面内的点平面向量. 【答案】一一对应，一一对应 【知识点】复数的坐标表示 【分析】略 【详解】故答案为：一一对应，  一一对应 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，与轴正半轴所成角为，则复数在复平面内对应点的坐标可表示为 . 【答案】 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据直角三角形中计算点的横纵坐标. 【详解】 根据图形和三角函数可得, 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 【答案】 【知识点】复数的坐标表示 【分析】利用已知复数写出对应点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在复平面内，复数、所对应的点的坐标分别为、， 所以 题型05 判断复数对应的点所在的象限 【例5】（23-24高一下·安徽亳州·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可. 【详解】由题意得，故在复平面内对应的点为， 该点位于第三象限，故C正确. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数在复平面对应的点为位于第一象限. 故选：A. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）当时，复数在复平面内的对应点位于第 象限． 【答案】四 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数对应的点的坐标的符号，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点， 因为，可得， 所以点位于第四象限. 故答案为：四. 【变式3】（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数，则z在复平面内对应的点所在的象限为 象限. 【答案】第二 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据题意，分别判断复数实部和虚部的正负号，即可求解. 【详解】由，可知，， 故z在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 故答案为：第二. 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 【例6】（23-24高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】根据题意得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解. 【详解】由已知复平面内表示复数的点位于四象限， 则，即， 即， 故选：B. 【变式2】（22-23高一下·河南周口·期末）若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝ ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】设，根据题意列出，即可得出答案. 【详解】设， 则在复平面内所对应的点为， 所以， 满足上式的有无数个， 如，，等. 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）利用虚轴上点的性质建立方程，求解参数即可. （2）利用第四象限上点的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）根据题意得，解得或. （2）根据题意得，解得或， 所以实数的取值范围是 题型07 求复数的模 【例7】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模长公式计算. 【详解】由复数得，. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·安徽黄山·期末）如果复数满足，那么复数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模 【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证. 【详解】A.时，，故A错误； B.，则，故B错误； C. ，则，故C错误； D. ，则，故D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，其中，i是虚数单位，则复数的模等于 . 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】利用复数相等求出的值，然后利用复数的模的公式计算出模长 【详解】因为，所以，所以 所以复数的模等于， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】求复数的模 【分析】设，则由，得，然后令，给此式平方化简答案. 【详解】设，则由，得， 令 ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 题型08 由复数模求参数 【例8】（23-24高一下·湖南长沙·期末）若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（    ） A． B．6 C． D．36 【答案】C 【知识点】由复数模求参数 【分析】设，根据模长的计算公式，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式. 【详解】则解得 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·北京东城·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由复数模求参数、已知复数的类型求参数 【分析】由复数概念和复数的模即可求解. 【详解】为纯虚数，设，， ，解得或，即或. 故答案为：（答案不唯一） 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 【例9】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，满足，则复数在复平面上所对应的点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．直线 D．以上都不正确 【答案】C 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】根据复数的加减法运算及复数的模的计算公式计算整理即可得解. 【详解】由，得， 即， 即， 整理得， 故复数在复平面上所对应的点的轨迹是直线. 故选：C. 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，，依题意可得，即可得到复数在复平面内的点所在的区域，从而求出其面积. 【详解】设，，则， 因为，所以，则， 所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点）， 所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1， 所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图， 表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最小值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，求的最小值. 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】设，代入中化简，由，得或，利用复数模的几何意义求的最小值. 【详解】解：设（a、b为实数且不同时为0）， 则. 由题意可知， 得或. 当时，z的轨迹是x轴（除原点外）， 此时的几何意义为复数表示的点和的距离，此时； 当时，复数z的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图.    根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点A与的距离为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一·全国·课后作业）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的基本概念即得. 【详解】设所求复数为， 由题意知复数的虚部为7，所以， 复数的实部为，所以， 故． 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用纯虚数的性质求解即可. 【详解】由题意得平行于轴的非零向量所对应的复数一定是纯虚数，故C正确. 故选：C 3．（20-21高一下·福建宁德·阶段练习）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义确定其在复平面上的点的坐标，由象限列不等式即可得的取值范围. 【详解】复数对应的点为在复平面内位于第四象限 则，解得. 故选：C. 4．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【详解】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数，则（    ） A．z的虚部为 B．z是纯虚数 C．z的模是 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】CD 【分析】根据复数的有关概念判断AB，根据复数的几何意义判断CD. 【详解】对于A．由虚部定义知z的虚部为．故A错误； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：CD． 6．（23-24高一下·甘肃·期末）已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 【答案】BC 【分析】由复数的概念，可判断A；可得的几何意义判断BC；可求得判断D. 【详解】由，易知的虚部是3，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； ，是实数不是纯虚数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 【答案】1 【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案. 【详解】由题意可得解得．因为，所以． 故答案为: 1 8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】 1 【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案. 【详解】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于实数x、y的方程： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【分析】利用复数相等建立方程组即可得解 【详解】（1）原方程整理为，即， 所以， 解得或. （2）原方程整理为，即， 所以， 解得. 10．（22-23高一下·吉林长春·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m的值； （2）由题意得到方程，求出m的值； （3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m的取值范围. 【详解】（1）若z是纯虚数，则， ∴，则m的值为1； （2）若z在复平面内对应的点在直线上， 则，解得 （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，则， ∴，则m的取值范围为． 11．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果. （2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围. 【详解】（1）由z为纯虚数，得，解得，则， 所以. （2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 12．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的概念得出，解方程即可求解. （2）将在复平面内对应的点代入直线方程即可求解. 【详解】（1）复数，实部为，虚部为， 若为纯虚数，则，解得. （2）因为在复平面内对应的点为， 由题意可得：，解得. 13．（22-23高一下·河南濮阳·期中）已知是虚数单位，复数，． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值； 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果. 【详解】（1）为实数，，解得：或. （2）为纯虚数，，解得：. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·河南·阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素 【答案】C 【分析】根据的几何意义可知Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，由此可判断A;由得几何意义是表示以为圆心，1为半径的圆，可判断B; 由的几何意义是表示以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环,求出圆环的面积，可判断C；由的几何意义是表示以点，为端点的线段的垂直平分线，可判断D. 【详解】若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误； 若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误； 若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为 ，故C正确; 若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误, 故选:C． 2．（21-22高一下·湖南·期中）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的理解及复数模的不等式的解法求解. 【详解】由，得，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 4．（21-22高一下·福建三明·阶段练习）已知设，则，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先求得复数实部与虚部的关系，再去求的最小值即可解决. 【详解】由，可得，可令， 则 （为锐角，且） 由，可得 则的最小值为3. 故选：A 二、多选题 5．（21-22高一下·广西南宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 【答案】ACD 【分析】求出复平面内表示复数的对应的点可判断A；举反例可判断B；根据复数分类可判断C；根据复数加法的几何意义可判断D． 【详解】A选项：复平面内表示复数的点位于第二象限，故A正确； B选项：若，则，但，故B错误； C选项：若复数，则且时z为纯虚数，故C正确； D选项：根据复数加法的几何意义可知，设， 则， 所以， 所以复数z对应的点的集合为圆心为、半径为1的圆， 所以，故D正确． 故选：ACD. 6．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）已知，复数，则下列说法正确的是（    ） A．若复数z为纯虚数，则 B．若复数z为实数，则 C．若复数z的模为，则 D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则 【答案】ABD 【分析】先化简复数，再根据复数类型判断A，B选项，再根据模长判断C选项，根据复数所在象限得出参数范围判断D选项即可. 【详解】， A中，若复数z为纯虚数，则，且，得．故A正确； B中，若复数z为实数，则，得．故B正确； C中，若复数z的模为，则，得．故C不正确； D中，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，且，得．故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 7．（22-23高一下·广东广州·期中）已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将问题化为坐标系中点到定点的距离恒为1，求定点与动点的最小距离. 【详解】令，则， 所以，等价于坐标系中点到定点的距离恒为1， 即动点在以为圆心，半径为1的圆上，如下图：    又表示动点到定点的距离，而与的距离为， 所以， 在之间且共线，左侧等号成立；在之间且共线，右侧等号成立； 所以的最小值是. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高一下·广西北海·期末）已知，复数是虚数单位. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解. 【详解】（1）因为是纯虚数， 所以 解得； （2）在复平面内对应的点为， 由题意可得 解得，即的取值范围是. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）设z为复数，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？请画出图形. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）设，根据实部等于1，确定表示的图形； （2）设，根据虚部等于，确定表示的图形； （3）设，根据模长公式以及圆的方程，确定表示的图形； （4）设，根据模长公式以及圆的方程，确定表示的图形； 【详解】（1）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示直线上的点， 其图像如下图所示：    （2）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示直线上的点， 其图像如下图所示：    （3）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示以原点为圆心，半径为5的圆上的点， 其图形如下图所示：    （4）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合表示以原点为圆心， 分别以1和4为半径的两个圆所夹的圆环， 但不包含以圆环原点为圆心，以1为半径的圆的边界. 其图形如下图所示：    11．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数对应象限列不等式组计算即可； （2）根据复数对应的点在直线上求参. 【详解】（1）当点Z在第四象限时，解得 即.所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在第四象限. （2）当点Z在直线上时， ， 解得. 所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在直线上. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）在复平面内画出符合条件且的复数之对应的点Z的图形. 【答案】答案见解析 【分析】设，根据模长公式结合圆的性质、的范围，确定点Z的图形. 【详解】设，则， 由题意可知，，即①， 其表示以原点O为圆心，以2和4为半径的两圆所夹的圆环，不包括边界. 因为，所以或② 由①②可知，阴影部分即为所求，如图所示： 13．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 复数的概念 目录 题型归纳 1 题型01 复数的基本概念 3 题型02 求复数的实部与虚部 5 题型03 已知复数的类型求参数 7 题型04 复数的坐标表示 8 题型05 判断复数对应的点所在的象限 10 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 11 题型07 求复数的模 13 题型08 由复数模求参数 15 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 16 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 25 知识点01复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 4、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 6、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点02复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 题型01复数的基本概念 【例1】（20-21高一下·全国·课后作业）设集合，，，则，，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【变式2】（21-22高一下·河南·阶段练习）已知复数． (1)若z为实数，求m的值； (2)若z为纯虚数，求m的值． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）观察下面方程在已知条件下是否有解？如果没有解，我们怎么变换条件使其有解呢？ (1)在自然数集中求方程的解； (2)在整数集中求方程的解； (3)在有理数集中求方程的解； (4)在实数集中求方程的解. 题型02 求复数的实部与虚部 【例2】（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）以复数的实部为虚部、虚部为实部的新复数为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数：，，，，0，，，i，其中 为实数， 为纯虚数. 题型03 已知复数的类型求参数 【例3】若，则“”是复数“为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数，则实数 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）若复数，则实数的值为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 题型04 复数的坐标表示 【例4】（23-24高一下·安徽淮南·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数（）复平面内的点平面向量. 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，与轴正半轴所成角为，则复数在复平面内对应点的坐标可表示为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 题型05 判断复数对应的点所在的象限 【例5】（23-24高一下·安徽亳州·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）当时，复数在复平面内的对应点位于第 象限． 【变式3】（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数，则z在复平面内对应的点所在的象限为 象限. 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 【例6】（23-24高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·河南周口·期末）若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝ ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 题型07 求复数的模 【例7】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式1】（23-24高一下·安徽黄山·期末）如果复数满足，那么复数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，其中，i是虚数单位，则复数的模等于 . 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 题型08 由复数模求参数 【例8】（23-24高一下·湖南长沙·期末）若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（    ） A． B．6 C． D．36 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一下·北京东城·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 【例9】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，满足，则复数在复平面上所对应的点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．直线 D．以上都不正确 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，求的最小值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一·全国·课后作业）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 3．（20-21高一下·福建宁德·阶段练习）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 二、多选题 5．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数，则（    ） A．z的虚部为 B．z是纯虚数 C．z的模是 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 6．（23-24高一下·甘肃·期末）已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 三、填空题 7．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于实数x、y的方程： (1)； (2). 10．（22-23高一下·吉林长春·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 11．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 12．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值. 13．（22-23高一下·河南濮阳·期中）已知是虚数单位，复数，． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值； 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·河南·阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素 2．（21-22高一下·湖南·期中）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 4．（21-22高一下·福建三明·阶段练习）已知设，则，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 5．（21-22高一下·广西南宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 6．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）已知，复数，则下列说法正确的是（    ） A．若复数z为纯虚数，则 B．若复数z为实数，则 C．若复数z的模为，则 D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则 三、填空题 7．（22-23高一下·广东广州·期中）已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 . 8．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 四、解答题 9．（22-23高一下·广西北海·期末）已知，复数是虚数单位. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）设z为复数，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？请画出图形. (1)； (2)； (3)； (4). 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）在复平面内画出符合条件且的复数之对应的点Z的图形. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$