15.3 实际问题与二元一次方程组（分层练习，七大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

15.3《实际问题与二元一次方程组》 分层练习 考查题型一 行程问题 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 2．（2024·云南·一模）某城市出租车起步价行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了5千米，付了9元”；乙说：“我乘这种出租车走了7千米，付了12元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求： (1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？ (2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？ 4．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 考查题型二 工程问题 1．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ； (2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值． 2．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成． 工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求A、两工程队分别整治河道多少天？ (2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 3．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 4．（2022·广西贺州·模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成 (1)乙车间单独完成这批防护服需几天？ (2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？ 考查题型三 数字问题 1．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 2．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 3．（22-23七年级下·四川凉山·阶段练习）有一个两位数比它个位数上的数字与十位上的数字的和的5倍大2；若将它个位数字与十位上的数字互换位置，则原来的数比新数小9，求这个两位数． 4．（22-23七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 考查题型四 配套问题 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 2．（22-23七年级下·广东江门·期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？ 3．（2023九年级·全国·专题练习）某工厂车间采用智能数字机床生产纸杯和杯盖，已知一台机床每小时平均可以生产纸杯600个或者生产杯盖800个，车间共有14台机床，应怎样分配机床，才能使每小时生产的杯身和杯盖正好配套？ 4．（21-22七年级下·辽宁大连·阶段练习）某机械加工厂准备安排第一车间的14名工人制作若干个螺钉和螺母，每名工人每天可以制作80个螺钉或制作120个螺母，怎样安排工人，才能每天制作的螺母个数是螺钉个数的两倍？ 考查题型五 几何问题 1．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？    2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积． 3．（21-22七年级下·山西忻州·阶段练习）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为和，求每块小长方形的面积．    4．（21-22七年级下·山东淄博·期中）列二元一次方程组解应用题：一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？ 考查题型六 方案问题 1．（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表：                      批次货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． (1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载）．已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共花费1860元． (1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ (2)若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？ 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元：4辆型沃车、3辆型汽车的进价共计130万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利6000元，销售1辆B型汽车可获利4000元；求该公司共有几种购买方案？ 4．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 考查题型七 销售利润问题 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 2．（2024·辽宁鞍山·一模）某商场用相同的价格分两次购进匹和匹两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表． 匹（台） 匹（台） 总进价（元） 第一次 第二次 (1)求该商场购进匹和匹立地式空调的单价各为多少元？ (2)已知商场匹立地式空调的标价为每台元，匹立地式空调的标价为每台元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的匹立地式空调打九折，匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？ 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）一水果批发商用元钱从水果批发市场批发了橙子千克和香蕉千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 橙子 香蕉 批发价（元/千克） a b 零售价（元/千克） 8 3 其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元． (1)求a、b的值； (2)当批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？ (3)如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克？ 4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）某加工厂生产大、小两种型号的书包．5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元． (1)该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？ (2)为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？ 1．（21-22七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系 xOy 中的点，若点 Q 的坐标为（其中 k 为常数，且 k≠0），则称 Q 是点 P 的“k 系联动点”.例如：点的“3 系联动点”的坐标为. (1)点的“2系联动点”的坐标为 ；若点P的“系联动点”的坐标是，则点P的坐标为 ； (2)设点的“k系联动点”与“系联动点”分别为点M，N，若线段轴，则点P的位置分布在 ，请证明这个结论； (3)在（2）的条件下，若MN的长度为OP的长度的3倍，求k的值. 2．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”． ①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，以为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知A（3，2）则______，______； (2)若点在第一象限，且．求点B的坐标． (3)若点（，），且，已知点，，点C向左平移2x个单位得到点E，且，求点C的坐标． 4．（20-21七年级上·重庆渝中·阶段练习）一个三位自然数m，.将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数 (可以与m相同)．记，在所有的可能情况中，当最小时，我们称此时的是m的“美好排列”，并规定．例如：123按上述方法可得新数有：213、132、321；因为，，，．所以132是123的“美好排列”， （1）计算 （2）设三位自然数 (，，x、y为自然数)，且，交换其个位与十位上的数字得到新数，且，求所有满足条件的自然数n中的最大值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3《实际问题与二元一次方程组》 分层练习 考查题型一 行程问题 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米 (2)相距千米 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组． （1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：水流速度为5千米时，两地相距120千米． （2）解：设相距m千米，根据题意得： 答：相距千米． 2．（2024·云南·一模）某城市出租车起步价行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了5千米，付了9元”；乙说：“我乘这种出租车走了7千米，付了12元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ 【答案】这种出租车的起步价是6元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元． 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题中的等量关系即可列出二元一次方程组， 【详解】解：设这种出租车的起步价是元，超过3千米后，每千米的车费是元， 由题意得：， 解得：， 答：这种出租车的起步价是6元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求： (1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？ (2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？ 【答案】(1)2倍 (2)20圈 【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得 ∴． 答：哥哥的速度是小勇速度的2倍． （2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得 ，解得． 答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈． 4．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为 【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得， 解得： 答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 考查题型二 工程问题 1．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ； (2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值． 【答案】(1)A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数 (2)；60，120 【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可； （2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，得到，根据共用时20天得到：，即可得出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意和所列方程组可知：x表示A工程队整治河道的天数，表示：B工程队整治河道的天数， 故答案为：A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数； （2）设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，由题意，得： ，解得：． 即m，n的值分别为60，120． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． 2．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成． 工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求A、两工程队分别整治河道多少天？ (2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键． 3．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元 (2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． 【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算． 4．（2022·广西贺州·模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成 (1)乙车间单独完成这批防护服需几天？ (2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？ 【答案】(1)24 (2)125 【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天； （2）根据甲乙车间工作效率关系可求． 【详解】（1）解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套， 则（15-5）x+（15-2-5）y=15x， 整理得10x+8y=15x， ∴y=， ∴15x=， 答：乙车间单独完成这批防护服需24天． （2）解：（套） 答：乙车间平均每天生产防护服125套． 【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键． 考查题型三 数字问题 1．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键． 根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案． 【详解】解：根据题意设： 个位数字为，十位数字为， ， 解得：， 原来的两位数为：， 答：原来的两位数是． 2．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 3．（22-23七年级下·四川凉山·阶段练习）有一个两位数比它个位数上的数字与十位上的数字的和的5倍大2；若将它个位数字与十位上的数字互换位置，则原来的数比新数小9，求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得：， ∴这个两位数是67． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确表示出两位数是解题的关键． 4．（22-23七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 【答案】原两位数是35． 【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字． 考查题型四 配套问题 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 【答案】应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套 【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套， 由题意得： ， 解得：， 答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（22-23七年级下·广东江门·期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？ 【答案】用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套 【分析】设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题中等量关系列出x、y的方程组，然后解方程组可求解． 【详解】解：设用x张制盒身，用y张制盒底， 根据题意，得， 解得， 答：用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组是解答的关键． 3．（2023九年级·全国·专题练习）某工厂车间采用智能数字机床生产纸杯和杯盖，已知一台机床每小时平均可以生产纸杯600个或者生产杯盖800个，车间共有14台机床，应怎样分配机床，才能使每小时生产的杯身和杯盖正好配套？ 【答案】分配8台机床生产杯身，6台机床生产杯盖． 【分析】设车间有x台机床生产杯身，y台机床生产杯盖，根据“车间共有14台机床，每小时生产的杯身和杯盖正好配套”列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设车间有x台机床生产杯身，y台机床生产杯盖， 根据题意，得， 解得， 答：分配8台机床生产杯身，6台机床生产杯盖． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键． 4．（21-22七年级下·辽宁大连·阶段练习）某机械加工厂准备安排第一车间的14名工人制作若干个螺钉和螺母，每名工人每天可以制作80个螺钉或制作120个螺母，怎样安排工人，才能每天制作的螺母个数是螺钉个数的两倍？ 【答案】安排6人制作螺钉，8人制作螺母 【分析】设安排x人制作螺钉，y人制作螺母，根据“加工螺钉人数+加工螺母人数=14，螺母个数=2×螺钉个数”列出方程组求解即可． 【详解】解：设安排x人制作螺钉，y人制作螺母， 则有 解得： 答：安排6人制作螺钉，8人制作螺母． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意找到等量关系正确列出方程组． 考查题型五 几何问题 1．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？    【答案】预计花费75600元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据长方形的性质列出方程组是解本题的关键． 设小长方形的长为米，宽为米，则根据长方形的性质可列方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 依题意得 解得 所以（元）． 答：预计花费75600元． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积． 【答案】每个小长方形花圃的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据长方形空地长、宽与小长方形长、宽之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其相乘即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 解得：， ． 答：每个小长方形花圃的面积为． 3．（21-22七年级下·山西忻州·阶段练习）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为和，求每块小长方形的面积．    【答案】每块小长方形的面积是平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据图形列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，得：，           解得：，           ∴（平方厘米）．           答：每块小长方形的面积是平方厘米． 4．（21-22七年级下·山东淄博·期中）列二元一次方程组解应用题：一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？ 【答案】长、宽分别是、 【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组解答即可． 【详解】解：设长方形的长、宽各是，， 由题意列方程组，得 解这个方程组，得 答：长方形的长、宽分别是、． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程组求解是解题的关键． 考查题型六 方案问题 1．（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表：                      批次货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． (1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载）．已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 【答案】(1)每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资 (2)共有3种运输方案，安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找出等量关系． （1）设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车，列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出各运输方案，然后求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资， 依题意得：， 解得：． 答：每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资． （2）设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车， 依题意得：， ∴． 又∵m，n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排5辆甲型货车，7辆乙型货车； 方案2：安排10辆甲型货车，4辆乙型货车； 方案3：安排15辆甲型货车，1辆乙型货车． （3）选择方案1所需费用（元）； 选择方案2所需费用（元）； 选择方案3所需费用（元）． ∵， ∴安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共花费1860元． (1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ (2)若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？ 【答案】(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元 (2)学校选用方案二更节约钱，节约122元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答． 根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元． 根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题． 【详解】（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元， ， 解得：， 答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元． （2）方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， （元），， 答：学校选用方案二更节约钱，节约122元． 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元：4辆型沃车、3辆型汽车的进价共计130万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利6000元，销售1辆B型汽车可获利4000元；求该公司共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元 (2)该公司共有二种购买方案 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用： （1）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元，即可解得答案； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，可得，，而m，n为正整数，故或，公司共有二种购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，由题意可得： ， 解得， ∴A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得，且， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司共有二种购买方案:购买A型号的汽车2辆，B种型号的汽车10辆，购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车5辆， 答：该公司共有二种购买方案． 4．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生 (2)①一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆；②最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可； （2）①根据（1）所求可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案；②求出两种方案的花费即可得到答案． 【详解】（1） 解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生， 由题意得， 解得， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生； （2） 解：①由题意得，， ∴， ∵x，y都是整数， ∴一定是整数， ∴一定是4的倍数， ∴或， ∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆； ②解：方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ∵， ∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元． 考查题型七 销售利润问题 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)该商场可获利1200元 (3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论； （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 答：m的值为80，n的值为60． （2）依题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1200元． （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个， 依题意得：， 又∵a，b均为正整数，b为3的倍数， ∴或． 答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个． 2．（2024·辽宁鞍山·一模）某商场用相同的价格分两次购进匹和匹两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表． 匹（台） 匹（台） 总进价（元） 第一次 第二次 (1)求该商场购进匹和匹立地式空调的单价各为多少元？ (2)已知商场匹立地式空调的标价为每台元，匹立地式空调的标价为每台元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的匹立地式空调打九折，匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？ 【答案】(1)匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元； (2)两种立地式空调售出后商场获利元． 【分析】（）设A型电脑单价为元，型电脑的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可； （）分别计算出型电脑的获利和型电脑的获利，再相加即可； 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解． 【详解】（1）设该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元； （2）根据题意得：（元）， 答：两种立地式空调售出后商场获利元． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）一水果批发商用元钱从水果批发市场批发了橙子千克和香蕉千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 橙子 香蕉 批发价（元/千克） a b 零售价（元/千克） 8 3 其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元． (1)求a、b的值； (2)当批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？ (3)如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克？ 【答案】(1) (2)元 (3)打折后卖出橙子千克，香蕉千克 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）由表格数据可得，据此即可求解； （2）计算即可求解； （3）设打折后卖出橙子m千克，则打折后卖出香蕉（）千克，依题意列方程 ，即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：，     解得：， （2）解：（元）， 答：批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚240元， （3）解：（千克），设打折后卖出橙子m千克， 则打折后卖出香蕉千克，依题意，得 ，     解得：，     则， 答：打折后卖出橙子千克，香蕉千克． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）某加工厂生产大、小两种型号的书包．5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元． (1)该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？ (2)为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？ 【答案】(1)该工生产的大书包和小书包的每个成本各是40元，20元 (2)额外增加的生产线，每天生产大小书包各200个，450个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）设该工厂生产的大书包和小书包的每个成本各是x元，y元，根据个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元列出方程组求解即可； （2）设原来每天生产大书包m个，小书包n个，根据生产1000个书本一共获利26000元列出方程求出；设额外增加的生产线，每天生产大小书包各s个，t个，再根据大小书包的利润相同列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂生产的大书包和小书包的每个成本各是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该工生产的大书包和小书包的每个成本各是40元，20元； （2）解：设原来每天生产大书包m个，小书包n个， 由题意得，， 解得， ∴原来每天生产大书包400个，小书包600个； 设额外增加的生产线，每天生产大小书包各s个，t个， 由题意得， ， 答：额外增加的生产线，每天生产大小书包各200个，450个． 1．（21-22七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系 xOy 中的点，若点 Q 的坐标为（其中 k 为常数，且 k≠0），则称 Q 是点 P 的“k 系联动点”.例如：点的“3 系联动点”的坐标为. (1)点的“2系联动点”的坐标为 ；若点P的“系联动点”的坐标是，则点P的坐标为 ； (2)设点的“k系联动点”与“系联动点”分别为点M，N，若线段轴，则点P的位置分布在 ，请证明这个结论； (3)在（2）的条件下，若MN的长度为OP的长度的3倍，求k的值. 【答案】(1)，； (2)点P分布在y轴上，证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据“k系联动点”的定义进行解答即可； （2）根据“k系联动点”的定义得出点的“k系联动点”和“系联动点”的坐标，然后根据线段求出，即点P在y轴上； （3）由（2）可知点P在y轴上，设，表示出MN的长度和OP的长度，根据MN的长度为OP长度的3倍建立方程即可求出k的值． 【详解】（1）解：点的“2系联动点”的坐标为，即； 设，则点P的“系联动点”的坐标为， ∵点P的“系联动点”的坐标是， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． （2）解：点P分布在y轴上， 理由：∵点的“k系联动点”与“k系联动点”分别为点M，N， ∴，， ∵轴， ∴，解得：， ∵，∴， ∴点P在y轴上； （3）解：在（2）的条件下，可知点P在y轴上，设， 可知：，， ∵MN的长度为OP长度的3倍， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的应用，利用二元一次方程组和一元一次方程解决问题，理解“k系联动点”定义是解决此题的关键． 2．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴求的值为或； （3）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”． ①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，以为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知A（3，2）则______，______； (2)若点在第一象限，且．求点B的坐标． (3)若点（，），且，已知点，，点C向左平移2x个单位得到点E，且，求点C的坐标． 【答案】(1)3，5； (2)或； (3) 【分析】（1）根据新定义直接代入求解即可得到答案； （2）根据新定义分两类讨论列式求解即可得到答案； （3）根据新定义的得到C点坐标关系，结合平移得到点E的坐标，根据列式得到x，y的关系，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵A（3，2），， ∴， ∴，， 故答案为：3，5； （2）解：∵在第一象限， ∴，解得：， ∵， ∴，， ①    当时，即， ∵， ∴， ∴点B坐标为， ②    当时，即， ∵， ∴， 解得：； ∴点B坐标为， 综上所述点B坐标为：或； （3）解：∵点（，），且， ∴， ∵点C向左平移2x个单位得到点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， 联立解得：， ∴点C的坐标为：； 【点睛】本题考查新定义，解二元一次方程组，平面内点到直线的距离关系，解题的关键是读懂新定义，注意分类讨论． 4．（20-21七年级上·重庆渝中·阶段练习）一个三位自然数m，.将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数 (可以与m相同)．记，在所有的可能情况中，当最小时，我们称此时的是m的“美好排列”，并规定．例如：123按上述方法可得新数有：213、132、321；因为，，，．所以132是123的“美好排列”， （1）计算 （2）设三位自然数 (，，x、y为自然数)，且，交换其个位与十位上的数字得到新数，且，求所有满足条件的自然数n中的最大值 【答案】（1）-6，（2）-19； 【分析】(1)按照题意确定134的“美好排列”，再按规定求即可； (2)根据题意列出关于x、y的二元一次方程，确定自然数n，再求的最大值即可． 【详解】解：134按上述方法可得新数有：314、143、431；因为，，，， 所以143是134的“美好排列”， ； (2)根据题意得，， 化简得，，满足题意的解有，或， 自然数n为：138或146， 由（1）同理可得183是138的“美好排列”， 164是146的 “美好排列”， ； ； 的最大值为-19． 【点睛】本题考查新情景新定义问题的求解，包括二元一次方程和有理数计算．理解新定义是求解本题关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$