江苏省八年级寒假自学成果评价卷（范围：苏科版八下统计、概率、平行四边形）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

2025年江苏省八年级寒假自学成果评价卷 数 学 （试卷满分：120分 测试范围：苏科版八下统计、概率、平行四边形） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（   ） A．B．C． D． 2．下列事件为必然事件的是 （   ） A．打开电视，正在播放东台新闻 B．下雨后天空出现彩虹 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．早晨太阳从东方升起 3．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（   ） A．对全运会运动员使用兴奋剂的调查 B．对动车站客流量的调查 C．对旅客上飞机前的安检 D．对全班45位同学身高的调查 4．下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 5．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（   ） A．16 B．18 C．20 D．26 6．如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 8．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 9．如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    10．如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为 11．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 12．如图，在平行四边形中，，，，为上一点且，则 ． 13．房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点D、E、M、N分别是的中点，，则 14．如图，在矩形中，点E在上，且平分，若，，则 ． 15．如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的对角线交于点，顶点A在x轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点B、C都在第一象限，则x的取值范围为 ．    三、解答题（本大题共11小题，共72分.解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 18．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 19．如图，在中， ，是，上的两点且，连接，， 请写出线段和的关系，并证明． 20．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 21．下列问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？ (1)为了检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取10件，量得它们的长度如下（单位：）：，，，，，，，，，． (2)某县参加中考共有5000名学生，从中抽取500名考生的成绩进行分析． 22．在四边形中，    (1)若，如图1，点、分别是边、的中点，，，求的长； (2)若，如图2，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以为边的菱形．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 23．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 25．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 26．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是_______． ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，求S与的关系式． 27．19世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理：任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到．追述历史，我们发现他证明这个定理时就是运用化归的方法，从简单的问题作为起点、作为阶梯从而获得了成功．三角形和四边形是最简单的多边形，如图1，任意三角形沿着中位线剪一刀，可以拼成一个与原面积相等的平行四边形，仿照图示的方法，解答下列问题： (1)如图2，对任意三角形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原三角形面积相等的矩形，画出分割线与拼图； (2)如图3，对任意四边形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原四边形面积相等的平行四边形，画出分割线与拼图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省八年级寒假自学成果评价卷 数 学 （试卷满分：120分 测试范围：苏科版八下统计、概率、平行四边形） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列事件为必然事件的是 （   ） A．打开电视，正在播放东台新闻 B．下雨后天空出现彩虹 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．早晨太阳从东方升起 【答案】D 【详解】试题解析：∵打开电视，正在播放东台新闻是一个随机事件， ∴选项A不正确； ∵下雨后天空出现彩虹是一个随机事件， ∴选项B不正确； ∵抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是一个随机事件， ∴选项C不正确； ∵早晨太阳从东方升起是一个必然事件， ∴选项D正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了事件的确定性和不确定性，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 3．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（   ） A．对全运会运动员使用兴奋剂的调查 B．对动车站客流量的调查 C．对旅客上飞机前的安检 D．对全班45位同学身高的调查 【答案】B 【分析】根据全面调查和抽样调查适用情况，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、对全运会运动员使用兴奋剂的调查，适宜采用全面调查，不符合题意； B、对动车站客流量的调查，适宜采用抽样调查，符合题意； C、对旅客上飞机前的安检，适宜采用全面调查，不符合题意； D、对全班45位同学身高的调查，适宜采用全面调查，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了的全面调查和抽样调查，解题的关键是掌握全面调查适用于：事关重大、人命关天的；样本较小，方便调查的；对结果精确度要求高的；抽样调查适用于：数量巨大，不便于全面调查的；调查具有破坏性的． 4．下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理，掌握相关定理内容是解题关键． 【详解】解：对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A是假命题； 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B是真命题； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题； 故选：A ． 5．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（   ） A．16 B．18 C．20 D．26 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的面积逐渐增大，点在上运动时，的面积保持不变，结合图象得到，即可得出结果． 【详解】解：当点在上运动时， 的面积，随着的增大而增大， 当点在上运动时，的面积为定值，保持不变， 由图象可知：， ∴矩形的周长是； 故选B． 6．如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角板的较长的直角边长为， ， 即， 解得， 故选：A． 8．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； ②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大， ∴面积也先变小，后变大； 故②错误； ③∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴周长的最小值为； 故③正确； ④∵，G为中点， ∴， ∴点E在运动过程中，与始终相等， 故④正确； 综上，①③④正确． 故选：A． 【点睛】本题考主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 9．如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线平行第三边求解即可． 【详解】点、分别是、的中点， ， ， 故答案为：． 10．如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为 【答案】7 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质．连接，根据平行四边形的性质得到，根据，的面积是，得到的面积为，则，根据是的中点即可得到的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，的面积是， ∴的面积为， ∴， ∵是的中点， ∴， 即四边形的面积为， 故答案为：7． 11．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．如图，在平行四边形中，，，，为上一点且，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由平行四边形的性质得，，从而得，又证明是等边三角形，得，进而得，根据含的直角三角形的性质得，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键． 13．房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点D、E、M、N分别是的中点，，则 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质，熟练掌握相关性质是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质和直角三角形斜边上的中线性质得到，再利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴，即， ∵点E是的中点，， ∴， 又∵点N是的中点，点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 14．如图，在矩形中，点E在上，且平分，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出，进而求得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴． 故答案为：． 15．如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形，可得，由勾股定理得，，则，，由，可得，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的对角线交于点，顶点A在x轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点B、C都在第一象限，则x的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线性质、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作轴交于点，作轴于点，连接，分析可知当、重合时，点到轴的距离最小，此时的值为最小值；当、不重合时，取的中点，连接、，利用正方形的性质和全等三角形的判定可得，进而得到四边形是正方形，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，结合两点之间线段最短性质可得，则有，解不等式即可得出x的取值范围． 【详解】解：过点作轴交于点，作轴于点，连接， 当、重合时，点到轴的距离最小，此时；    当、不重合时，取的中点，连接、，   正方形， ，， 轴，轴， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， 的中点为，， ，， 由两点之间线段最短性质得，，即， ， 解得：； 综上所述，x的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共72分.解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 18．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 19．如图，在中， ，是，上的两点且，连接，， 请写出线段和的关系，并证明． 【答案】，，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，根据线段的和差求出，进而推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：，，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ，． 20．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 【答案】(1)可能性最大的是④，最小的是② (2)②③①⑤④ 【分析】本题主要考查可能性的大小； （1）分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案； （2）依据（1）中所得答案即可得． 【详解】（1）由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为； ②摸出的球是白色的可能性大小为； ③摸出的球是黄色的可能性大小为； ④摸出的球不是白色的可能性大小为； ⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为； 所以可能性最大的是④，最小的是②； （2）由（1）知， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是：②③①⑤④． 21．下列问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？ (1)为了检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取10件，量得它们的长度如下（单位：）：，，，，，，，，，． (2)某县参加中考共有5000名学生，从中抽取500名考生的成绩进行分析． 【答案】(1)总体是一批零件的长度，个体是每个零件的长度，样本是被抽取的10个零件的长度，样本容量是10 (2)总体是5000名学生的成绩，个体是每个学生的成绩，样本是被抽取的500名考生的成绩，样本容量是500 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量．解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． （1）根据总体、个体、样本和样本容量的定义解答即可． （2）根据总体、个体、样本和样本容量的定义解答即可． 【详解】（1）解：在这个问题中，总体是一批零件的长度， 个体是每个零件的长度， 样本是被抽取的10个零件的长度， 样本容量是10； （2）解：在这个问题中，总体是5000名学生的成绩， 个体是每个学生的成绩， 样本是被抽取的500名考生的成绩， 样本容量是500． 22．在四边形中，    (1)若，如图1，点、分别是边、的中点，，，求的长； (2)若，如图2，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以为边的菱形．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的定义、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：过E作于H，由中点的定义可得，；再说明，设，由勾股定理可得，解得：，即；进而得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）如图：连接相交于O，连接并延长交于G，连接并延长交于H，顺次连接点E、F、G、H即可解答． 【详解】（1）解：如图：过E作于H，    ∵点E、F分别是边、的中点， ∴，， 在中，． ∴， ∴， 设， ∴，解得：，即 ∴， ∴． （2）解：如图：菱形即为所求．    23．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）∵与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 故答案为：． 25．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，勾股定理，含角直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据定义即可求解． （2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解； （3）先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； 【详解】（1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等线四边形”． 故答案为：②③； （2）解：是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． ∴， 在中，设，则， ∴， ∴ 则 ∴ 26．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是_______． ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，求S与的关系式． 【答案】(1)①；②点D的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，，，由勾股定理可求出D点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，，，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：①∵正方形边长为2，点C的坐标为， ∴， ∵将沿直线折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点E是线段的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设点D的坐标为，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， ∵ ∴， 又， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． （2）解：如图，连接，， 设，则． 设，则， 在中，， ∴ 解得， ∴； 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．19世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理：任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到．追述历史，我们发现他证明这个定理时就是运用化归的方法，从简单的问题作为起点、作为阶梯从而获得了成功．三角形和四边形是最简单的多边形，如图1，任意三角形沿着中位线剪一刀，可以拼成一个与原面积相等的平行四边形，仿照图示的方法，解答下列问题： (1)如图2，对任意三角形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原三角形面积相等的矩形，画出分割线与拼图； (2)如图3，对任意四边形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原四边形面积相等的平行四边形，画出分割线与拼图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）对于任意，取、的中点、，过点作，由三角形中位线定理可得，则有；以和为分割线，再拼成四边形，则有，利用矩形的判定即可得出是矩形； （2）对于任意四边形，依次取、、、的中点、、、，利用三角形的中位线定理可得，，可得是平行四边形，进而得到和相互平分；以和为分割线，得到4个小四边形，再拼成四边形，则有，，利用平行四边形的判定即可得出是平行四边形． 【详解】（1）解：对于任意，取、的中点、，过点作， 以和为分割线，再拼成矩形，如图即为所求： （2）解：对于任意四边形，依次取、、、的中点、、、， 以和为分割线，得到4个小四边形，再拼成平行四边形，如图即为所求： 【点睛】本题主要考查了全等三角形拼平行四边形问题，三角形的中位线定理，矩形的判定，平行四边形的判定等知识点，理解题意，仿照图示的方法剪拼图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$