2025年中考数学一轮复习专题30 点和圆、直线和圆的位置关系讲义+练习

专题30 点和圆、直线和圆的位置关系 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•大兴区期末）已知的半径为4，点在外，的长可能是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024秋•荔湾区期末）已知△的边，且△内接于半径为2的，则的度数为　　 A． B． C．或 D．或 3．（2024秋•吉林期末）如图，为的直径，圆周角，为的切线，则度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•淮北期末）如图，△内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为　　 A．5 B． C． D． 5．（2024秋•河北区期末）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为　　 A．3 B． C．6 D． 6．（2024秋•中山区期末）如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•五华区期末）如图，是外一点，射线、分别切于点、点，切于点，分别交、于点、点，若，则的周长　　 A．4 B．6 C．8 D．10 8．（2024秋•长垣市期末）如图，是的直径，是的切线，交于点，连接，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•大理市期中）如图，、是的切线，、为切点，与相切于点，分别交、于点、．若△的周长为16，则切线长为　　 A．6 B．7 C．8 D．无法确定 10．（2024秋•阳信县期中）如图，切于点，交于点且为的直径，点是上异于点、的一点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，△内接于，直径交弦于点，延长交过点的切线于点，连接．若，，，则 　　， 　　． 12．（2024秋•玄武区期末）如图，△是的内接三角形，，直径与边交于点，是的中点．若，则的半径为 　　． 13．（2024秋•房山区期末）如图，，，是的切线，切点分别为，，．若，，则的长为 　　． 14．（2024秋•天台县期末）如图，是的直径，△内接于．若，则的度数为 　　． 15．（2024秋•鹤山市期末）如图，从外一点引圆的两条切线，，切点为，，点是劣弧上一点，过的切线交，于，．若的半径为2，，则△的周长为 　　． 16．（2024秋•哈密市期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则　　． 17．（2024秋•广州期末）如图，、切于点、，切于点，交、于点、，若△的周长是20，则的长是 　　 18．（2024秋•合川区校级月考）如图，是△的外接圆，，于点，的延长线交于点．交于点． （1）设，则用含的代数式表示出　　； （2）若，，则　　． 19．（2024秋•西城区校级期末）如图所示，是的直径，，，的切线与直线交于点，点是上一个动点．过作，垂足为，则的最大值为 　　． 20．（2024秋•高坪区校级期中）平面上一点与上的点的最短距离为2，最长距离为10，则的半径为 　　． 三、解答题（共7小题） 21．（2024秋•朝阳区期末）如图，在△中，，，为边的中点，经过点，与相切于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 22．（2024秋•商洛期末）如图，是的直径，交于点，点为上方上一点，连接、，与交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23．（2024秋•瓦房店市期末）如图，在△中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，过点做，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24．（2024秋•西岗区期末）如图，为的直径，平分交于，过点作与的延长线交于点． （1）求证：为切线； （2）若，，求的长． 25．（2024秋•碑林区期末）如图，是的直径，直线与相切于点，延长，交直线于点，作，垂足为，交于点，连接，． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 26．（2024秋•昆明期末）2024年5月21日12时15分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点．且．上有一点且，连接． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）求证：是的切线． 27．（2024秋•河北区期末）如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． （Ⅰ）如图①，若，求和的度数； （Ⅱ）如图②，若于点，，，求的长． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B A C B C B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：的半径为4，点在外， ， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：连接、， ，的半径长为2， ， ，， ， △是直角三角形，且， 如图1，顶点与圆心在直线的同侧，则； 如图2，顶点与圆心在直线的异侧，在上取一点，使点与圆心在直线的同侧，连接、， ，且， ， 综上所述，的度数为或， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：为的直径，圆周角，为的切线，如图，连接， ，，， ， ， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：如图，连接， 是的直径， ， 由圆周角定理得：， ， 点是的中点， ， ， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：连接，， ， ， 点关于点的对称点为点， ， 点在以为圆心，3为半径的圆上运动， 令， 则， 要求值最大， 越往上越大， 当直线于相切时，最大， 设直线于轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， △为等腰直角三角形， ， 即， 最大值为， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：， ， 、是的切线， ， ， ， ． 故选：． 7．【答案】 【解答】解：、分别切于点、，切于点， ，，， ， 即的周长为8， 故选：． 8．【答案】 【解答】解：是的直径，是的切线， ， ， ， ， 故选：． 9．【答案】 【解答】解：、是的切线，． ， 同理，，， 三角形的周长． ， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：连接，则， 切于点，且为的直径， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】9，． 【解答】解：连接，作于点，则， 是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， ， △△， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， 故答案为：9，． 12．【答案】． 【解答】解：连接，设的半径是，如图所示： 点是弧的中点，是的直径， ， ， ， △是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在△中，， ， ， 在△中，， 由勾股定理得：， ， ． 即的半径为． 故答案为：． 13．【答案】3． 【解答】解：，是的切线，， ， ， ， ，是的切线， ， 故答案为：3． 14．【答案】． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】． 【解答】解：连接， ，分别与相切于点，，， ，，， ， 的半径为2， ， ， ， 点是劣弧上一点，过的切线交，于，， ，， ， △的周长为， 故答案为：． 16．【答案】120． 【解答】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 17． 【解答】解：、切于点、，切于点， ，，， △的周长， ， 故答案为10． 18．【答案】（1）； （2）1． 【解答】解：（1）为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ， 设，则， 在△中，，即（4）， 解得， ， ， ， ， 故答案为：1． 19．【答案】． 【解答】解：在延长线取点，使得，如图1， ，即求的最大值， ， ， 随着的运动，时，当与相切于时，取得最大值， 如图2，延长交于点，过点作于点， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， 在△中，， ， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 在△中，， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 20． 【解答】解：当点在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为 6或4． 故答案为：6或4． 三、解答题（共7小题） 21．【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：在△中，，， ， 为边的中点， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：连接， 与相切于点，与相切， ， 在△与△中， ， △△， ， ， △是等边三角形， ． 22．【答案】（1）证明见解答； （2）的长是5． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ，， ． （2）解：，，， ，且， ， 解得， 的长是5． 23．【答案】（1）详见解答； （2）． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， 与相切于点， ， 四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为，则， ， 在△中，，， ， 在△中，，， ． 24．【答案】（1）见解析；（2）2． 【解答】（1）证明：如图，连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ． ， 又为的半径， 为的切线． （2）解：连接，交于， 平分， ， ， ，， 为的直径， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． 25．【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 直线与相切于点，点、点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：连接， ， ， ， 于点，是的直径，， ， ，， ， ， ， 的长是． 26．【答案】（1）△是等边三角形，理由见解答； （2）证明见解答． 【解答】（1）解：△是等边三角形， 理由：是的切线，为切点， ， ， 交于点．且， ， ， ， △是等边三角形． （2）证明：△是等边三角形， ， ， ， ，， △△， ， 是半径，且， 是的切线． 27．【答案】（Ⅰ）的度数是，的度数是； （Ⅱ）的长为18． 【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接，则， 是的切线，， ， 于点， ， ， ，， ， ， 的度数是，的度数是． （Ⅱ）如图②，连接， 是的直径，是的弦，于点，， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， 由（1）得， 平分， 于点，于点， ， 的长为18． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题30 点和圆、直线和圆的位置关系 模型1 点与圆的位置关系 5 模型2 三角形的外接圆与外心 6 模型3 反证法 11 模型4 直线与圆的位置关系 19 模型5 切线的性质与判定 22 模型6 三角形的内切圆与内心 29 模型归纳 1．点和圆的位置关系 （1）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r ；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔ d＜r ． （2）经过已知点A可以作无数个圆，经过两个已知点A，B可以作无数个圆；它们的圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个圆． （3）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 任意三角形的外接圆有一个，而一个圆的内接三角形有无数个． （4）用反证法证明命题的一般步骤： ①反设：假设命题结论不成立； ②归缪：从设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立． 2．直线和圆的位置关系 （1）直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 3．切线的性质 （1）切线与圆只有1个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 4．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 5．切线长及切线长定理 ①经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 切线长 ． ②从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 6．三角形的内切圆及内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 7．用反证法证明命题的一般步骤 （1）假设命题的结论不成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而确定原命题的结论正确． 方法归纳 1．理解点和圆的位置关系的“两点”技巧： （1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系． （2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断． 2．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3．切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 4．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 5．直角三角形内切圆半径的求解方法： 直角三角形直角边为a，b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r．a-r+b-r=c,得 ． 模型1 点与圆的位置关系 典例 （2024秋•婺城区期末）已知的半径为．若点在外，则的长可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：的半径为，点在外， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【变式练1】　（2024秋•西宁期末）在平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为5，则点与的位置关系是　　 A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】 【解答】解：点的坐标为， ． 的半径为5， 原点在上． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•秦淮区期末）若的半径为2，在同一平面内，点与圆心的距离为1，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】 【解答】解：的半径为2，在同一平面内，点与圆心的距离为1，， 点与的位置关系是：点在内， 故选：． 【变式练3】　（2023秋•金湾区期末）如图，半径为5，那么图中到圆心距离为7的点可能是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】 【解答】解：、因为点在圆上，所以点到圆心距离即为半径，为5，故该选项是错误的； 、因为点在圆内，所以点到圆心距离小于半径5，故该选项是错误的； 、因为点在圆内，所以点到圆心距离小于半径5，故该选项是错误的； 、因为点在圆外，所以点到圆心距离大于半径5，那么图中到圆心距离为7的点可能是点，故该选项是正确的； 故选：． 模型2 三角形的外接圆与外心 典例 （2024秋•单县期中）如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为　　 A．6 B． C． D． 【答案】 【解答】解：是的外接圆，， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． 2．锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 3．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【变式练1】　（2024秋•硚口区月考）如图，等边△内接于，，点在上，，于点，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：在上取一点，使，连接，，如图所示： △是等边三角形，， ，， 点在弧上，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ，， △是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ． 故选：． 【变式练2】　（2024•安徽）如图，是△的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，． （1）求证：； （2）设，垂足为，若，求的长． 【解答】（1）证明：， ， 与都是所对的圆周角， ， ， ， 平分， 是直径， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ，， ，， 圆的半径， ， 在△中，，，， ． 【变式练3】　（2024秋•宿豫区期中）如图，是△的外接圆，是的直径，平分，．求的半径． 【答案】． 【解答】解：如图，连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ， 的半径为． 模型3 反证法 典例 （2024秋•江宁区校级月考）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点，，画． 假设点落在外，交于点，连接， 四边形内接于， 可得 　　， ， 　　，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ，，，共圆． （3）结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边△，则的最小值为 　　． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）． 【解答】（1）证明：如图①，连接、， ，，且， ， 同理， ； （2）证明：在图②中，经过点，，画．假设点落在外，交于点，连接， 四边形内接于， 可得， ， ，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ，，，共圆． 故答案为：，； （3）解：△是等边三角形， ， ， ， 、、、四点共圆， （同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， 作，点始终在射线上运动， 由垂线段最短可知，当，即点处时，最小， 在△中，， ， ， 故的最小值为， 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．定义：证明一个命题时，不从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法． 2．应用：主要用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题．常用于证明： （1）结论是否定型的命题； （2）结论是无限型的命题； （3）结论是“至多”或“至少”型的命题． 【变式练1】　（2024秋•栾城区期末）已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：的反面是． 故可以假设． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•荣成市期末）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，过、、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则 　　，而已知，所以，而是△的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过、、三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： （1）材料中划线部分的结论是 　　，依据是 　　； （2）请将图2的证明过程补全； （3）如图3，在四边形中，，，，则的大小为 　　； （4）如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线、相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】（1），圆的内接四边形对角互补； （2）见解析； （3）32； （4）． 【解答】（1）解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆的内接四边形对角互补， 故答案为：，圆的内接四边形对角互补． （2）证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，过、、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ， ， 是△的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， 点在过、、三点的圆上． （3）解：， 过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ， ， 又， ， ， 故答案为：32． （4）解：连接，，如图： 四边形是正方形， ，， ， 、、、四点共圆， ， 点在上， 当运动到点时，为的中点， ， 点经过的路径为． 【变式练3】　（2023秋•朝阳区期末）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图①，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下； 步骤一、作出过，，三点的． 如图1，分别作出线段，的垂直平分线，，设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．连接，，， ，（①）．（填推理依据） ． 点，在上． 步骤二、用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． 、如图2，假设点在内． 延长交于点，连接． （②）．（填推理依据） 是的外角， （③）．（填推理依据） ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在内． 、如图3，假设点在外． 设与交于点，连接． ． 是△的外角， ． ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． 点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： （1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）填推理依据：①　　，②　　，③　　． 【答案】（1）见解答； （2）①线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆内接四边形的对角互补；③三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【解答】解：（1）如图：即为所求； （2）步骤一、作出过，，三点的． 如图1，分别作出线段，的垂直平分线，，设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．连接，，， ，（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）． ． 点，在上． 步骤二、用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． 、如图2，假设点在内． 延长交于点，连接． （圆内接四边形的对角互补）． 是的外角， （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在内． 、如图3，假设点在外． 设与交于点，连接． ． 是△的外角， ． ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． 点，，，在同一个圆上． 故答案为：①线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆内接四边形的对角互补；③三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 模型4 直线与圆的位置关系 典例 （2024秋•新抚区期末）已知的半径为，圆心到直线的距离，则直线与的公共点的个数为　　 A．0 B．1 C．0或1 D．0或2 【答案】 【解答】解：的半径为，圆心到直线的距离， 即， 直线与相切， 直线与的公共点有1个． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r； ②直线l和⊙O相切⇔d＝r； ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【变式练1】　（2024秋•江都区期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】 【解答】解：的半径， 圆心到直线的距离为3，， 直线与相离． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•广州期中）已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以是　　． 【答案】3（答案不唯一）． 【解答】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径， 即， 的半径可以是3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式练3】　（2024秋•伊通县期末）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是 　　．（填“相交”“相切”或“相离” 【答案】相切． 【解答】解：作于点， ，， ， 的半径是， 等于圆的半径， ， 与相切， 故答案为：相切． 模型5 切线的性质与判定 典例 （2024秋•建邺区期末）如图，为的直径，点，在上，且点为的中点，过点作于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：如图，连接． 点为的中点， ， ， ， ． ， ． ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接交于， ， ，， ， ． ， 设的半径为， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 为的直径， ， ， 四边形是矩形， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： （1）直线过圆心； （2）直线过切点； （3）直线与圆的切线垂直． 2．在应用切线的判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． 【变式练1】　（2024秋•昭通月考）如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）9． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ，， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ， 是切线， ， ， 点在上，为半径，且， 是的切线； （2）解：是的切线， ， 设半径为，在△中，，由勾股定理得： ， ，， ， 解得：，则， △△， ， 设，在△中，，由勾股定理得： ， ， 解得：， 的长为9． 【变式练2】　（2024秋•溧阳市期中）如图，在△中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【解答】（1）证明：如图，作，垂足为点，连接， ，是的中点， ， ， 又， ， 即是的平分线， 点在上，与相切于点， ，且是的半径， ，是的半径， 是的切线； （2）解：如图，在△中，，，， ， ，是的切线， ， ， 设的半径为，则， 在△中，由勾股定理得：， ， ． 的半径长为3， ， ． 【变式练3】　（2024秋•海淀区校级期中）如图，在△中，，为的直径，与相交于点，过点作于点，延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 模型6 三角形的内切圆与内心 典例 （2024秋•郯城县期中）如图，△中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】 【解答】解：连接，， △的内切圆分别于、、相切于点、、， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 2．三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角． 【变式练1】　（2024•雁塔区校级一模）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为　　 A．19 B．17 C．22 D．20 【答案】 【解答】解：如图，设的内切圆切三边于点，，，连接，，， 四边形是正方形， 由切线长定理可知：， 是的切线， ，， ，，， ， 是的内切圆， 内切圆的半径， ， ， 的周长． 故选：． 【变式练2】　（2024•邻水县模拟）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求长． 【解答】（1）证明：如图所示，连接， 点是的内心， ， ， ， 又，， ， ， ， 又为半径， 直线是的切线； （2）， ， 又（公共角）， ， ，即， ， ． 【变式练3】　（2024•拱墅区校级开学）如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．求证： （1）是的外接圆的切线； （2）． 【解答】解：（1）， ， ． 同理，． 故点是的外心． 连接，， 是的中点，且， ，即． 是外接圆的切线． （2）由（1）可得： 的中点是的内心， ， 又， ， ， 同理可得： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$