2025年中考数学一轮复习专题31 正多边形和圆、弧长和扇形面积讲义+练习

专题31 正多边形和圆、弧长和扇形面积 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•天津期末）如图，的内接正六边形的边长为6，则的长为　　 A． B． C．12 D． 2．（2024•惠东县二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为　　 A．1 B．3 C． D． 3．（2024秋•肇东市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将△绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•开平市期末）如图，正六边形内接于，的半径为4，则这个正六边形的边心距为　　 A．2 B． C． D． 5．（2024秋•崂山区期末）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•白云区期末）如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•房山区期末）已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是　　 A．4 B．8 C． D． 8．（2024秋•温岭市期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为　　 A．9 B． C． D． 9．（2024•东海县模拟）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为　　 A． B． C． D． 10．（2024•仁寿县模拟）如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•和平区校级期末）一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于 　　． 12．（2024秋•玄武区期末）如图，在正五边形中，连接，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，则的度数是 　　． 13．（2024秋•南京期末）如图，是正五边形的外接圆，是上一点，则 　　． 14．（2024秋•门头沟区期末）若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 　　边形． 15．（2024秋•阳信县期中）如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为 　　． 16．（2024秋•西湖区校级期末）已知圆锥的母线长5，侧面展开图形扇形的圆心角是，则圆锥的高是 　　． 17．（2024秋•西青区期末）如图，为的直径，射线交于点，点是上一点，与射线位于直径同侧，连接，若，，，则阴影部分的面积为 　　（结果保留． 18．（2024秋•河西区期末）一个扇形纸片的圆心角为，半径为，则这个扇形纸片的面积为 　　． 19．（2024秋•长沙期末）若圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的母线为 　　． 20．（2024秋•礼县期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的长是 　　． 三、解答题（共7小题） 21．（2023春•农安县期末）李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数． 22．（2023秋•宿豫区校级月考）（回味03第22题）在正五边形中，，，、分别是和的中点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）求． 23．（2023秋•睢阳区校级月考）某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． （1）求地基的周长是多少？ （2）求地基的面积是多少？ 24．（2024秋•萧山区月考）如图，是的直径，是半圆的中点，、是圆上两点，，垂足是，连结、、． （1）求证：； （2）若，长为10，求的长． 25．（2024•江岸区开学）如图，正方形的边长为10厘米，以为直径在右侧作半圆，点为半圆弧上的中点，点为的中点，求阴影部分的面积和．取 26．（2024秋•庄浪县月考）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 27．（2024秋•福田区校级期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．（1）如图1，△中，，，，分别以、为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A A D C A A 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：如图，连接、， 六边形是的内接正六边形， ，， ， ， ， △是等边三角形， ， 在△中，，， ， ， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：正六边形的边长为2，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， 点的坐标为， 第1次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第2次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第3次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第4次旋转结束时，点的坐标为， 每4次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：正六边形内接于，的半径为4，如图，连接， ， ， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：如图，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接；设与交于点，与交于点． 为菱形，， ， 为对角线， ， ， ， 同理，可得， ， ， ， 是的平分线， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：如图，连接， 由条件可知，即垂直平分， ， 又，， △△，则， ， ， ，则 则阴影部分的面积为， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为， 利用勾股定理，得圆锥的高． 故选：． 9．【解答】解：由弧长公式可知： 底面圆的周长为， 设底面圆的半径为， ， 圆锥的底面积为， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 的长， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】12． 【解答】解：如图，连接，， 六边形是的内接正六边形， ， 又， △是正三角形， ， 这个正六边形的周长等于， 故答案为：12． 12．【答案】54． 【解答】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 13．【答案】36． 【解答】解：如图，连接，． 是正五边形， ， ， 故答案为：36． 14． 【解答】解：一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径， 相邻的两条的半径和一条边长构成一个等边三角形， 中心角为， 正多边形的边数为， 故答案为：六． 15．【答案】． 【解答】解：已知的内接正六边形的边心距，如图，连接、，过作于， ，， △是等边三角形， ， ， ． ， ，， ， 该圆的内接正三角形的面积， 故答案为：． 16．【答案】4． 【解答】解：扇形的弧长为：， 则圆锥的底面半径为：， 由勾股定理得，圆锥的高为． 故答案为：4． 17．【答案】． 【解答】解：如图，连接，，，， 是的直径， ， 在△中，，，即， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 18．【答案】． 【解答】解：， 这个扇形纸片的面积为． 故答案为：． 19．【答案】5． 【解答】解：， 圆锥的母线为． 故答案为：5． 20．【答案】． 【解答】解：连接，则， 将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 弧的长， 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 21．【解答】解：设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角度数是， 则， 解得：， 这个正多边形的一个内角度数是， ， 所以这个正多边形的边数是． 22．【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：、分别是和的中点， ，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：， ， ． 23．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）连接，， 它的地基是半径为的正六边形， ，， △是等边三角形， ， 正六边形的周长为（米． （2）如图，过点作于点， △是等边三角形， ， ， ， 正六边形的面积为． 24．【答案】（1）证明见解析； （2）15． 【解答】（1）证明：连接，， 是半圆的中点， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ； （2）解：设圆的半径是， ， 所对的圆心角的度数是， ， ， 是半圆的中点， 所对的圆心角的度数是， 的长， 由（1）知． 25．【答案】51.75平方厘米． 【解答】解：如图，连接， 正方形和半圆的面积之和：（平方厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）， 答：阴影部分的面积是51.75平方厘米． 26．【答案】． 【解答】解：设扇形的半径为 ， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形的弧长为， 则， 解得：， 答：扇形的半径为． 27．【答案】（1）； （2）120． 【解答】解：（1）图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积， 答：阴影部分的面积为； （2）设，， 由题意，得：， ，， ， ， 解得：， ， 答：飞镖状图案的面积为120． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题31 正多边形和圆、弧长和扇形面积 模型1 圆内接正方形 4 模型2 圆内接正多边形 7 模型3 正多边形的有关概念和计算 11 模型4 弧长与扇形面积的计算 13 模型5 计算不规则图形的面积 14 模型6 圆锥、圆柱的计算 19 模型归纳 1．正多边形及有关概念 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 2．正多边形的有关计算 一般地，正n边形的一个内角的度数为，中心角的度数等于；正多边形的中心角与外角的大小相等． 3．弧长公式 半径为R，圆心角为n°的弧长为． 4．扇形及扇形面积公式 （1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形． （2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为． 5．圆锥与其侧面展开图 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 6．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形．设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为． 方法归纳 1．证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法： （1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可． （2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等． 2．正多边形的相关计算技巧： （1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形．有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形； （2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍． 3．易错提示： （1）菱形的各边相等，但它不一定是正方形； （2）圆内接菱形的四个顶点将圆周4等分，所以它是正方形； （3）圆内接矩形的各角都相等，但它不一定是正方形； （4）当正多边形的边数为奇数时，该正多边形不是中心对称图形． 4．求阴影面积常用的方法： （1）直接用公式法； （2）和差法； （3）割补法． 5．与圆锥的侧面积计算相关的问题，关键就是要把握圆锥的“母线”和“底面圆的周长”以及展开扇形的“半径”和“弧长”之间的对应关系． 模型1 圆内接正方形 典例 （2024秋•东港区校级期中）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径分别为　　 A．6， B．，3 C．6，3 D．， 【答案】 【解答】解：如图，过点作于点． 正方形的边长为6 ，，， ， ， ， 即外接圆半径为，内切圆半径为3． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 4个内角均为直角的圆内接四边形，不一定是正方形． 【变式练1】　（2024•库车市模拟）已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，连接、， 四边形是的内接正方形， ， ． 故选：． 【变式练2】　（2024•苏州模拟）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于　　 A． B． C． D．2 【答案】 【解答】解：如图，连接，交于点，则所在的直线是正三角形，正方形及圆的对称轴， ， 设半径为，则， 在中，，， ， ， 在中，， ， 同理， ， ， 故选：． 【变式练3】　（2024•越秀区校级模拟）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 　　；（2）周长的最小值是 　　． 【答案】，4． 【解答】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且， 四边形为平行四边形， ， 故的周长为最小， ， 的周长的最小值为， 故答案为：，4． 模型2 圆内接正多边形 典例 （2024秋•东城区校级月考）如图，正五边形内接于，连接，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：五边形是正五边形， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法： （1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可． （2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等． 技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形． 易错点：易把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径． 【变式练1】　（2023秋•凉州区校级期末）如图，的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为 　　． 【解答】解：如图所示，连接、 多边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为4． 【变式练2】　（2024秋•仓山区校级月考）如图，已知内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距、面积． 【解答】解：连接，于， ，， △是等边三角形， ， 即， ，， ， 在△中，， ． 【变式练3】　（2024秋•庄浪县月考）如图，正三角形、正方形、正六边形等正边形与圆的形状有差异，我们将正边形与圆的接近程度称为“接近度”． （1）角的“接近度”定义：设正边形的每个内角的度数为，将正边形的“接近度”定义为．于是，越小，该正边形就越接近于圆， ①若，则该正边形的“接近度”等于 　　． ②若，则该正边形的“接近度”等于 　　． ③当“接近度”等于 　　．时，正边形就成了圆． （2）边的“接近度”定义：设一个正边形的外接圆的半径为，正边形的中心到各边的距离为，将正边形的“接近度”定义为．分别计算，时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正边形就成了圆？ 【解答】解：（1）①120②18③0； （2）当时， ， ， ， 当时， ， ， ， ； 当边的“接近度”等于0时，正边形就成了圆． 模型3 正多边形的有关概念和计算 典例 （2024秋•洛阳期中）若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 　　． 【解答】解：， 这个正多边形的边数为12， 故答案为：12． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正多边形的相关计算技巧： （1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形．有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形； （2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍． 【变式练1】　（2024春•岳阳县期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的边数是 　　． 【解答】解：一个正多边形的每一个外角都是， 边数． 故答案为：10． 【变式练2】　（2024秋•盐都区期中）如图，正六边形内接于，，则的长为 　　． 【答案】1． 【解答】解：正六边形内接于， ， ， △是等边三角形， ， 故答案为：1． 【变式练3】　（2024秋•庆云县校级月考）在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的每一个外角的度数． 【答案】（1）8； （2）． 【解答】解：（1）设这个多边形的边数为， 一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍， 正多边形的内角和是外角和的3倍， ， 解得， 答：这个多边形的边数是8； （2）， 答：这个多边形的每一个外角的度数为． 模型4 弧长与扇形面积的计算 典例 （2024秋•瑞安市校级月考）圆心角是，半径为3的扇形的弧长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题知， 圆心角是，半径为3的扇形的弧长为：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n．对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一． （2）如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为． （3）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为． 【变式练1】　（2024•连州市二模）如图，在中，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， ， ， 的长． 故选：． 【变式练2】　（2024•城中区校级模拟）圆心角为的扇形的半径是，则这个扇形的面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：扇形的面积公式， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•东城区校级月考）半径为4的圆中，圆心角为的扇形面积为 　　． 【解答】解：由题意得，，， 扇形的面积， 故答案为：． 模型5 计算不规则图形的面积 典例 （2024秋•秦皇岛期中）如图，在△中，，，，将△绕着点逆时针旋转得到△，则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由勾股定理得：， 由旋转的性质可得，， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （2）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【变式练1】　（2024秋•镇海区月考）如图，在矩形中，是上一点，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，于点，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：连接，过点作交于点． ，， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ， ． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•上城区校级期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【解答】解：连接， 四边形是正方形，且边长为1， ，，， ， 上面阴影部分的面积为：． ， ， ， 梯形的面积为：， 右边阴影部分的面积为：， 图中阴影部分的面积为：． 故选：． 【变式练3】　（2024•日照）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【解答】解：过作，，连接． ， ， ， ． 菱形， 平分， ． 在△和△中， ， △△， △面积△面积， 四边形面积四边形面积△面积， ， ，． ， ， 四边形面积△面积， 阴影部分的面积扇形面积四边形面积， 故选：． 模型6 圆锥、圆柱的计算 典例 （2024秋•瓦房店市期末）已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设底面圆的半径为． 由题意：， （负根已经舍弃）， 圆锥的侧面积， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．圆锥侧面展开图： （1）=； （2）圆锥的体积：． 2．圆柱侧面展开图 =． 3．圆柱的体积：． 【变式练1】　（2024秋•大兴区期末）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为扇形，则该圆锥的侧面面积为 　　． 【答案】． 【解答】解：， 该圆锥的侧面面积为． 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•台安县月考）图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意知，该圆柱底面圆的半径为，高为， 则该圆柱的侧面积为， 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•番禺区校级月考）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 【答案】矩形的长，宽都为时，旋转形成的圆柱侧面积最大． 【解答】解：设矩形的长为，宽为， 矩形的周长为， ， 解得：， 旋转形成的圆柱侧面积是：， 要求侧面积最大，即求的最大值， ， 当时有最大值81， 此时． 答：矩形的长，宽都为时，旋转形成的圆柱侧面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$