2025年中考数学一轮复习专题32 概率初步讲义+练习

专题32 概率初步 一、选择题（共10小题） 1．（2025•中原区一模）下列事件中： ①明天会下雨； ②一个班人）里有两人的生日在同一天； ③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球； ④太阳东升西落． 不可能事件的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024秋•城阳区期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共80个，这些球除颜色外都相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，估计口袋中黄色球的数量为　　 A．16个 B．18个 C．21个 D．32个 3．（2024秋•平武县期末）下列事件中，是必然事件的是　　 A．相等的圆心角所对的弧相等 B．四点共圆 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 4．（2024秋•郑州期末）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为　　 A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 5．（2024秋•涪城区期末）如图所示的转盘被均匀的分为4部分，每个扇形部分都表示一个数字．转动转盘两次，分别记录停止后的数字（若停在线上则重新转），则两次转动的数字之和大于6的概率是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•通州区期末）一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别．随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是　　 A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 7．（2024秋•武威期末）在一个不透明的盒子中装有4个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是　　 A．8 B．10 C．12 D．16 8．（2024秋•崆峒区期末）平凉名胜古迹众多，旅游资源丰富，现已发现各个时期的古文化遗址465处，省级以上文物保护单位25处，是观光旅游、避暑休闲的好去处．小明现在手里有四张背面完全相同的景点旅游卡，正面印有各景点风景，其中有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”，从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•武侯区期末）在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机摸出一个球，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在0.4，则盒子中白球的个数最有可能是　　 A．10 B．20 C．30 D．40 10．（2024秋•天台县期末）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，把实验数据整理如下： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300 根据数据作出如下推断：①通过上述实验，可以推断这枚瓶盖的质地可能不均匀；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53．以上推断正确的是　　 A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•北碚区校级期末）高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为 　　． 12．（2024秋•海城市期末）辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、50米跑、1分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是 　　． 13．（2024秋•延津县期末）在一个不透明的口袋中装有12个红球和若干个黄球，这些球除颜色外其他都相同，九年级二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验．经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则口袋中黄球大约有 　　个． 14．（2024秋•崂山区期末）二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小山将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷，点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　　． 15．（2024秋•西湖区校级期末）从、1、2、3这四个数中任取一个，作为二次函数的值，则所得二次函数开口向上的概率是 　　． 16．（2024秋•海淀区期末）小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 　　；由此估计图形的面积为 　　平方米． 17．（2024秋•河北区期末）不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 　　． 18．（2024秋•碑林区校级期末）为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有　　只大白鹭． 19．（2024秋•临海市期末）某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 0.900 0.933 0.880 0.923 0.930 0.932 0.931 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是 　　．（保留小数点后2位）． 20．（2024秋•双流区期末）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是 　　． 三、解答题（共7小题） 21．（2024秋•瓦房店市期末）计算． 现有红、黄两个不透明的盒子，各装有三个小球，红盒子中的三个小球上分别标记数字4，5，6；黄盒子中的三个小球分别标记数字6，7，9，这六个小球除标记的数字外，其余全相同． （1）将红盒子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为 　　； （2）分别将红、黄两个盒子中的小球摇匀，然后从红、黄盒子中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率． 22．（2024秋•崂山区期末）某班家委会准备组织同学们周末进行徒步健身活动．以抽签的方式从浮山森林公园和中山公园选择一个为徒步地点，规则为：一个不透明纸箱里，装有除颜色不同外其它完全相同的3个红球和2个黑球，先后两次从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去浮山森林公园；否则，去中山公园． （1）求第一次摸到黑球的概率为 　　； （2）请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果，求出去中山公园概率． 23．（2024秋•商洛期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界年春节临近，某商家开展了商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼、窗花这4类礼品中免费领取一件．领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的四张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼、窗花）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，并将卡片放回．已知王妈妈和李妈妈都只领取了一件礼品． （1）王妈妈领取的礼品是春联的概率为 　　； （2）请用列表法或画树状图的方法求王妈妈和李妈妈领取的礼品不是同一类的概率． 24．（2024秋•即墨区期末）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点的横坐标，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点的纵坐标，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 25．（2024秋•清城区期末）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母，，，表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次接受随机抽样调查的人数是 　　人；并补全条形统计图； （2）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ （3）该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 26．（2024秋•西湖区校级期末）“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，南昌是个好地方．某天甲、乙两人来南昌旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）求甲选择景点的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 27．（2024秋•涪城区期末）一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡的次数 100 200 300 400 500 摸到白色卡片的频数 27 49 75 101 126 摸到白色卡片的频率 0.270 0.245 0.250 0.253 0.252 （1）根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为0.25（精确到，求红色卡片有多少张？ （2）现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C C B C C B B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：下列事件中： ①明天会下雨，是随机事件； ②一个班人）里有两人的生日在同一天，是随机事件； ③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球，是不可能事件； ④太阳东升西落，是必然事件， 不可能事件的个数为：1， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：摸到黄球的频率分别稳定在， 推测口袋中黄色球的个数有：（个， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：、相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，不合题意； 、四点共圆，是随机事件，不合题意； 、二次函数的图象开口向下，是不可能事件，不合题意； 、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中一定有红衣服，是必然事件，符合题意； 故选：． 4．【答案】 【解答】解：新郑红枣移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次转动的数字之和大于6的结果有10种， 两次转动的数字之和大于6的概率为， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：、摸出的2个球中有黑球，是随机事件，不符合题意； 、摸出的2个球中有白球，是必然事件，符合题意； 、摸出的2个球都是黑球，是不可能事件，不符合题意； 、摸出的2个球都是白球，是随机事件，不符合题意； 故选：． 7．【答案】 【解答】解：设黄球的个数是个， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解， ， 黄球的个数是12个， 故选：． 8．【答案】 【解答】解：共四张背面完全相同的景点旅游卡，有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”， 从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率为． 故选：． 9．【答案】 【解答】解：利用频率估计概率可得，摸到白球的概率为0.4， 则盒子中白球的个数最有可能是（个． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：通过上述实验，可以推断这枚瓶盖的质地可能不均匀，故①正确，符合题意； 第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故②错误，不符合题意； 随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53，故③正确，符合题意； 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【解答】解：列表如下： 政治 地理 化学 生物 政治 （政治，地理） （政治，化学） （政治，生物） 地理 （地理，政治） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，政治） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，政治） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择生物和政治的结果有：（政治，生物），（生物，政治），共2种， 恰好选择生物和政治的概率为． 故答案为：． 12．【答案】． 【解答】解：把引体向上、掷实心球、立定跳远、50米跑、1分钟跳绳这五项分别记为、、、、， 画树状图如下： 由树状图知，共有20种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有2种， 某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是， 故答案为：． 13．【答案】12． 【解答】解：设黄球有个，根据题意得， ， 解得． 故答案为：12． 14．【答案】260． 【解答】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， 点落在黑色阴影的概率为0.65， 黑色阴影的面积为， 故答案为：260． 15．【答案】． 【解答】解：从、1、2、3这四个数中任取一个，作为二次函数的值，则所得二次函数开口向上的有1、2、3，共3个， 所得抛物线开口向上的概率为． 故答案为：． 16．【答案】0.4，． 【解答】解：随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右， 估计石子落在图形内的概率为0.4， 图形外部绘制的是一个半径为1米的圆， 图形的面积（平方米）， 故答案为：0.4，． 17．【答案】． 【解答】解：袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，每个球被摸到的概率相同， 从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是． 故答案为：． 18．【答案】500． 【解答】解：设该湿地公园约有只大白鹭， ， 解得， 故答案为：500． 19．【答案】0.93． 【解答】解：当实验次数增多时，绿豆的发芽率越来越稳定在0.93左右， 所以估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是0.93． 故本题答案为：0.93． 20．【答案】． 【解答】解：根据题意画图如下： 共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，所以概率为． 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 21．【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的这个小球标记的数字是偶数的结果有：4，6，共2种， 摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 6 7 9 4 5 6 共有9种等可能的结果，其中摸出的这两个小球标记的数字之和为11的结果有：，，共2种， 摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率为． 22．【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中第一次摸到黑球的结果有2种， 第一次摸到黑球的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 红 红 红 黑 黑 红 （红，红） （红，红） （红，黑） （红，黑） 红 （红，红） （红，红） （红，黑） （红，黑） 红 （红，红） （红，红） （红，黑） （红，黑） 黑 （黑，红） （黑，红） （黑，红） （黑，黑） 黑 （黑，红） （黑，红） （黑，红） （黑，黑） 由表格可知，共有20种等可能的结果． 其中两次所摸球的颜色不相同的结果有12种， 去中山公园概率为． 23．【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）王妈妈领取的礼品是春联的概率为， 故答案为：． （2）将“福”字、春联、灯笼、窗花分别记作1、2、3、4， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有16种等可能结果，其中王妈妈和李妈妈领取的礼品不是同一类的有12种结果， 所以王妈妈和李妈妈领取的礼品不是同一类的概率为． 24．【答案】． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，其中点落在直线上的有4种结果， 所以点落在直线上的概率为． 25．【答案】（1）200，补全图形见解答；（2）800；（3）． 【解答】解：（1）此次接受随机抽样调查的人数（人， 组人数为（人； 补全条形统计图如图： 故答案为：200； （2）（名， 答：估计该校有800名学生想去海洋馆； （3）根据题意，列表如下： 共有16种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有4种， 所以他们恰好选中同一处研学地点的概率为． 26．【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）甲选择景点的概率为 （2）根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择景点的情况有5种， 甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率是． 27． 【解答】解：（1）总的卡片张数：（张， 则红色的卡片张数为：（张， 答：红色卡片有3张； （2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色， 第一次摸出红色卡片的概率为：， 摸出一张红色卡片之后，剩余红色卡片为2张，盒中卡片总张数为：3张， 则第二次摸出红色卡片的概率为：， 即：两张卡片均为是红色的概率为：， 答：恰好两张卡片颜色相同的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题32 概率初步 模型1 判断事件的类型 5 模型2 简单随机事件概率的计算 8 模型3 几何概型 10 模型4 用列表法、树状图法求概率 13 模型5 放回与不放回抽取试验的概率计算 17 模型6 用概率判断游戏的公平性 21 模型7 概率与其他学科的综合应用 24 模型8 用频率估计概率 28 模型归纳 1．随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： （1）试验可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现． 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作． 2．随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件（简称事件）．通常把必然事件（记作）与不可能事件（记作）看作特殊的随机事件． 3．频率与概率的定义 （1）频率的定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了次，则比值称为随机事件A发生的频率，记作，即． （2）概率的统计定义 在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率在一个稳定的值（0<<1）附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值为概率，即． （3）古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： （i）试验的样本空间是个有限集，不妨记作； （ii）在每次试验中，每个样本点（）出现的概率相同，即 ． 在古典概型中，规定事件A的概率为 ． （4）几何概率的定义 如果随机试验的样本空间是一个区域（可以是直线上的区间、平面或空间中的区域），且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为 ． 4．用列举法求概率 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=． 5．用列表法求概率 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法． 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法． 6．用树形图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法． （1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法． （2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同． 7．用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值． 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=p． 方法归纳 1．解答事件的类型问题有两个关键：一是回归生活情境，从生活情境中审视事件发生的可能性；二是理解必然事件、不可能事件、随机事件等概念． 2．计算简单事件概率的主要类型：①个数类型：如摸球、掷骰子等表示出等可能出现的结果数；②面积类型：如果随机试验时向S区域内掷一小球，那么掷在A（A在S内）的概率P=． 3．试验需要有以下两个共同点：①在每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等． 4．概率取值范围：0≤p≤1． 5．用列表法求概率 （1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验． （2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行． （3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种． 6．用树状图法求概率 （1）“涉及三个或更多因素”包括两种情况：①同时进行三种或更多种相同的操作；②先后进行三次或更多次相同的操作，即三步或更多步试验． （2）如果各因素分别有a，b，c…种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果有a×b×c×…种． 7．注意： （1）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （2）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （3）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （4）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 8．体验当试验的所有可能结果不是有限个或不是等可能出现时，要用频率估计概率． 模型1 判断事件的类型 典例 （2024秋•长沙期末）下列事件是必然事件的是　　 A．任意五边形的外角和为 B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C．367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 D．一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中” 【答案】 【解答】解：、任意五边形的外角和为，故本选项命题是不可能事件，不符合题意； 、抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，不符合题意； 、367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件，符合题意； 、一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”，是随机事件，不符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件．相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定性事件． （2）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 【变式练1】　（2024秋•荔湾区期末）下列事件是必然事件的是　　 A．某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 B．圆内接四边形的对角互余 C．直径是圆中最长的弦 D．打开电视，正在播放《新闻联播》 【答案】 【解答】解：、某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，不符合题意； 、圆内接四边形的对角互补，故本选项事件是不可能事件，不符合题意； 、直径是圆中最长的弦，是必然事件，符合题意； 、打开电视，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•延庆区期末）下列事件中，随机事件是　　 A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【答案】 【解答】解：、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意； 、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意； 、画一个三角形，它的内角和是，是必然事件，不符合题意； 、把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：． 【变式练3】　（2024秋•密云区期末）下列事件中，随机事件是　　 A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 【答案】 【解答】解：、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6，是不可能事件，不符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意； 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意； 、在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾，是必然事件，不符合题意； 故选：． 模型2 简单随机事件概率的计算 典例 （2024秋•蓝田县期末）长江流域孕育出巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述三种区域文化中随机选出一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：共有巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化三种区域文化， 从上述三种区域文化中随机选出一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=． 注意试验特点：①有限个结果；②结果等可能性． 【变式练1】　（2024秋•金牛区期末）一个盒子里有白球14个，黑球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个黑球的概率为，则盒子中黑球个数为　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】 【解答】解：设黑球有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 所以黑球的个数为7个． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•英德市期末）盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：数字1，2，3，4，5中，偶数有2个， 从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•滨海新区期末）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同．将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，则取出的卡片上代数式的值为正数的概率为 　　． 【答案】． 【解答】解：当，时，，，， 从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为正数的结果有1种， 取出的卡片上代数式的值为正数的概率为． 故答案为：． 模型3 几何概型 典例 （2024秋•泉山区校级期末）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据平行线的性质可得， 平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，则白色部分的面积占， 概率为：； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 面积类型：如果随机试验时向S区域内掷一小球，那么掷在A（A在S内）的概率P=． 【变式练1】　（2024•界首市校级一模）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意分析可得：正方形边长为，故面积为5； 阴影部分边长为，面积为1； 则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为． 故选：． 【变式练2】　（2024春•蓬莱区期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设16个相同的小正方形的边长为，则4个相同的大正方形的边长为， 点落在阴影部分的概率为． 故选：． 【变式练3】　（2024•威海）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设的半径为， ， ， 点是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 阴影部分的面积， 点落在阴影部分的概率． 故选：． 模型4 用列表法、树状图法求概率 典例 （2024秋•莲湖区期末）某校欲从两名男生和两名女生中选拔选手参加“白强不息，迈向成功”主题的演讲比赛． （1）若从这四位选手中随机选出一名同学，则选到男生的概率是 　　． （2）若从这四位选手中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到男生的结果有2种， 从这四位选手中随机选出一名同学，选到男生的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种， 恰好选中一男一女的概率为． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （2）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （3）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【变式练1】　（2024秋•高新区期末）为了弘扬体育文化，强健居民体魄，某社区组织开展欢乐跑活动，该活动受到了辖区居民的热烈响应．为了解选手的年龄结构，随机抽取了部分选手进行调查，调查结果根据年龄（岁分为四类，类：；类：；类：；类：．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽查了 　　名选手； （2）请将条形统计图补充完整； （3）已知年龄在“类”的四名选手中，有两名男性和两名女性．现需要从这四名选手中随机选择两名选手接受采访，请利用画树状图或列表的方法，求所选择的两名选手恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）20； （2）详见解答； （3）． 【解答】解：（1）（名， 故答案为：20； （2）样本中“类”的人数为（名， 补全条形统计图如图所示： （3）从“类”的两男两女4人中任意抽取2人，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中2人中恰好是一男一女的有8种， 所以从“类”的两男两女4人中任意抽取2人，其中2人中恰好是一男一女的概率． 【变式练2】　（2025•中原区一模）生活垃圾分类不仅是城市精细化管理水平的重要体现，更是一座城市文明的有力表现．为响应西安市政府的号召，培养中学生垃圾分类的责任、意识和习惯，我校在校园增设了四个可爱的蓝可可、绿厨厨、灰其其、红薇薇垃圾桶，分别代表可回收垃圾、厨余垃圾、其它垃圾和有害垃圾．为进一步推进生活垃圾分类，我校准备举行“大手拉小手，环保向前走”的知识竞赛，小颖所在的班级组织了垃圾分类知识竞赛，最终要从小颖和小辉、小王、小丹、小丽五名成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛． （1）第一次选人就选到小辉的概率是多少？ （2）请用列表或树状图的方法求出小颖、小辉同时被选中的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）第一次选人就选到小辉的概率是； （2）把小颖和小辉、小王、小丹、小丽五名成绩优秀的同学分别记为、、、、， 画树状图如图： 共有20种等可能的结果，小颖、小辉同时被选中的结果有2种， 小颖、小辉同时被选中的概率为． 【变式练3】　（2024秋•武都区期末）不透明的袋子里共有5张相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4、5． （1）每次摸取一张，则一次恰好能摸到数字5卡片的概率； （2）如果摸出一张卡片不放回，接着摸出第二张卡片，用列表或画树状图的方法说明连续摸到两张卡片数字和是5的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中一次恰好能摸到数字5卡片的结果有1种， 一次恰好能摸到数字5卡片的概率为． （2）列表如下： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 共有20种等可能的结果，其中连续摸到两张卡片数字和是5的结果有：，，，，共4种， 连续摸到两张卡片数字和是5的概率为． 模型5 放回与不放回抽取试验的概率计算 典例 （2025•深圳模拟）某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛．“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母，，，表示．将，，，分别写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀．每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的主题进行演讲． （1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是 　　； （2）小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回．重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题相同的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是， 故答案为：； （2）由题意，列表为： 共有16种等可能的结果，他们演讲主题相同的有4种结果， 所以他们演讲主题相同的概率为． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 有放回抽取和无放回抽取是两种完全不同的抽取方式．一般来说，有放回抽取允许有重复的事件结果，无放回抽取则不能有重复的事件结果．在列举时，要注意这两种抽取方式的不同造成的结果的差异． 【变式练1】　（2024秋•密云区期末）不透明袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为 　　； （2）从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 红 绿 绿 红 （红，红） （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） （绿，绿） 绿 （红，绿） （绿，绿） （绿，绿） 共有9种等可能结果数，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的有4种结果， 所以摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率为． 【变式练2】　（2024秋•城关区期末）甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】（1）小甘从“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片中，随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； （2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作，，，，列表如下： 小肃小甘 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， 小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 【变式练3】　（2024秋•莱芜区期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． （1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； （2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的结果有1种， 摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为． （2）列表如下： 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 53 54 共有6种等可能的结果，其中这个两位数恰好是奇数的结果有：35，43，45，53，共4种， 这个两位数恰好是奇数的概率为． 模型6 用概率判断游戏的公平性 典例 （2024秋•鹤山市期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 　　．（填“公平”或“不公平” 【答案】不公平． 【解答】解：列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 这个游戏不公平， 故答案为：不公平． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 【变式练1】　（2024秋•博罗县期末）中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”． （1）李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是　　； （2）请用列表或画树状图的方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由． 【答案】（1）； （2）公平，理由见解析． 【解答】解：（1）用列表法得出所有可能的结果如下： 李丽 程飞 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 两人同时出“石头”的概率是：， 故答案为：； （2）裁判员的这种作法对双方是公平的；理由如下： 根据表格得，，． ， 裁判员这种作法对双方是公平的． 【变式练2】　（2024秋•潮安区期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘被分成3等份，转盘被分成2等份，转盘上的数字分别是1，2，3，转盘上的数字分别是1，2．小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动，两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． （1）用列表法或画树状图求小王获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 【答案】（1）；（2）不公平，修改规则不唯一． 【解答】解：（1）根据题意，列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果， 所以，（积为2的倍数）， 因此小王获胜的概率是． （2）不公平， 游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加， 如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜（答案不唯一）． 【变式练3】　（2024秋•青铜峡市期末）某中学准备举行实地研学活动，每个班需选出一名旗手．某班小王、小李都想当，决定采取在不透明袋子摸质地均匀大小一样的小球的办法，小球分别标有1、2、3、4，具体规则是：“每人各摸一次，若小王摸得的数字比小李摸得的数字小，小王胜出，否则小李当选”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】这个规则不公平． 【解答】解：游戏不公平． 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 所有等可能的情况数有16种，其中小王摸得的数字比小李摸得的数字小的有6种：，，，，，， （小王胜）， 则（小李胜）， ， 则这个规则不公平． 模型7 概率与其他学科的综合应用 典例 （2024秋•武侯区期末）按照如图所示的电路图连接电路，随机闭合开关，，中的任意两个，能让灯泡发光的概率是　　． 【答案】． 【解答】解：由电路图得，闭合开关和时，能让灯泡发光． 列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有：，，，，共2种， 能让灯泡发光的概率为． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 应对跨学科试题,需要具备综合运用各个学科知识的能力． 【变式练1】　（2024•大连三模）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：反应的化学方程式为：， 和的原子个数比为，和的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物，而来自于反应物， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， 反应生成的概率为， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•荔湾区期末）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关，，，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是 　　． 【答案】． 【解答】解：由图可知，闭合开关和可以使小灯泡和发光，闭合开关和可以使小灯泡和发光． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能同时使2盏小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，共4种， 能同时使2盏小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•秦都区校级期中）置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应，包括金属与金属盐的反应，金属与酸的反应等．某次化学实验课上，老师带来了，，，四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知，，可以置换出氢气，而，不能置换出氢气） （1）若从四种金属中随机选择一种，选到的概率是　　； （2）甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题意知，从四种金属中随机选择一种，共有四种可能，选到有一种可能，选到的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 共有16种等可能的结果，满足条件的结果有：，，，，共4种， 概率为． 模型8 用频率估计概率 典例 （2024秋•渝中区期末）某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计移植这种树苗，成活的概率约为　　 A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 2．体验当试验的所有可能结果不是有限个或不是等可能出现时，要用频率估计概率． 【变式练1】　（2024秋•英德市期末）随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为　　 A．0.4 B．0.6 C．12 D．18 【答案】 【解答】解：估计此二维码黑色阴影部分的面积为， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•锦江区期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有68次摸到红球，请估计这个口袋中红球的数量最有可能是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【解答】解：共摸了100次球，发现有68次摸到红球， 估计摸到红球的概率为0.7， 估计这个口袋中红球的数量为（个． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•西山区校级期末）某农业研究院进行一项新品种果树苗在相同条件下移植实验，下表为实验结果： 移植棵数 50 270 400 750 1500 3500 7000 14000 成活数 47 235 369 662 1335 3203 6335 12628 成活率 0.94 0.870 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.902 通过表中数据，估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为 　0.9　（精确到． 【解答】解：根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为0.9， 所以估计这种树苗移植成活的概率约为0.9． 故答案为：0.9． 学科网（北京）股份有限公司 $$