5.3.2函数的极值与最大（小）值讲义-2024-2025学年高二下学期人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 知识点1 函数极值的概念 极小值、极大值的概念： 项目 极小值 极大值 定义 若函数在点 的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小；而且在点附近的左侧，右侧就把a叫作函数的极小值点，叫作函数的极小值 若函数在点 的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧就把b叫作函数的极大值点，函数的极大值 图像 例1-1（2022·湖北团风中学高二课时练习）已知函数f(x)在处连续，下列命题中正确的是（ ）。 A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 C.如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 D.如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 例1-2（2022·新疆昌吉州行知学校高二期末）如图5-3-2-1-3是函数y=f(x)的导函数的图像，给出下列命题： ①x=-2是函数y=f(x)的极值点；②x=1是函数y=f(x)的极值点；③y=f(x)的图像在x=处切线的斜率小于零；④在区间（-2，2）上单调递增。则正确命题的序号是（ ）。 A.①② B.②④ C.②③ D.①④ 知识点2 函数极值与导数的关系 ① 可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 （1）必要条件：可导函数y=f(x)在处取得极值的必要条件是 （2）充分条件：可导函数y=f(x)在处取得极值的充分条件是在两侧异号。 ② 导数值为0的点不一定是函数的极值点 可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号。 举例如下： （1）导数值为0的点是极值点：x=0是极小值点； （2）导数值为0的点不是极值点：不是极值点； （3）不可导点是极值点:f(x)=|x|，当x=0时，不可导，是极小值点； （4）不可导点不是极值点，当x=0时，不可导，不是极值点。 ③ 函数极值的求解步骤 一般地，求函数y=f(x)的极值的步骤： （1）求出函数的定义域及导数, （2）解方程，得方程的根（可能不止一个）； （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并将在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； （4）由在各个开区间内的符号判断f(x)在的各个根处的极值情况。 制成的表格及相关结论如下： x + 0 - 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ x - 0 + 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ （1）由表可知，函数的极值点是函数单调区间的分界点。 极大值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值；极小值点可以看成是函数单调递减区间与单调递增区间的分界点，极小值是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值。 （2）由表格可清晰地看出极值的分布情况，对于初学者是首选，后期对求导比较熟练时也可以省去列表格。 例2-1 若函数y=f(x)可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）。 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例2-2（2022·广西桂林高二期末）已知函数f(x)的导函数2），则f(x)的极值点的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 例2-3（2022·黑龙江哈尔滨第一中学高二阶段练习）函数y =有（ ）。 A．极大值为5，无极小值 B．极小值为-27，无极大值 C．极大值为5，极小值为-27 D．极大值为5，极小值为-11 知识点3 函数的极值与零点的关系 利用导数解决三次函数的零点问题有以下三种情况： （1）三次函数有且只有一个零点的条件。分如下两种情况讨论： ①函数f(x)在x∈R上是单调的，相当于恒大于等于零或恒小于等于零，令则即 ②函数f(x)在x∈R上不是单调的，设方程即有两个不相等的实数根，则，即，它们对应的函数值为极大值f(x)极大值或极小值f(x)极小值，需满足或， 即 因此，三次函数有且只有一个零点的条件是或 （2）三次函数有且只有两个零点的条件。 由f(x)有两个零点知函数f(x)在x∈R上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即3ac，它们对应的函数值是极大值或极小值，需满足=0 或=0。 因此，三次函数有且只有两个零点的条件是 f(x)极小值=0。值 （3）三次函数有三个零点的条件。 由f(x)有三个零点知函数f(x)在x∈R上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即3ac，它们对应的函数值是或极小值， 需满足。 因此，三次函数有三个零点的条件是 。 三次函数时，函数图像的对应情况如下： （1）三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图5-3-2-1-2①②所示。 （2）三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图5-3-2-1-2③所示。 （3）三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图5-3-2-1-2④所示。 例3-1（2022·广东广州高二期末）（多选）已知函数则（ ）。 A.f(x)有三个零点 B.f(x)有两个极值点 C．点（0,1）是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=3x是曲线y=f(x)在点（0,1）处的切线 例3-2（2022·四川成都高二期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）。 A.f(x)有三个零点 B.若f(x)有三个零点，则b的取值范围为 C.若f(x)有三个零点，则b的取值范围为 D.若f(x)有三个零点，则b的取值范围为（-0，9） 分层练习 基础达标 1．（2022·北师大二附中高二月考·知识点1）已知函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f＇（x）在(a,b)上的图像如图5-3-2-1-9所示，则函数f(x)在（a，b）上的极大值点的个数为（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 2．（2022·广西南宁高二期末·知识点2）若函数f(x)的导函数则（ ）。 A.f(x)的极小值点为 B.f(x)的极小值点为 C.f(x)的极大值点为 D.f(x)的极大值点为 3．（2022·湖北武汉情智学校高二阶段练习·能力点1）已知函数，则下列说法正确的是（ ）。 A.f(x)的极小值为-2 B.f(x)的极大值为 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)在区间（-，0）上单调递减 4．（2022·浙江杭州第二中学高二期中·知识点1）（多选）下列说法正确的是（ ）。 A.若函数f(x)既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 在任意给定区间[a,b]上必存在最小值 C.f(x)=-|x|的最大值就是该函数的极大值 D.定义在R上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 5． （2022·辽宁丹东高二期末·知识点3）已知x=1是函数的极值点，判断函数f(x)零点的个数。 高考提升 6．（2022·天津杨柳青一中高二阶段练习·能力点1）已知函数，则（ ）。 A.函数f(x)的极大值为，无极小值 B.函数f(x)的极小值为，无极大值 C.函数f(x)的极大值点为，无极小值点 D.函数f(x)的极小值点为，无极大值点 7.(2022·四川成都高二期中）若x=1是函数f(x)=alnx+x的极值点，则a的值 是（ ）。 A.-1 B.0 C.1 D.e 8．（2022·福建漳州第一外国语学校高二阶段练习）（多选）设函数y=f(x)在R上可导，其导函数为，且函数y=(1-x)·的图像如图5-3-2-1-10所示，则下列结论中一定成立的是（ ）。 A.函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减，在（2，+∞)上单调递减 B.函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增，在（2，+∞)上单调递增 C.函数y=f(x)有极大值f（2）和极小值f(-2) D.函数y=f(x)有极大值f（-2）和极小值f（2） 9．（2022·山东日照高二期末）（多选）已知函数，则（ ）。 A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.若方程f(x)=k有两个实根，则-e＜k＜0 D.若方程f(x)=k有三个实根，则 10．（2022·江西丰城九中高二期末）（多选）函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）。 B. 0. 11．（2022·西藏林芝第二高级中学高二期末·能力点3）已知函数 （1）若函数f(x)在x=1处取得极小值-4，求实数a，b的值； （2）讨论f(x)的单调性。 12．（2022·江西高三阶段练习·能力点4）已知函数，其中a≥-10 （1）求f(x)的极值点个数； （2）求函数g(x)=f(x)+2ax 在区间内的零点个数。 竞赛培优 13．（2022·河北衡水中学高二期末·能力点5）（多选）关于函数，下列结论正确的是（ ）。 A.存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.x=2是f(x)的极小值点 D.对任意两个正实数，且，若，则 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 知识点1 函数极值的概念 极小值、极大值的概念： 项目 极小值 极大值 定义 若函数在点 的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小；而且在点附近的左侧，右侧就把a叫作函数的极小值点，叫作函数的极小值 若函数在点 的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧就把b叫作函数的极大值点，函数的极大值 图像 例1-1（2022·湖北团风中学高二课时练习）已知函数f(x)在处连续，下列命题中正确的是（ ）。 A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 C.如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 D.如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 解：导数为零的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误；根据极值的概念，在附近的左侧，函数单调递增；在x=附近的右侧，函数单调递减，所以为极大值，故B正确，CD错误。故选B。 例1-2（2022·新疆昌吉州行知学校高二期末）如图5-3-2-1-3是函数y=f(x)的导函数的图像，给出下列命题： ①x=-2是函数y=f(x)的极值点；②x=1是函数y=f(x)的极值点；③y=f(x)的图像在x=处切线的斜率小于零；④在区间（-2，2）上单调递增。则正确命题的序号是（ ）。 A.①② B.②④ C.②③ D.①④ 解：对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数值符号一致，故②错误；对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，故③错误；对于④，导函数在（-2,2）恒大于等于零，故为函数的增区间，故④正确。故选D。 知识点2 函数极值与导数的关系 ① 可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 （1）必要条件：可导函数y=f(x)在处取得极值的必要条件是 （2）充分条件：可导函数y=f(x)在处取得极值的充分条件是在两侧异号。 ② 导数值为0的点不一定是函数的极值点 可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号。 举例如下： （1）导数值为0的点是极值点：x=0是极小值点； （2）导数值为0的点不是极值点：不是极值点； （3）不可导点是极值点:f(x)=|x|，当x=0时，不可导，是极小值点； （4）不可导点不是极值点，当x=0时，不可导，不是极值点。 ③ 函数极值的求解步骤 一般地，求函数y=f(x)的极值的步骤： （1）求出函数的定义域及导数, （2）解方程，得方程的根（可能不止一个）； （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并将在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； （4）由在各个开区间内的符号判断f(x)在的各个根处的极值情况。 制成的表格及相关结论如下： x + 0 - 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ x - 0 + 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ （1）由表可知，函数的极值点是函数单调区间的分界点。 极大值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值；极小值点可以看成是函数单调递减区间与单调递增区间的分界点，极小值是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值。 （2）由表格可清晰地看出极值的分布情况，对于初学者是首选，后期对求导比较熟练时也可以省去列表格。 例2-1 若函数y=f(x)可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）。 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若f(x)可导，有实根，则f(x)不一定有极值；f(x)有极值，则0一定有实根。故选A。 例2-2（2022·广西桂林高二期末）已知函数f(x)的导函数2），则f(x)的极值点的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 解：由得x<0或0<x<1时不是极值点，0<x<1或x>2时，时，，因此1,2都是极值点。极值点有2个。故选C。 例2-3（2022·黑龙江哈尔滨第一中学高二阶段练习）函数y =有（ ）。 A．极大值为5，无极小值 B．极小值为-27，无极大值 C．极大值为5，极小值为-27 D．极大值为5，极小值为-11 解：，由0，得-2<x<-1，由，得-1<x<2，所以函数在（-2，-1）上单调递增，在（-1,2）上单调递减，所以在x=-1时取得极大值5，无极小值。故选A。 知识点3 函数的极值与零点的关系 利用导数解决三次函数的零点问题有以下三种情况： （1）三次函数有且只有一个零点的条件。分如下两种情况讨论： ①函数f(x)在x∈R上是单调的，相当于恒大于等于零或恒小于等于零，令则即 ②函数f(x)在x∈R上不是单调的，设方程即有两个不相等的实数根，则，即，它们对应的函数值为极大值f(x)极大值或极小值f(x)极小值，需满足或， 即 因此，三次函数有且只有一个零点的条件是或 （2）三次函数有且只有两个零点的条件。 由f(x)有两个零点知函数f(x)在x∈R上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即3ac，它们对应的函数值是极大值或极小值，需满足=0 或=0。 因此，三次函数有且只有两个零点的条件是 f(x)极小值=0。值 （3）三次函数有三个零点的条件。 由f(x)有三个零点知函数f(x)在x∈R上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即3ac，它们对应的函数值是或极小值， 需满足。 因此，三次函数有三个零点的条件是 。 三次函数时，函数图像的对应情况如下： （1）三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图5-3-2-1-2①②所示。 （2）三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图5-3-2-1-2③所示。 （3）三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图5-3-2-1-2④所示。 例3-1（2022·广东广州高二期末）（多选）已知函数则（ ）。 A.f(x)有三个零点 B.f(x)有两个极值点 C．点（0,1）是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=3x是曲线y=f(x)在点（0,1）处的切线 解：令，解得x=-1或x=1,∴x∈(-∞,-1)时单调递减；x∈(-1,1)时单调递增；x∈(1,+∞)时单调递减，,∴f(x)的极小值为f(x)的极大值为,-f(x)有三个零点,f(x)有两个极值点，A，B正确；若点（0,1）是曲线y=f(x)的对称中心，则有f(x)+f(-x)=2,，将函数3x+1代入上式验证得3(-x)+1]=2，C正确；:(0)=3。。又切线过点（0,1），则切线方程为y-1=3(x-0) 即y=3x+1,D错误。故选ABC。 例3-2（2022·四川成都高二期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）。 A.f(x)有三个零点 B.若f(x)有三个零点，则b的取值范围为 C.若f(x)有三个零点，则b的取值范围为 D.若f(x)有三个零点，则b的取值范围为（-0，9） 解：2x-3，令即或，列表如下： -1 3 (3,) + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表知f(x)的极大值为f(x)的极小值为f(3)=b-9，当即时，函数f(x)有三个零点，.B选项正确。故选B。 分层练习 基础达标 1．（2022·北师大二附中高二月考·知识点1）已知函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f＇（x）在(a,b)上的图像如图5-3-2-1-9所示，则函数f(x)在（a，b）上的极大值点的个数为（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 2．（2022·广西南宁高二期末·知识点2）若函数f(x)的导函数则（ ）。 A.f(x)的极小值点为 B.f(x)的极小值点为 C.f(x)的极大值点为 D.f(x)的极大值点为 3．（2022·湖北武汉情智学校高二阶段练习·能力点1）已知函数，则下列说法正确的是（ ）。 A.f(x)的极小值为-2 B.f(x)的极大值为 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)在区间（-，0）上单调递减 4．（2022·浙江杭州第二中学高二期中·知识点1）（多选）下列说法正确的是（ ）。 A.若函数f(x)既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 在任意给定区间[a,b]上必存在最小值 C.f(x)=-|x|的最大值就是该函数的极大值 D.定义在R上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 5． （2022·辽宁丹东高二期末·知识点3）已知x=1是函数的极值点，判断函数f(x)零点的个数。 高考提升 6．（2022·天津杨柳青一中高二阶段练习·能力点1）已知函数，则（ ）。 A.函数f(x)的极大值为，无极小值 B.函数f(x)的极小值为，无极大值 C.函数f(x)的极大值点为，无极小值点 D.函数f(x)的极小值点为，无极大值点 7.(2022·四川成都高二期中）若x=1是函数f(x)=alnx+x的极值点，则a的值 是（ ）。 A.-1 B.0 C.1 D.e 8．（2022·福建漳州第一外国语学校高二阶段练习）（多选）设函数y=f(x)在R上可导，其导函数为，且函数y=(1-x)·的图像如图5-3-2-1-10所示，则下列结论中一定成立的是（ ）。 A.函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减，在（2，+∞)上单调递减 B.函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增，在（2，+∞)上单调递增 C.函数y=f(x)有极大值f（2）和极小值f(-2) D.函数y=f(x)有极大值f（-2）和极小值f（2） 9．（2022·山东日照高二期末）（多选）已知函数，则（ ）。 A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.若方程f(x)=k有两个实根，则-e＜k＜0 D.若方程f(x)=k有三个实根，则 10．（2022·江西丰城九中高二期末）（多选）函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）。 B. 0. 11．（2022·西藏林芝第二高级中学高二期末·能力点3）已知函数 （1）若函数f(x)在x=1处取得极小值-4，求实数a，b的值； （2）讨论f(x)的单调性。 12．（2022·江西高三阶段练习·能力点4）已知函数，其中a≥-10 （1）求f(x)的极值点个数； （2）求函数g(x)=f(x)+2ax 在区间内的零点个数。 竞赛培优 13．（2022·河北衡水中学高二期末·能力点5）（多选）关于函数，下列结论正确的是（ ）。 A.存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.x=2是f(x)的极小值点 D.对任意两个正实数，且，若，则 答案解析 基础达标 1．B【解析】由函数极值的定义和导函数的图像可知在(a,b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x=0不是函数f(x)的极值点。其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个，故选B。 2．B【解析】当E；当时 当时，，所以f(x)的极小值点为，无极大值点。故选B。 3.B 【解析】因为，所以，令，得或x>1；令，得，所以f(x)在区间(1,+∞) 上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)在处有极大值，极大值为；在x=1处有极小值，极小值为f(1)=-1。故选B。 4．BCD【解析】A选项，例如，在x=1处取得极小值f(1)=2，在x=-1处取得极大值f(-1)=-2,，而2>-2，故极大值不一定大于极小值，A错误；C选项,f(x)=-|x|=函数f(x)=-|x|在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，根据极值的定义可知,f(x)=-|x|在x=0处取得极大值，也是最大值，C正确；D选项，y=x无极值点,y=sinz有无数个极值点，D正确；B选项在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B 正确。故选BCD。 5．由，得a。由x=1是函数的极值点，得a=0，解得a=-9，故函数 令，解得x=-3或x=1，所以函数在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增，在（-3，1）上单调递减，故x=为极小值点。 又f(-5)=-125+75+45-10=-15<0, f(1)=-15<0,f(3)=17>0, f(-3)=-27+27+27-10=17>0, 所以f(x)分别在(-5,-3),,(-3,-1),,(1,3)(各有一零点，共3个零点。 高考提升 6.A 【解析]f(x)的定义域为(0,+∞) ，所以在区间(0,e)上0,f(x)单调递增；在区间0,f(x)单调递减，所以是f(x)的极大值，无极小值，极大值点为e，无极小值点。故选A。 7.A 【解析f(x)的定义域为(0,+∞)，因为x=1是函数f(x)=alnx+x 的极值点，所即a+1=0，所以a=-1。当a=-1时，，令，得x>1，令，得0<x<1，所以f(x)在x=1处取得极小值，符合题意。综上所述，a=-1。故选A。 8．BD【解析】由题图可知，当x<-2时，,y>01-x>0，故f(x)在(-∞,-2)上单调递增；当-2＜x＜1时，,y<0,1-x>0，所以，故f(x)在（-2,1）上单调递减；当1<x<2时,y>0,1-x<0所，故f(x)在（1,2）上单调递减；当x>时，,y<0,1-x<0所故f(x)在(2,+∞)上单调递增。故函数f(x)在x=-2时取得极大值，在x=2时取得极小值，即函数y=f(x)有极大值f（-2）和极小值f（2）。故选BD。 9.AB 【解析】对于1=0,，解得 x=，所以A正确；对于B，，当时，-1<x<2，当时，,x<-1或x>2,，所以(-∞,-1） (2,+∞)是函数的单调递减区间，（-1,2）是函数的单调递增区间，所以f(-1)=-e是函数的极小值是函数的极大值，所以B正确；对于C，当x→+∞时,y→0，根据B可知，函数的最小值是f(-1)=-e，再根据单调性及结合图像可知，若方程f(x)=k有两个实根，则 e<k≤0或，所以C错误；对于D，由图像可知，所以D错误。故选AB。 10.AB 【解析 在区间内仅有唯一极值点等价于在区间内仅有唯一异号零点。当a=0时，不满足题意。当a≠0时，，解得a<0或a>4。 当a<0时，当a>4时， 。综上所述，当或时，函数在区间内仅有唯一极值点。故选AB。 11.，则即解得经验证满足题意。(2，令0，解得x=或 ①当a=0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增； ②当a<0时,f(x)在上单调递增，在上单调递减； ③当a>0时,f(x)在 ,0),上单调递增，在上单调递减。 12．（1）由题得当x∈(-∞,-2）时，单调递减； 当xe (-2,+∞)时，单调递增，所以当x=-2时,f(x)取得极小值，无极大值，故f(x)的极值点数为1。 （2）由题得，令g(x)=0,，得 令 h(x)=，则。令，得0；令，得x>0，所以h(x)在区间内单调递减，在区间(0,+∞)内单调递增，所以，所以当-a=1，即a=-1时，直线y=1与h(x)的图像有一个公共点，即g(x)有一个零点；当-a<1，即a＞-1时，直线y=-与h(x)的图像无公共点，即g(x)无零点。 13.BCD【解析】若f(x)>kx恒成立，则k<，令，则。令h(x)=-4+x-xlnx，则当0<x<1时，当x>1时所以h(x)≤h(1)=-3<0因为x>0，所以所以g(x)在（0，+∞)上单调递减，无最小值，所以不存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立，选项A错误；对于函数，其定义域为（0，+∞)，由于，由可得x=2当0<x<2时当x>2时，，可知x=2是f(x)的极小值点，选项C正确；设m(x)=f(x)-x，则，可知m(x)在（0，+∞)上单调递减。又m(1)=1>0,m(2)=ln2-1<0，所以方程m(x)=0有且仅有一个根，即函数y=f(x)-x有且只有1个零点，选项B正确；由x=2是f(x)的极小值点，可知当时，，易知，则，令，则，则f(4-，则F(t)在(1,+∞)上单调递减，F(t)<F(1)=0，故又f(x)在(2,+∞)上单调递增， 则，故，选项D正确。故选BCD。 学科网（北京）股份有限公司 $$