15.4 三元一次方程组的解法-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

15.4 三元一次方程组的解法 人教版五四制数学七年级下册 1.了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想. 2.会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力. 学习目标 人教版五四制数学七年级下册 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张. 问1：想一想题干中有哪些数量关系？ 1元纸币张数＋2元纸币张数+5元纸币张数＝总张数 1元纸币金额＋2元纸币金额+5元纸币金额＝总金额 1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4 问2：可以怎样设未知数列出方程？ 情境引入 人教版五四制数学七年级下册 解：设1元纸币x张，2元纸币y张，5元纸币z张. x＋y＋z=12 x＋2y＋5z=22 x=4y 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 如何求解三元一次方程组？ 探究新知 人教版五四制数学七年级下册 x＋y＋z=12 x＋2y＋5z=22 x=4y 解三元一次方程组的基本思路： 消元 消元 一元一次方程 二元一次方程组 三元一次方程组 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 探究新知 人教版五四制数学七年级下册 x＋y＋z=12 ① x＋2y＋5z=22 ② x=4y ③ 解：把③带入①、②，得到关于y、z的方程组 5y＋z=12 ④ 6y＋5z=22 ⑤ 由④×5，得25y+5z=60 ⑥ 由⑥-⑤，得19y=38，解得y=2 把y=2代入④，得z=2 把y=2代入③，得x=8 x=8 y=2 z=2 所以这个方程组的解为 探究新知 人教版五四制数学七年级下册 从上面的分析可以看出.解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 总结归纳 人教版五四制数学七年级下册 例1 解三元一次方程组 解：②×3+③，得11x+10z＝35. ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y， 得到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组. 例题讲解 人教版五四制数学七年级下册 例1 解三元一次方程组 把x=5,z=-2代人②，得 2×5+3y-2=9， 所以  因此，这个三元一次方程组的解为 例题讲解 人教版五四制数学七年级下册 例2 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值． 分析：把a，b，c 看成三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. 解：根据题意，得三元一次方程组 例题讲解 人教版五四制数学七年级下册 ②－①，得a＋b＝1； ④ 　 ③－①，得4a＋b＝10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把 代入①，得c=-5. 因此 即a，b，c 的值分别为3，-2，-5. 例题讲解 人教版五四制数学七年级下册 1.变形：将三元一次方程组通过消元变为为二元一次方程组； 2.求解：解二元一次方程组； 3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程； 4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数； 5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解. 解三元一次方程组的基本步骤： 总结归纳 人教版五四制数学七年级下册 1.解方程组 解：由方程②得 x=y+1 ④ 把④分别代入①③得 2y+z=22 ⑤ 3y-z=18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得y=8,z=6 把y=8代入④，得x=9 所以原方程的解是    x=9 y=8 z=6 随堂检测 人教版五四制数学七年级下册 2.有甲、乙、丙三种文具,购买甲1件,乙2件比购买丙1件多花9元;购买甲2件,丙8件比购买乙1件多花18元.现在购买甲、乙、丙各一件文具,则共需花费　　元.  9 随堂检测 人教版五四制数学七年级下册 1.解方程组： 解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12， 所以x＋y＋z＝6.④ ④－①，得z＝3. ④－②，得x＝1. ④－③，得y＝2. 所以原方程组的解为 巩固练习 人教版五四制数学七年级下册 2. 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的等于丙数的，求这三个数. 解：设甲乙、丙三数分别为x、y、z， 则 解得 ∴甲数是10，乙数是15，丙数是10. 巩固练习 人教版五四制数学七年级下册 1.某农场有300名职工耕种51公顷土 地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表: 已知该农场计划投入67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用? 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需设备资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 拓展训练 人教版五四制数学七年级下册 解:设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷. 根据题意,得解得 答:种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷. 拓展训练 人教版五四制数学七年级下册 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 三元一次方程组的解法 三元一次方程组的应用 课堂小结 人教版五四制数学七年级下册 1.三元一次方程组的解是(　　) A. B. C. D. D 课后作业 人教版五四制数学七年级下册 2.解下列三元一次方程组： 解：③－①，得2z＋2y＝56，即y＋z＝28 ④， ②＋④，得2y＝31，所以y＝15.5. 把y＝15.5代入①，得x＝22. 把y＝15.5代入②，得z＝12.5. 所以原方程组的解为 课后作业 人教版五四制数学七年级下册 谢谢聆听 人教版五四制数学七年级下册 $$