2025年中考数学一轮复习专题34 相似讲义+练习

专题34 相似 模型1 比例、黄金分割 7 模型2 相似图形 10 模型3 相似多边形 12 模型4 相似三角形的判定和性质 14 模型5 相似三角形应用举例 18 模型6 平行线分线段成比例 21 模型7 位似 24 模型归纳 1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积：若，则ad＝bc．（去分母） ②合比性质：若，则．（两边加1） ③分比性质：若，则．（两边减1） ④合分比性质：若，则． ⑤等比性质：若（），则． 2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 6．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 8．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 10．位似 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． （3）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心； ②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 方法归纳 1．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质． 2．比例线段： 一般地，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，有时为了计算方便，a，b的单位一致，且c，d的单位一致． 3．两个多边形相似，必须同时具备两个条件： （1）角分别相等； （2）边成比例． 4．判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定（1）或再找夹边成比例[用判定（2）； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 5．运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根． 6．解相似三角形应用题的两个原则： （1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边． （2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则． 7．位似图形 （1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上． （2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点． 8．位似图形的性质 位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 9．平面直角坐标系中的位似变化 位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化． 模型1 比例、黄金分割 典例 （2024秋•金牛区期末）已知，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、， ， 故不符合题意； 、， ， 故不符合题意； 、， ， 故符合题意； 、， ， 故不符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．利用比例的性质求代数式的值的常用方法 （1）根据比例式，用含有一个字母的代数式表示其他字母，然后代入求值； （2）参数法，即先根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入求值； （3）小题巧解，选择、填空题优先考虑特殊值法． 2．线段的比是一个没有单位的正数.它与所采用的线段的长度单位无关，但在求两条线段的比时，要采用同一长度单位，运算时通常情况下，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a、b和c、d的单位分别一致也可以． 【变式练1】　（2024秋•甘井子区期末）若成立，则下列等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由比例的性质得， ． 由等式的性质得， ， 故正确； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•揭阳期末）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•普宁市期末）已知，则的值是　　 A． B．5 C． D．4 【答案】 【解答】解：， ， ． 故选：． 模型2 相似图形 典例 （2023秋•安阳期末）下面几对图形中，相似的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意得：选项为相似图形， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质． 【变式练1】　（2024秋•三元区期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】 【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•长丰县期中）下列各组图中，是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】】解：、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； 、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； 、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； 、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•富平县期中）下面各组图形中，不是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、两个图形相似，故不符合题意； 、两个图形相似，故不符合题意； 、五角星和六角星不相似，故符合题意； 、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：． 模型3 相似多边形 典例 （2024秋•榆次区期中）观察下列各组多边形，其中是相似多边形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：两个正方形，四个角对应相等，对应边成比例，一定相似， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 相似多边形的定义课作为判断两个多边形是否相似的判定，即在多边形中，只有“边数相同”“角分别相等”“边对应成比例”这三个条件同时成立师，才能说明这两个多边形是相似多边形． 【变式练1】　（2024秋•惠州期末）已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， 选项中的矩形与矩形相似． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•武侯区期末）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为　　． 【答案】． 【解答】解：四边形，四边形均为矩形，，， ，， 矩形矩形， ，即，解得， ． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•惠州期末）如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 　　． 【答案】16． 【解答】解：五边形与五边形相似，且周长之比为，， ，即， ． 故答案为：16． 模型4 相似三角形的判定和性质 典例 （2024秋•涡阳县期末）如图，在△中，高线、交于点． （1）求证：△△； （2）若，，，求． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：在△中，高线、交于点， ，， ， ， △△， ， ， △△， ， ， ， △△； （2）解：，，， ，， △△， ， ， ． △△， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 2．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，这里要特别注意“对应”，在应用时，要注意找准对应线段． 【变式练1】　（2024秋•长沙县期末）如图，为等边△的边上一点，为上一点，若． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【解答】（1）证明：△是等边三角形， ， ， ，， ， ， △△． （2）解：，， ， ， △△， ， ， 的长是． 【变式练2】　（2024秋•和平区校级期末）如图，在矩形中，若，，． （1）求证：△△； （2）求的长． 【答案】（1）见解析； （2）1． 【解答】（1）证明：由四边形是矩形可知， ，， △△； （2）解：，，， ， △△， ， ． 【变式练3】　（2024秋•城关区期末）如图，在△中，，点在上，于点． （1）求证：△△； （2），且，求的长． 【解答】（1）证明：于点，， ， ， △△； （2）解：△△， ， ，，， ， ． 模型5 相似三角形应用举例 典例 （2024秋•方山县期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意可得： ， △△， 点到的距离为，点到的距离为， 由相似三角形对应高之比是相似比可得， ， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 解相似三角形应用题的两个原则： （1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边． （2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则． 【变式练1】　（2024秋•揭阳期末）数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意得，，， 根据镜面反射可知：， ，， ， △△， ， ， ， ， 解得， 则旗杆的高度为10米． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•增城区期末）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄远的物体，其在底片上的图象的宽是，焦距是，则物体的宽是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， △， ， ， ． 答：物体的宽是． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•玄武区期末）如图，古城墙进出口的道闸杆水平放置时，与地面平行．支撑点与端点之间的距离，与另一端点之间的距离．道闸杆绕着支撑点旋转，当点旋转到点时，测得点到的距离为，此时，点到的距离是多少？ 【答案】． 【解答】解：如图，于点，于点， 根据题意得，，，， ，， ， △△， ， 即， ， 即点到的距离是． 模型6 平行线分线段成比例 典例 （2024秋•红古区期末）如图，直线，它们依次交直线，于点，，和点，，．若，，，则的长为　　 A．2.4 B．4.8 C．5.4 D．7.2 【答案】 【解答】解：， ， ， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 【变式练1】　（2024秋•西湖区校级期末）如图，，，，则的长是　　 A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】 【解答】解：， 由平行线分线段成比例定理可得： ， 即， 解得：． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•长沙期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为　　 A．12 B．4 C．3 D．8 【答案】 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【变式练3】　（2025•浦东新区一模）如图，已知，那么下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ，而与不一定相等，与不一定相等， 故正确，不正确，不正确； 由得， 假设成立，则， ， ，与已知条件不符， 不成立， 故不正确， 故选：． 模型7 位似 典例 （2024秋•红古区期末）如图，△和△是以点为位似中心的位似图形．若，则下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， △和△是以点为位似中心的位似图形， ，，△△， ，， 故，，选项正确，不符合题意，选项不正确，符合题意． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．（1）两个图形不仅相似，而且对应项点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． （2）位似图形的相似比叫做位似比． 2．位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质． （1）利用位似图形的性质可以确定位似中心、求位似比及图形的周长或面积等． （2）求位似图形的位似比，首先要确定相似的顺序，然后再确定位似比． （3）位似图形的对应边平行或在同一条直线上． 【变式练1】　（2024秋•和平区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△扩大到原来的2倍，得到△，若点的坐标是，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意得，△△，相似比为， ． 过点作轴于点，过点作轴于点， △△， ． 点的坐标是， ，， ，， 点的坐标为． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•青羊区期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若△、△的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接，，，并分别延长，相交于点， 则点为△与△的位似中心， 位似中心的坐标是． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•长治期末）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出△的一个位似△，使它与△的位似比为； （2）△的面积 　　； （3）画出将△向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△； （4）判断△和△是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解答． （2）10． （3）见解答． （4）△和△是位似图形，画图见解答，点的坐标为． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）△的面积为． 故答案为：10． （3）如图，△即为所求． （4）△和△是位似图形． 连接，，，并分别延长，相交于点， 则点即为所求． 由图可得，点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题34 相似 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•永春县期末）如图，直线，直线分别交，，于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．9 2．（2024秋•江北区期末）如图，△与△是位似图形，点是位似中心，若△的面积为4，且，则△的面积为　　 A．6 B．8 C．9 D．12 3．（2024秋•梅里斯区期末）如图，为的边上一点，交对角线于点，．则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•长治期末）如图，已知，且，则△与△的对应高线之比为　　 A． B．3 C． D． 5．（2025•深圳模拟）透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 6．（2025•长宁区一模）如果将一个△的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积　　 A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 7．（2025•黄浦区一模）某学习小组研究问题“如图，已知、、分别是△的边、、的中点，求证：△△．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是　　 A．可证，进而证得△△ B．可证，，进而证得△△ C．可证，，进而证得△△ D．可证△△，△△，进而证得△△ 8．（2024秋•沙河口区期末）已知△△，其相似比为，则△与△的面积之比为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•城关区期末）如图，△与△是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若，则点的坐标为　　 A． B． C． D．， 10．（2024秋•西安期末）已知△，，，，点从点出发以沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与△相似　　 A． B． C．或 D．或 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•鄠邑区期末）如图，在△中，点、分别在、上，，如果，△的面积与△的面积比为，那么的长为 　　． 12．（2025•大渡口区模拟）如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点．已知，，，则的长为 　　． 13．（2024秋•莲湖区期末）如图，直线．若，，则的长为 　　． 14．（2024秋•长沙县期末）如图，△中，，分别在，上，，，则△与△的面积之比为 　　． 15．（2024秋•红古区期末）如图，是△的边上的一点，，，．若，则的长为 　　． 16．（2024秋•清城区期末）如图，四边形是正方形，是上一点，，，则　　． 17．（2024秋•梅里斯区期末）如图中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则正方形的边长　　． 18．（2024秋•长治期末）如图，在△中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 　　． 19．（2024秋•金牛区期末）若，且，则 　　． 20．（2025•闵行区一模）在等腰△中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果△与△相似，那么的值为 　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•天府新区期末）在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 22．（2025•松江区一模）如图，在△中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 23．（2024秋•青白江区期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点、、、在同一水平面上． （1）求反射点到木板的距离（即的长）； （2）求灯泡到地面的高度． 24．（2024秋•东湖区校级期末）如图，是△的边上的一点，连接，已知． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 25．（2024秋•安阳期末）如图，在△中，，是△的中线，作于点． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 26．（2025•长宁区一模）如图，在△中，点、分别在边、上，联结、交于点，，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A B C D B D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：， ，即， 解得：， ， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：， ， △与△是位似图形， △△，， △△， ， ， △的面积为4， △的面积为9， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：，， ， 在中，，， △△， ． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：， △△， ， ， △与△的对应高线之比为， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：将一个三角形放大为与它相似的三角形，如果周长扩大为原来的3倍， 相似比为， 面积的比为：， 即：面积扩大为原来的9倍， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：、、分别是△的边、、的中点， ，且，，且，，且， ， △△， 故不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 同理四边形是平行四边形， ， △△， 故不符合题意； ， △△， ， ， ， 不成立， 由，，不能证得△△， 故符合题意； ，， ，， △△， ， △△， △△， 故不符合题意， 故选：． 8．【答案】 【解答】解：△△，相似比为， △与△的面积的比为． 故选：． 9．【答案】 【解答】解：， ， △与△是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ， ， 过点作于，如图， ，， ，， 在△中，， 点坐标为． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：，，， ， 当△△时， 则， ， ， 点从点出发以每秒1个单位长度的速度运动， （秒； 如图，当△△时， 则， ， ， ， ， 点从点出发以每秒1个单位长度的速度， （秒， 综上所述，时间为秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与△相似． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【解答】解：，， △△， △的面积与△的面积比为， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 12．【答案】． 【解答】解：取的中点，连接， 四边形是平行四边形，对角线与相交于点，，， ，，， ，， 点在的延长线上，， ， △△， ， ， 故答案为：． 13．【答案】3． 【解答】解：， ， 即， 解得． 故答案为：3． 14．【答案】． 【解答】解：， ， ， △△， ， △与△的面积之比为， 故答案为：． 15．【答案】． 【解答】解：，，， ，， ， ， △△， ， ， ， 故答案为：． 16．【答案】． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， △△， ， ， ， ， 故答案为：． 17． 【解答】解：如图， ， ， ，即， 解得． 故答案为：4． 18．【答案】8． 【解答】解：过点作的平行线，交于点， ，， ． ， △△， ． 是的中点， ， ． 又， ． 故答案为：8． 19．【答案】． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 20．【答案】． 【解答】解：由题意得：只能△△， 过点作于点，交于点， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】美术馆的高度为14.25米． 【解答】解：设米，米， 由题意得，，， △△， ， ， ， ，， △△， ， ， ， ， 美术馆的高度为14.25米． 22．【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【解答】证明：（1），， ， ， ， △△， ， ． （2）设交于点， ，，， ，， ， △△， ， ，， △△， ， ， ， ． 23．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题意可得：， △△， ， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， 的长为； （2）， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， △△， ， ， 解得： ， 灯泡到地面的高度为． 24．【答案】（1）证明见解答； （2）若的长为9． 【解答】（1）证明：，， △△． （2）解：△△， ， ， ，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 的长为9． 25． 【解答】（1）证明：在△中，， 是△的中线， ， ， ， ， ， ， △△； （2）解：，， 由（1）知：△△， ， ， ， ． 26．【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）， ， ， △△， ， ； （2），， △△， ， ， △△， △△， ， ， ， 是中点， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$