5.1从实际问题到方程课件2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

第五章 一元一次方程 5.1 从实际问题到方程 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 理解方程概念，能准确识别方程，熟练从实际问题中找数量关系并列出方程，提升相关能力。 01 通过分析、讨论实际问题，经历方程建模，增强抽象思维与符号感，掌握方程解题步骤和方法。 02 感受方程解决实际问题的优势，体会数学与生活联系，激发学习热情与应用意识 。 03 引入新课 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min. 已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s. 这一圈步道有多长? 设步道一圈的长为 xm，可列出方程： 02 新知导入 问题1： 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题： 同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍? 02 新知导入 问题一经提出，同学们饶有兴趣，开展了热烈的讨论，各抒己见，提出了各种各样的解答. 比较典型的有下面两种解法： 解法1 (尝试一检验) “3年！”小敏首先发现了答案. 她是这样算的： 经过1年，同学们的年龄是14岁，老师的年龄是46岁，不是同学们年龄的3倍； 02 新知导入 经过2年，同学们的年龄是15岁，老师的年龄是47岁，不是同学们年龄的3倍； 经过3年，同学们的年龄是16岁，老师的年龄是48 岁，恰好是同学们年龄的3倍. 解法2 (分析一列算式) 不管过了多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为45--13=32(岁). 当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍，这时同学们的年龄是(45 - 13)÷2=32÷2=16(岁), 所以要求的年数是16-13 =3, 和解法1的答案相同. 02 新知导入 03 新知探究 探索 张老师肯定了同学们的两种解法，并鼓励同学们继续探索： 我们学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母(例如x)表示未知的年数，你能发现什么? 于是有 45 +x=3(13 +x). ① 03 新知探究 同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍? [解析]设经过 y 年后，李老师的年龄是同学们年龄的 3 倍。 根据题目，我们可以建立以下方程： 李老师 y 年后的年龄是 55+y 岁。 同学们 y 年后的年龄是 13+y 岁。 试一试 03 新知探究 【解答】建立以下方程： 李老师 y 年后的年龄是 55+y 岁。 同学们 y 年后的年龄是 13+y 岁。 即：55+y=3(13+y) 展开得：55+y=39+3y 移项并合并同类项：2y=16 解得：y=8 答：经过 8 年后，李老师的年龄是同学们年龄的 3 倍。 03 新知探究 问题2 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min. 已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s. 这一圈步道有多长? 由题意，跑完一圈乙比甲多用1min(60s)，即跑完一圈 乙所用时间 = 甲所用时间+ 60， 而这时，乙所用时间为 甲所用时间为x/4s,所以 ② 04 新知讲解 以上问题1和问题2，用字母x表示未知数，由问题中已知的有关量的相等关系(等量关系)，分别列出两个含有未知数的等式①和②. 问题就转化为求未知数x的值，使等式成立(等式左、右两边的值相等).下面我们将顺着这个思路，研究这样的等式，进一步寻求解决问题的方法. 概括：上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式①和②. 像这样，含有未知数的等式叫做方程(equation). 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(solution). 例如x=3是方程①的解，它能使得方程①左、右两边的值相等(都等于48). 当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根(root). 求方程的解的过程, 叫做解方程(solving equation). 04 新知讲解 判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”. (1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-5=7 ( ) (3) 2a+b ( ) (4) x＞3 ( ) (5) x+y=8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( ) √ × √ × √ × 针 对 练 习 尝试检验法(trial test method) 问题1的解法1，是通过尝试、检验，寻求问题的答案，这种思想方法来自人们的生活经验，有时也可以用来解方程. 用尝试检验法解方程，其基本方法是这样的：先选取未知数的一些可能值，逐一代入方程的左边和右边，分别求值，看(检验)两边的值是否相等. 如果相等，相应的x的值就是方程的解； 否则，就不是方程的解. 例如解方程45+x=3(13+x), 可得方程的解是x=3, 解答过程如下表： 读一读 05 新知阅读 左边 右边 左、右两边的值 x 45 +x 3(13 +x) 是否相等 1 46 42 不相等 2 47 45 不相等 3 48 48 相等 4 49 51 不相等 … … … … 读一读 05 新知阅读 请同学们思考： （1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？ （2）列方程的依据是什么？ 实际问题 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 抓关键句子找等量关系 方程 设未知数列方程 思 考 练习 1.某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地,则可列方程(　　) A.54-x=20%×108 B.54-x=20%(108+x) C.54+x=20%×162 D.108-x=20%(54+x) 06 课堂练习 B 解析 设把 x 公顷旱地改为林地。 改造后，旱地面积变为 54−x 公顷，林地面积变为 108+x 公顷。 根据题意，旱地面积占林地面积的 20%， 即 54−x=20%×(108+x)。 所以，正确选项是 B。 07 课堂例题 练习 2、甲乙两个运输对，甲队32人，乙队28人，若乙队调走x人到甲队，则甲队人数是乙队人数的2倍，其中x 应满足的条件是（ ） A 2（32+x）=28- x B 32+x=2(28- x) C 32=2(28- x) D 3×32=28- x 06 课堂练习 B 解析 设乙队调走 x 人到甲队。 调人后，甲队人数变为 32+x，乙队人数变为 28−x。 根据题意，甲队人数是乙队人数的 2 倍，即 32+x=2(28−x)。 所以，正确选项是 B。 07 课堂例题 练习 3.当x等于什么数时,2x-3与3x+1的值互为相反数?列方程表示为:　　　　　. 4.七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共589人,到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人,设到雷锋纪念馆的人数为x人,可列方程为　　　　　. 06 课堂练习 5x−2=0 589−x=2x+56 解析 3.当 x 等于什么数时，2x−3 与 3x+1 的值互为相反数？ 根据相反数的定义，两数之和为 0，即 2x−3+3x+1=0。 化简得 5x−2=0。 4.设到雷锋纪念馆的人数为 x 人。 那么到毛泽东纪念馆的人数就是 589−x 人。 根据题意，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的 2 倍多 56 人，即 589−x=2x+56。 07 课堂例题 练习 5.某校初一年级组织学生去科技馆参观，共租用9辆大客车，每辆车有座位60个，老师共去20人，若该年级的男生比女生多30人，刚好每人都有座位，则该校女生有多少人？根据题意，只列方程，不必求解 06 课堂练习 解析 设该校女生有 y 人。 那么男生有 y+30 人。 老师共去 20 人。 总共有 9×60=540 个座位。 根据题意，每人都有座位，即 y+(y+30)+20=540。 化简得 2y+50=540。 07 课堂例题 练习 6. 某工厂三天共运出货物60箱，第一天运出20箱，第二天运出第一天的12 ，问第三天运出多少箱？根据题意，只列方程，不必求解 06 课堂练习 解析 设第三天运出 z 箱。 第一天运出 20 箱，第二天运出第一天的 ，即 10 箱。 三天共运出货物 60 箱，即 20+10+z=60。 化简得 z=30。 （注意：题目要求只列方程，不必求解， 所以这里只给出了方程 20+10+z=60） 07 课堂例题 0 新知讲解 1.理解题目： 首先，需要仔细阅读题目，确保理解题目的要求和给出的条件。 2.设立变量： 根据题目的要求，设立一个或多个变量来表示未知的数量。 这些变量将用于建立数学模型。 3.建立方程： 利用题目给出的条件和关系，建立数学方程。 总结 08 课堂小结 【知识技能类作业】必做题： 1．一批货物用载重0.5吨的小拖车4辆同时运送比用载重2.5吨的 卡车要多运5次才能运完，若设这批货物共x吨，则可列出方程（ ） A +5= B = +5 C +5= D = +5 09 作业布置 B 30 解析 设这批货物共 x 吨。 用载重 0.5 吨的小拖车 4 辆同时运送，需要运送的次数是。 用载重 2.5 吨的卡车运送，需要运送的次数是。。 根据题意，小拖车运送的次数比卡车多 5 次，即。 所以，正确选项是 B。 09 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利润25%，求这种服 装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到的方程是(　　)． A．150－x＝25%·x　　　 B．150－x＝25% C．x＝150×25% D．25%·x＝150 答案：设这种服装的成本价为 x 元。利润是 25% 的成本，即 0.25x。售价是成本加上利润，即 x+0.25x=150。 化简得 150−x=0.25x。 所以，正确选项是 A。 09 作业布置 A 32 【知识技能类作业】必做题： 3.将若干个苹果分给孩子若干人，若每人5个，则不足2个，若每人 4个则尚余3个，设孩子有x人，可列出方程 . 答案：设有 x 个孩子。 若每人 5 个，则不足 2 个，即 5x−2 是苹果的总数。 若每人 4 个，则尚余 3 个，即 4x+3 是苹果的总数。 根据题意，两者应该相等，即 5x−2=4x+3。 09 作业布置 5x−2=4x+3 4.国家规定：存款利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%.小丽有一笔一年期存款，如果到期后全取出，可取回1018元，若小丽的这笔存款是x元，根据题意，可列方程为 . 【知识技能类作业】必做题： 09 作业布置 x+x×2.25%×(1−20%)=1018 34 解析 设小丽的这笔存款是 x 元。利息是 x×2.25%。存款利息税是 x×2.25%×20%。到期后全取出，可取回x+x×2.25%−x×2.25%×20%=1018。 化简得 x×(1+2.25%−2.25%×20%)=1018。 进一步化简得 x×(1+1.8%)=1018，或者 x×1.018=1018。 但题目要求列方程，所以方程x+x×2.25%×(1−20%)=1018，或者 x(1+0.0225×0.8)=1018。 09 作业布置 5.七年级（1）班分两组参加学校的某项活动，第一组16人，第二组28人，现在要重新分组，使两组的人数相同。如果从第二组调x人到第一组去，那么可以用怎样的方程表达这个问题中的数量之间的相等关系？ 答案：设从第二组调 x 人到第一组去。 第一组原来有 16 人，调去 x 人后变为 16+x 人。 第二组原来有 28 人，调出 x 人后变为 28−x 人。 根据题意，两组人数相同，即 16+x=28−x。 【知识技能类作业】必做题： 09 作业布置 36 【知识技能类作业】必做题 6.某商店对超过15000元的商品提供分期付款服务，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元，王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要多少时间才能付清全部货款？试用方程表达下列问题中的数量之间的相等关系（仅列方程） 答案：设他需要 x 个月才能付清全部货款。 他总共需要付 3000+1500x 元。 根据题意，这个总数应该等于电脑的总价 19500 元，即 3000+1500x=19500。 09 作业布置 37 【综合拓展类作业】选做题 7.某校初一年级组织学生去科技馆参观，共租用9辆大客车，每辆车有座位60个，老师共去20人，若该年级的男生比女生多30人，刚好每人都有座位，则该校女生有多少人？ 答案：设该校女生有 x 人。 根据题目，男生比女生多30人，所以男生有 x+30 人。 根据题意得：x+(x+30)+20=9×60， 解这个方程，得到：x=245， 所以，该校女生有245人。 09 作业布置 38 05 课堂小结 1.方程的概念：含有未知数的等式叫做方程，关键要把握 “含有未知数” 和 “等式” 这两个要素 。 2.列方程的方法：首先设未知数，常选择所求量设为未知数；接着分析实际问题中的数量关系，挖掘关键信息找到等量关系；最后依据等量关系列出方程，并养成检查方程是否符合题意的习惯 10 课堂总结 $$