精品解析：浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高三上学期10月半检测数学试题

寿昌中学2025届高三数学 一、单项选择题（6*7分=42分 ） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 5. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二．多选题（2*7分=14分 ） 7. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 8. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，曲线对称中心的横坐标为定值 D. ，使在上是减函数 三、填空题（2*7分=14分 ） 9. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则__________． 10. 在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______. 四、解答题（30分） 11. 已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为，求. 12. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． （1）写出弦长公式. （2）求的方程； （3）直线与交于两点，求面积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寿昌中学2025届高三数学 一、单项选择题（6*7分=42分 ） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式得集合A，再根据交集的运算即可得答案. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得. 【详解】， 由， 则， 化简得. 故选：A. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依复数四则运算法则及复数模的意义即可得解. 【详解】, , 故选: C. 4. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：B 5. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线的方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 易知直线斜率存在，设的方程为，则圆心到的距离， 则，解得， 所以的斜率为. 故选：A 6. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二．多选题（2*7分=14分 ） 7. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，求出，从而得到在区间上是减函数；C选项，代入，得到，得到对称中心；D选项，利用左加右减，上加下减得到平移后的解析式，得到D错误. 【详解】A选项，， 故的最小正周期为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递减， 故在区间上为减函数，B正确； C选项，当时，，故， 所以关于中心对称，C错误； D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到，D错误. 故选：AB 8. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，曲线对称中心的横坐标为定值 D. ，使在上是减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；求出图象的对称中心判断C；由的解集能否为判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，由， 得图象对称中心坐标为，C正确， 对于D，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，D错误. 故选：BC. 三、填空题（2*7分=14分 ） 9. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，则， 所以. 故答案为：. 10. 在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论. 【详解】因为，为的平分线， 所以，又， 所以， 由余弦定理可得，又， 所以 所以， 所以的面积. 故答案为：. 四、解答题（30分） 11. 已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接写出通项公式和求和公式即可； （2）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写出； （3）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设公差为，结合题设有，解得， 故. 【小问3详解】 由（2）有， 故 . 12. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． （1）写出弦长公式. （2）求的方程； （3）直线与交于两点，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接写出弦长公式即可； （2）根据题意，列出关于的方程组，即可求解； （3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值； 【小问1详解】 【小问2详解】 设焦距为，依题意，解得， 又，所以， 所以的方程为． 【小问3详解】 设， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得， 则， 且点到直线的距离， 可得的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $