2025年中考数学一轮复习专题主讲练 36 投影与视图

专题36 投影与视图 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•晋江市期末）如图是小明自制的建筑物模型示意图，则该模型的主视图是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•武侯区期末）用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•河东区期末）如图，下面几何体，从左边看到的平面图形是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•青岛期末）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•英德市期末）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•临潼区期末）如图是由正方体块堆积而成的立体图形，则该立体图形从上面看得到的形状图是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•铁西区期末）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体从上面看到的形状图是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•浑南区期末）如图，是一个由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，则从正面看到的它的形状图是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•灵武市期末）小明家有一个老物件，把它抽象成如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图为　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•深圳期末）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•邛崃市期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 　　个． 12．（2024秋•即墨区期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是 　　． 13．（2023秋•宝鸡期末）小兰身高，她站立在阳光下的影子长为；她把手臂竖直举起，此时影子长为，那么小兰的手臂超出头顶 　　． 14．（2024秋•南海区校级期中）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置的影子和站在位置的影子相比，在位置 　　（填“”或“” 的影子长一些． 15．（2024秋•高陵区期末）设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：，现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要 　　平方米的毛毡取． 16．（2024秋•泉山区校级期末）如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是　　． 17．（2024秋•郫都区校级期中）如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 　　． 18．（2024秋•锦江区校级期中）如图，小明家的客厅有一张高0.6米的圆桌，直径为0.8米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系；其中点的坐标为，则点的坐标是 　　． 19．（2024•湖南模拟）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有 　　个． 20．（2024秋•金凤区校级期中）用小方块搭一个几何体，它的从正面看与从上面看如图所示，则它最多需　　个立方块． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•金水区校级期末）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． （1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； （2）若每个小正方体的棱长为 ，则这个几何体的表面积（包括底部）为　　． 22．（2024秋•青羊区校级期末）如图1是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图，每个小正方体的棱长为． （1）请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图2所提供的方格内涂上相应的阴影即可） （2）请计算出该几何体的表面积； （3）如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体？ 23．（2024秋•双流区期末）用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． （1）请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来． 24．（2024秋•大东区期末）如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． （1）在网格中画出从正面看、左面看和从上面看的形状图； （2）如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． 25．（2024秋•成都月考）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体， （1）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． （2）若每个小正方体的棱长为，求这个组合体的体积． 26．（2023秋•任城区期末）如图是一个几何体的三视图． （1）写出几何体的名称； （2）根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（精确到． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C A C A D B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：该模型的主视图是． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：这个组合体的左视图如下： 故选：． 3．【答案】 【解答】解：已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：从左面看，可得选项的图形． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到图形如下， ． 故选：． 7．【答案】 【解答】解：这个组合体的主视图如下： 故选：． 8．【答案】 【解答】解：这个组合体从正面看到的图形为： 故选：． 9．【答案】 【解答】解：根据题意得：这个几何体的俯视图是 故选：． 10．【答案】 【解答】解：选项、的俯视图不符合题意，选项的主视图和俯视图均不符合题意； 选项的三视图符合题意． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】7． 【解答】解：根据俯视图发现最底层有5个小立方块，从主视图发现第二层最少有2个小立方块， 故最少有个小立方块． 故答案为：7． 12．【答案】4． 【解答】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有3个小正方体， 第二层有1个小正方体， 所以最少有个小正方体， 故答案为：4． 13． 【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，则， 解得， ， 故小兰的手臂超出头顶， 故答案为：40 14．【答案】． 【解答】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置离路灯比位置离路灯远， 在位置的影子长些； 故答案为：． 15．【答案】33． 【解答】解：根据图形可知，一个这样的蒙古包，需要的毛毡为： （平方米）， 故答案为：33． 16．【答案】18． 【解答】解：正方形的边长为3， 直线为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6， 从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形， 从左面看所得几何体，得到的形状图的面积， 故答案为：18． 17． 【解答】解：由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱，底面是两条直角边的分别为，的直角三角形，高是， 所以体积为， 故答案为：96． 18．【答案】，． 【解答】解：过点作轴，垂足为，由题意得，米，米， ， △△， ， 即， 解得：， 米，， ，， 故答案为：，． 19．【答案】9． 【解答】解：搭成这个几何体的小立方块最少可以为如图所示： 故搭成该几何体的小立方块的个数最少（个． 故答案为：9． 20．【答案】12． 【解答】解：如图可知，这个几何体的底层最多需要5个小立方块，第二层最多要4个，第三层最多要3个， 因此这样的几何体最多要12个小立方块， 故答案为：12． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】解：（1）如图所示． （2）这个几何体的表面积为． 故答案为：． 22．【答案】（1）详见解答； （2）； （3）6． 【解答】解：（1）画出它的主视图、左视图如图所示： （2）这个几何体的表面积为， 答：这个组合体的表面积为； （3）如图，在俯视图的相应位置标注所能摆放最多的小正方体的个数，所以最多可以添加（个， 答：最多可以再添6个小正方体． 23．【答案】（1）详见解答； （2）4． 【解答】解：（1）这个组合体的三视图如下： （2）在俯视图相应位置标注添加最多时的数量如图所示，所以最多可以再添加4个小立方块． 24．【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】解：（1）如图所示： （2）露出表面的面一共有（个，则这个几何体喷漆的面积为：． 25．【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】解：（1）如图所示， （2）， 这个组合体的体积为． 26．【解答】解：（1）由三视图可知，原几何体为圆锥； （2）这个几何体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题36 投影与视图 模型1 投影的概念和理解 5 模型2 与投影有关的计算 7 模型3 几何体的三视图 10 模型4 根据三视图确定几何体 13 模型5 由视图确定几何体的表面积和体积 15 模型归纳 1．简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆锥的三视图 球体的三视图 正方体的三视图 圆台的三视图 圆柱的三视图 2．简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 3．由三视图判断几何体 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 4．作图-三视图 （1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （4）具体画法及步骤： ①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”． 要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 5．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 6．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 7．视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区． 方法归纳 1．确定平行投影中物体或影子的方法：平行投影中的物体，光线、影子构成一个三角形，在平行投影中光线是平行的，因此由一条光线就可以作出其他平行光线，进而可以作出相应的物体或影子． 2．由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 3．两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例． 4．由三视图想象立体图时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形． 5．从实线和虚线想象几何体看得见和看不见的部分的轮廓线． 模型1 投影的概念和理解 典例 （2024秋•城阳区期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是　　 A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】 【解答】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．平行投影 （1）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （2）平行投影的物高与影长对应成比例． 2．中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 3．正投影 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 【变式练1】　（2024秋•莱芜区期末）皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把男影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪膨，一边演唱，并配以音乐，皮影戏也称为影戏、灯影戏．土影戏等，则皮影形成的影子是 　　投影．（填“平行”或“中心” 【答案】中心． 【解答】解：皮影形成的影子是中心投影． 故答案为：中心． 【变式练2】　（2024秋•温江区期末）烛光照射下人的影子属于 　　投影．（填“平行”或“中心” 【解答】解：烛光发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，烛光照射下人的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 【变式练3】　（2024•介休市模拟）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以选项错误； 、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以选项错误； 、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以选项错误； 、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以选项正确． 故选：． 模型2 与投影有关的计算 典例 （2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为，则表高为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设表高为 ． 由题意， 解得． 表高为． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 求解的关键是能正确把握题目的关键信息，并利用投影以及相似的相关性质构建解题思路． 【变式练1】　（2024秋•永寿县校级期末）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，小树与路灯的水平距离，则路灯的高度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，， ， △△， ， 即：， 解得：， 故选：． 【变式练2】　（2024•渠县校级模拟）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：△，，， ， ， ， 故选：． 【变式练3】　（2024•南关区校级模拟）如图，是线段在投影面上的正投影，已知 ，，则投影的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ． ， ． 在中，， ． 故选：． 模型3 几何体的三视图 典例 （2024秋•东西湖区期末）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构．图（2）是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：从前面看到的图形为： 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．物体的三视图中的各个视图，分别从不同角度表示物体的形状，三者合起来能够较全面地反映物体的形状． 2．三视图与投影的关系：物体的主视图、左视图、俯视图可以看成一束平行光线分别从物体的正面、左面、上面照射，在垂直于这一方向光线的平面上所形成的正投影． 3．画三视图时，看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线． 【变式练1】　（2024秋•厦门期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意可知，从左面看到的形状图为： ． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•市北区期末）我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种构件中榫的示意图，这个榫的俯视图是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：这个几何体的俯视图为： 故选：． 【变式练3】　（2024秋•雁塔区校级期末）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一，如图是一个“老碗”，从正面、左面、上面看这个“老碗”，下列说法正确的是　　 A．从正面看和从左面看的形状图相同 B．从正面看和从上面看的形状图相同 C．从左面看和从上面看的形状图相同 D．从正面、左面和上面看的形状图都相同 【答案】 【解答】解：从正面看和从左面看，看到的图形相同． 故选：． 模型4 根据三视图确定几何体 典例 （2024秋•沙河口区期末）如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为　　 A．圆锥 B．三棱锥 C．圆柱 D．长方体 【答案】 【解答】解：根据三视图可知这个立体图形的名称为圆锥． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性．例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等． 2．对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系． 【变式练1】　（2024秋•普宁市期末）一个几何体的部分视图如图，则该几何体是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•宝安区期末）小彬用若干个完全相同的正方体摆成一个立体图形，其三视图如图，这个立体图形有　　个正方体． 【答案】3． 【解答】解：由从上面看到的图形易得底层有2个正方体，由主视图和左视图可得第二层有1个正方体， 那么共有个正方体组成， 故答案为：3． 【变式练3】　（2024秋•石景山区校级期中）如图是某几何体的三视图，该几何体是　　 A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱 【答案】 【解答】解：根据三视图得，该几何体的三视图是三棱柱， 故选：． 模型5 由视图确定几何体的表面积和体积 典例 （2024秋•淮北期末）已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积． 【解答】解：根据该组合体的三视图的形状可知， 该组合体为下面是长为，宽为，高为的长方体，上面是底面直径为，高为的圆柱体， 所以该组合体的侧面积为：， 体积为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．根据物体三视图的关系，可利用主视图和左视图得出俯视图的相关数据． 2．由三视图计算组合体的的表面积或体积时，同样先根据三视图确定几何体的形状，可将其分成多个基本几何体，然后根据几何体的形状画出展开图，计算其表面积或体积． 【变式练1】　（2024秋•兴庆区校级期末）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为 　　． 【答案】540． 【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，侧面由长分别是，，，高均为的三个矩形组成， 故该几何体的侧面积为：． 故答案为：540． 【变式练2】　（2024秋•中原区校级月考）一个物体是由棱长为的正方体模型堆砌而成的，其从不同方向看到的形状图如图所示： （1）请在从上面看到的形状图上上标出小正方体的个数； （2）求该几何体的体积； （3）求该几何体的表面积． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解答】解：（1）如图所示： （2）根据（1）可得小正方体的个数为10， ， 答：该物体的体积是； （3）， 答：该几何体的表面积是． 【变式练3】　（2024秋•新城区月考）如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：，计算出这个立体图形的表面积． 【答案】． 【解答】解：根据三视图可得：上面的长方体长，高，宽， 下面的长方体长，宽，高， 立体图形的体积是：， 立体图形的表面积是： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$