27.2 相似三角形（题型梳理）讲义+练习 2024-2025学年人教版九年级数学下册

27.2 相似三角形 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•昆都仑区期末）已知，一个三角形的三边长分别为4、5、6，如果它与另一个三角形相似，那么另一个三角形的三边长可能是　　 A．2、3、4 B．8、10、12 C．12、15、20 D．15、20、30 2．（2024秋•郫都区期末）如图，在△中，，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•吉林期末）已知与△相似，且相似比为，则与△的周长比为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•天府新区期末）如图，在△中，，分别是和上的点，且，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•行唐县期末）如图，在△中，点、分别在△的边、上，不一定能使△与△相似的条件是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•洛江区期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•碑林区校级期末）如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则的长为　　 A．6 B．5 C． D．4 8．（2024秋•莲湖区期末）如图，是平行四边形边延长线上的一点，且，连接，交于点，若，则平行四边形的面积是　　 A．20 B．22 C．24 D．26 9．（2024秋•碑林区期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则　　 A．12 B．9 C．6 D．3 10．（2025•崇明区一模）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•昆都仑区期末）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，则旗杆的高度为 　　． 12．（2024秋•五华区校级期末）如图，在△中，点，分别在，边上，，若，则 　　． 13．（2024秋•苏州期末）如图，△中，，分别是边，上的点，连接，，交点为．若，，，则线段的长为 　　． 14．（2024秋•碑林区校级期末）已知两个相似三角形的周长之比是，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是 　　． 15．（2024秋•梅里斯区期末）如图，已知，请添加一个条件 　　（不添加字母及辅助线）使△与△相似． 16．（2024秋•潍坊期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，于，交于点，且．则点的坐标为 　　． 17．（2025•崇明区一模）点、分别在△的边、上，如果，那么 　　时，． 18．（2025•长宁区一模）如图，，如果，，，那么的长是 　　． 19．（2024秋•成华区期末）如图，小明同学用木棍制成的△测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 　　米． 20．（2025•黄浦区一模）如果一个等腰三角形的三边长均扩大为原来的10倍，那么这个等腰三角形底边上的高扩大为原来的 　　倍． 三、解答题（共9小题） 21．（2024秋•鄠邑区期末）已知，如图，在中，，于，求证：． 22．（2025•金山区一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）联结，若，，求证：四边形是菱形． 23．（2024秋•东西湖区期末）如图，△中，，点为边上一点，于点． （1）求证：△△； （2）若，，，则 　　（直接写出结果）． 24．（2024秋•长治期末）如图，在△中，点是边上的一点，连接，请添加一个条件，使△△，并说明理由． 25．（2024秋•西山区校级期末）如图，在△中，，分别是，边上的点，且． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 26．（2024秋•西安期末）某校社会实践小组为测量大雁塔的高度，如图，在地面上点处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米．将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，，，，在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． 27．（2025•黄浦区一模）已知在△中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，联结． （1）证明：△△； （2）如果，求证：． 28．（2025•闵行区一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，联结并延长交于点，联结并延长交于点． （1）求证：； （2）求证：． 29．（2024秋•双流区期末）在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C C B C C A 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解两个三角形相似的三边对应成比例， ， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：， ， ，， ， ． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：与△相似，且相似比为， 与△的周长比为， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：，分别是和上的点，且， ，，， ， 故不符合题意，不符合题意，不符合题意； ， △△， ， ， ， 这一结论是错误的， 故符合题意， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：在△中，点、分别在△的边、上，， ．，能使△与△相似， 故该选项不符合题意； ．，能使△与△相似， 故该选项不符合题意； ．，不能使△与△相似， 故该选项符合题意； ．，能使△与△相似， 故该选项不符合题意． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：， ，， △△， 点到的距离为，点到的距离为， 根据相似三角形对应高的比等于相似比可得， ， ， 答：蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：四边形是矩形，，， ，，， ， ，垂足为， ， ， △△， ， ， ， 故选：． 8．【答案】 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， 是延长线上的一点，交于点，且， ，， ，， ，， △△， ， ， ， ， △△， ， ， ， 故选：． 9．【答案】 【解答】解：， ， ，， ， ． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：在三角形纸片中，，，． 、，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似，故此选项符合题意； 、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项不符合题意； 、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项不符合题意； 、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项不符合题意； 故选：． 二、填空题（共10小题） 11． 【解答】解：设与交于， ，， ， ， ， 即：， ， ， ． 故答案为：13.5． 12． 【解答】解：， ， ， ，， △△， ． 故答案为：． 13．【答案】7.5． 【解答】解：如图，过点作于，于点，过点作于点，过点作于点， ，， △是等边三角形， ，， ，， 在△中，，，， ，， 在△中，， ， 在△中，， ， 在△中， 设，则， 在△中，， ， 解得：， ， ， 在△和△中， ，， △△， ， 即：， ， 在△和△中， ，， △△， ， ， ， ， ， 故答案为：7.5． 14．【答案】40． 【解答】解：两个相似三角形的周长之比是， 两个相似三角形的面积之比是， 设较小三角形的面积是，则较大三角形的面积是， 根据题意得：， 解得：， ， 即较小三角形的面积是40． 故答案为：40． 15． 【解答】解：添加， ，， △△． 故答案为：（答案不唯一）． 16．【答案】． 【解答】解：，， ， ． 又， ． ， △△， ． 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：． 17．【答案】． 【解答】解：，， △△， ， ， 由，可推导出，从而证明△△，进而证明， 故答案为：． 18．【答案】4.2． 【解答】解：， ， ，，， ， ， 故答案为：4.2． 19．【答案】12． 【解答】解：延长交于， ，，， 四边形是矩形， 米，米， ，， △△， ， ， ， （米， 答：旗杆的高度米． 故答案为：12． 20．【答案】10． 【解答】解：一个等腰三角形的三边长均扩大为原来的10倍， 这两个等腰三角形相似，相似比是10， 相似三角形对应边上的高的把比定义相似比， 这个等腰三角形底边上的高扩大为原来的10倍， 故答案为：10． 三、解答题（共9小题） 21． 【解答】证明：，， ， ， ， ， ． 22．【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，， ， △△， ， ， △△， ， ， ． （2）联结， ， ， ， △△， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 四边形是菱形． 23．【答案】（1）证明见解答； （2）4． 【解答】（1）证明：，于点， ， ， △△． （2）解：△△， ， ，，， ， 故答案为：4． 24．【答案】添加（答案不唯一），理由见解析． 【解答】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： ，， △△． 25．【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：， 即， 又， △△； （2）解：△△， ， ，， ， ． 26．【答案】大雁塔的高度为62米． 【解答】解：由题意可得：， △△， ， ， △△， ， ， ， ， （米， ， ， （米， 答：大雁塔的高度为62米． 27．【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【解答】证明：（1）平分，是延长线上一点， ，， ， ， ， △△． （2）△△， ，， ， ， ， ， ， ， △△， ， ． 28．【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）平分， ， 在△和△中， ， △△， ； （2），，， ， ， ，， 又△△， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ． 29．【答案】像的高是13.5厘米． 【解答】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， △△， ， ， ， ， △△， ， ， ， 像的高是13.5厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2 相似三角形 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】平行线分线段成比例 4 【题型2】相似三角形的性质 7 【题型3】相似三角形的判定 10 【题型4】相似三角形的应用 15 1．相似三角形 （1）概念：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形． （2）相似三角形的表示方法： 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 2．平行线分线段成比例 （1）定理1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （2）推论： ①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． ②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． ③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 3．相似三角形的判定 （1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF． （2）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （3）相似三角形的判定定理： ①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． ③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． （4）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． 4．相似三角形的性质 （1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比． （3）相似三角形周长的比等于相似比． （4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 1．判定三角形相似的几条思路： （1）相似三角形的判定定理： ①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． ③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． （2）判定定理的选择 ①条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定定理1； ②条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定定理1或再找夹边成比例用判定定理2； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等，用判定定理3； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 2．运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似．特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根． 3．解相似三角形应用题的两个原则： （1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边． （2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则． 4．利用相似三角形证明等积式的步骤 （1）将等积式转化为比例式； （2）观察比例式中的线段是否分别在两个形状相同的三角形中（可采用三点定形法；也可在图中标出这些线段，通过观察确定），若在两个形状相同的三角形中，可证明这两个三角形相似，若不在两个形状相同的三角形中，可利用如下方法转化： ①等线段转化； ②中间比转化； ③添加辅助线构造相似三角形转化； （3）根据相似三角形对应边成比例或中间的转化得到比例式，再化为等积式． 【题型1】平行线分线段成比例 例1 （2024秋•晋江市期末）如图，直线，，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、， ，故本选项结论错误，不符合题意； 、时，的值不能确定 、， ，故本选项结论正确，符合题意； 、由的解答可知：本选项结论错误，不符合题意； 故选：． ◄ 点拨 ► 抽象出“A”型或“X”型图形，列出含有一条待求线段和三条已知线段的比例式． 【变式练1】　（2024秋•上城区期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为　　 A．3 B．4 C．4.5 D．6 【变式练2】　（2024秋•南海区期末）如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知，，，，则　　 A． B． C． D． 【变式练3】　（2024秋•温江区期末）如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则　　 A．8 B．10 C．12 D．16 1．【答案】 【解答】解：， ， ，，， ， ． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：， ， ，，， ， ． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：， ， ，， ， ， ． 故选：． 【题型2】相似三角形的性质 例2 （2024秋•郴州期末）如图，点，分别在△的边，上．已知△△，且，，，求的长． 【答案】7． 【解答】解：△△， ， ，，， ， 解得：． ◄ 点拨 ► 1．运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似．特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根． 2．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，这里要特别注意“对应”，在应用时，要注意找准对应线段． 【变式练4】　（2024秋•顺德区期末）已知△△，且，若△的周长是6，则△的周长是　　 A．3 B．6 C．12 D．18 【变式练5】　（2024秋•婺城区期末）如图，△△，，，则等于　　 A． B． C． D． 【变式练6】　（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，在△中，，，，于，点为射线上一点，连接，若△与△相似． （1）求的长； （2）请直接写出△与△的面积比． 4．【答案】 【解答】解：△△，， 所以周长的比为， △的周长为6， △的周长为12． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：△△， ， ， ， 故选：． 6．【答案】（1）6或； （2）或3． 【解答】解：（1）在△中，，，， ， 当△△时，，即， ； 当△△时，，即， 解得：； 的长为6或； （2）当△△时，面积比； 当△△时，面积比， 则△与△的面积比为或3． 【题型3】相似三角形的判定 例3 已知：如图，，． 求证：△△． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：，， △△，， ， ， △△． ◄ 点拨 ► （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式练7】　（2024秋•紫金县期末）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：△△． 【变式练8】　（2024秋•宿豫区期末）如图，、分别是和△的中线，且，判断与△是否相似，并说明理由． 【变式练9】　（2024秋•蚌埠期中）如图，在△中，，是的平分线．在边上取一点，连接，使得． （1）求证：； （2）作，交于点，连接．求证：△△． 7． 【解答】证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， △△． 8． 【解答】解：△．理由如下： 延长到，使，延长到，使， ，， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 同理得△△， ，， ， △， ，， ， ， ， △． 9．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解答】证明：（1）由是角平分线可知， ， ， ， ． （2）由条件可知：， ， ， ， 同理，，， ，，是△的中位线， 故， △△． 【题型4】相似三角形的应用 例4 （2024秋•高新区期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为2.4米．小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为1.6米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）小明的身高为1.65米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ （2）此刻测得高立柱落在墙上的影长为1.3米，求高立柱的高度． 【答案】（1）小明的影长为2.2米； （2）高圆柱的高度为3.1米． 【解答】解：（1）设小明的影长为米． 由题意得，解得， 经检验：是分式方程的解． 小明的影长为2.2米； （2）如图，连接，作． ， 四边形是平行四边形， 米， 设米， 由题意落在地面上的影长为2.4米． ， ， （米， 答：高圆柱的高度为3.1米． ◄ 点拨 ► （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【变式练10】　（2024秋•大连期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为，求支点到地面的距离． 【变式练11】　（2024秋•西湖区校级月考）如图，矩形为台球桌面，，，球目前在点位置，，如果小丁瞄准边上的点将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点位置． （1）求证：△△； （2）求的长． 【变式练12】　（2024秋•秦都区校级期中）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向移动1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续移动15米放在处（即米），从点处移动1.6米到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点．已知小明眼睛到地面的距离米，点、、、、在同一条直线上，，，．请根据题中提供的相关信息，求出这个塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 10．【答案】支点到地面的高度为为． 【解答】解：依题意得：，， ， △△， ， 又，， ， ，同理可证：△△， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 11．【答案】（1）证明过程见解答； （2）的长为． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， 由题意得：， △△； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， △△， ， ， 解得：， 的长为． 12．【答案】42.5米． 【解答】解：由题意知，，，，， ，， △△，△△， ，， ，， 由①得，， 将代入②可得，， 解得， 答：这个塔的高度为42.5米． 学科网（北京）股份有限公司 $$