第五章图形的轴对称 练习课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第五章　图形的轴对称 1　轴对称及其性质 知识点1　轴对称图形 基础过关全练 1.(2024江苏苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的是 (        )  　　　     　　　     　　　      A 解析    B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线, 使图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以 不是轴对称图形.A选项中的图形符合轴对称图形的定义,是 轴对称图形.故选A. 2.(2022四川眉山中考)下列英文字母为轴对称图形的是  (　    ) A.W　　　    B.L　　　    C.S　　　    D.Q A 解析　四个选项中,只有A选项符合轴对称图形的定义,故选 A. 3.(2024天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中,可以看成轴对称图形的是 (　    )  　　　     　　　     　　　      C 解析　四个选项中,只有C选项符合轴对称图形的定义,故选 C. 4.[教材变式]画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完 成表格.  　　　     　　　     　　　      正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表,猜想正n边形有　　　　　    条对称轴. 解析　如图.                  完成表格如下: 正多边形 的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的 条数 3 4 5 6 7 … 根据上表,猜想正n边形有n条对称轴. 知识点2　两个图形成轴对称 5.下列各选项中,左边图形与右边图形成轴对称的是 (        )                  D 解析　根据两个图形成轴对称的概念,可得选项A,B,C中左 边图形与右边图形不成轴对称,只有选项D中左边图形与右 边图形成轴对称.故选D. 6.[教材变式]如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称 的吗?如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对称点.   解析　题图(1)(3)中的两个图案是成轴对称的,题图(2)中的 两个图案不是成轴对称的. 如图1,点A、B是一对对称点,直线l是对称轴. 如图2,点C、D是一对对称点,直线m是对称轴. 知识点3　轴对称的性质 7.(2024山东烟台莱州期中)如图,线段AB与A'B'(AB=A'B')不关 于直线l成轴对称的是(　    ) A 解析　观察四个选项,A项中点A与点A',点B与点B'的连线没 有被直线l垂直平分,所以A项中的线段AB与A'B'不关于直线l 成轴对称,故选A. 名师点津　关于直线对称的两条直线若平行,则也与对称轴 平行,若相交,则交点在对称轴上. 8.(新独家原创)如图,将长方形纸片ABCD沿AE折叠,点D恰好 落在BC边上的点F处,若∠DAE=20°,则∠FEC=　　　　       °. 40 解析　因为四边形ABCD为长方形,所以∠D=90°. 所以∠DEA=90°-∠DAE=90°-20°=70°. 由折叠知∠AEF=∠DEA=70°. 所以∠FEC=180°-∠AEF-∠DEA=40°. 知识点4　画成轴对称的图形 9.(2023江苏盐城阶段练习)用三角尺画△ABC关于直线l对称 的三角形.   解析　如图所示,△A'B'C为所求作的图形.   10.(2024河南郑州期末改编,1,★☆☆)下列运动项目图标中, 不是轴对称图形的是 (　    ) 能力提升全练 B 解析　观察4个选项,只有B项不符合轴对称图形的定义,故 选B. 11.(2024河北中考,3,★☆☆)如图,AD与BC交于点O,△ABO 和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下 列不一定正确的是 (　    )   A.AD⊥BC　　　     B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO　　　    D.AC∥BD A 解析　如图,连接AC、BD,   因为△ABO和△CDO关于直线PQ对称, 所以△ABO≌△CDO,PQ⊥AC,PQ⊥BD. 所以AC∥BD,故B、C、D选项正确. AD不一定垂直于BC,故A选项不一定正确,故选A. 12.(新考向·方案设计题)(2023安徽淮南谢家集期中,19,★★ ☆)如图,在4×4的方格中,请分别在甲、乙、丙三个图中添加 一个阴影正方形,与其余五个阴影正方形组成的新图形是一 个轴对称图形.             解析　如图所示(答案不唯一).             13.(抽象能力)(2024山东烟台莱州期中)如图,由边长均为1的 小正方形组成的网格图中,点A,B,C都在格点上. (1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称. (2)在直线l上确定点P,使PB+PC最小.(画出示意图,并标明点 P的位置即可) (3)在直线l上确定点M,使MB-MC最大.(画出示意图,并标明点 M的位置即可) (4)△ABC的面积是　　　　　    . 素养探究全练   解析    (1)如图所示,△A1B1C1即为所求. (2)如图所示,点P即为所求. (3)如图所示,点M即为所求.   (4)5. 详解:△ABC的面积=3×4- ×2×3- ×2×2- ×1×4=5. 微专题　利用轴对称的性质求线段和的最小值(将军饮马模型) 方法指引 求不在同一条直线上的几条线段和的最小值问题, 常通过作一点或几点关于某直线或分别关于几条直线的对 称点,将问题转化为两点之间的最短距离问题,则根据两点之 间线段最短,即可求得最值. 1.(2023山西吕梁交城期末)直线a是一条输气管道,M,N是管 道同侧的两个村庄,现计划在直线a上修建一个供气站O, 向M,N两村庄供应天然气.在下面四种方案中,铺设管道最短 的是 (　    )  　　      C 解析　作点M关于直线a的对称点M',连接M'N交直线a于O.可 知OM=OM'. 根据两点之间,线段最短,可知选项C铺设的管道符合题意. 故选C. 2.(2024河南郑州期末)如图,在四边形ACDB中,∠CAB=114°, M、N分别是BD、CD上的动点,当△AMN的周长最小时,∠ MAN的度数为 (　    )   A.66°　　    B.48°　　    C.57°　　    D.90°B     B 解析　如图,分别作A关于BD、CD的对称点A'、A″,连接A' A″,交BD于M,交CD于N,则此时△AMN的周长取得最小值.   因为∠CAB=114°,所以∠AA'M+∠A″=66°. 因为∠MA'A=∠MAA',∠NAC=∠A″,所以∠MAN=114°-66°= 48°,故选B. 谢谢观看 初中地理 谢谢观看 $$第1课时　等腰三角形的性质 第五章　图形的轴对称 2　简单的轴对称图形 知识点1　等腰三角形的性质 基础过关全练 1.(2024甘肃兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130 °,DA⊥AC,则∠ADB= (　    ) A.100°　　　    B.115°　　　    C.130°　　　    D.145° B 解析　因为在△ABC中,AB=AC,所以∠B=∠C. 因为∠BAC=130°,所以∠B=∠C= =25°. 因为DA⊥AC,所以∠DAC=90°. 所以∠ADC=90°-25°=65°. 所以∠ADB=180°-∠ADC=180°-65°=115°. 故选B. 2.[教材变式](2024湖南中考)若等腰三角形的一个底角的度 数为40°,则它的顶角的度数为　　　　　    °.  100 解析　因为等腰三角形的一个底角的度数为40°, 所以这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°. 所以这个等腰三角形的顶角的度数为180°-2×40°=100°. 3.(2023四川泸州期末)如图,在△ABC中,∠A=44°,AB=AC,BD 平分∠ABC交AC于D点,求∠BDC的度数.   解析　因为AB=AC,所以∠ABC=∠C= ×(180°-∠A)= ×(180 °-44°)=68°, 因为BD平分∠ABC, 所以∠DBC= ∠ABC= ×68°=34°, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-34°-68°=78°. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于 点E.试说明:∠CBE=∠BAD.   解析　因为AB=AC,AD是BC边上的中线, 所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 所以∠CAD+∠C=90°. 因为BE⊥AC,所以∠CBE+∠C=90°. 所以∠CBE=∠CAD. 所以∠CBE=∠BAD. 知识点2　等边三角形的性质 5.(2023甘肃武威中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高, 以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长于点E,则∠DEC = (　    ) A.20°　　　    B.25°　　　    C.30°　　　    D.35° C 解析　在等边△ABC中,∠ABC=60°, 因为BD是边AC上的高,所以BD平分∠ABC. 所以∠CBD= ∠ABC=30°. 因为BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°.故选C. 6.(新独家原创)如图,点D,E是等边三角形ABC的边BC上的两 点,连接AD,AE,若AD=AE,AB=10,DE=4,则BD的长为　　     . 3 解析　如图,过点A作AF⊥BC于点F.   因为AD=AE,△ABC是等边三角形,所以DF=EF,BF=CF. 因为BC=AB=10,DE=4,所以BF=5,DF=2. 所以BD=BF-DF=3. 7.如图,△ABC为等边三角形,P为边BC上一点,连接AP,在AC 上取一点D,使AD=AP,连接PD,若∠APB=104°,则∠ADP的度 数是　　　　　    . 68° 解析　因为△ABC是等边三角形, 所以∠B=∠BAC=60°, 因为∠APB=104°, 所以∠BAP=180°-∠B-∠APB=16°, 所以∠PAD=∠BAC-∠BAP=44°, 因为AD=AP,所以∠APD=∠ADP, 所以∠ADP= (180°-∠PAD)=68°. 8.(2024四川宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边 BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.试说明:AD=BE.   解析　因为△ABC为等边三角形, 所以∠ABD=∠C=60°,AB=BC. 在△ABD和△BCE中,  所以△ABD≌△BCE(SAS). 所以AD=BE. 9.(2023山东青岛期末,5,★★☆)如图,某海域中有A,B,C三个 小岛,其中C在A的北偏东70°方向,C在B的南偏东35°方向,B, C到A的距离相等,则小岛A相对于小岛B的方向是(　    ) A.北偏东70°　　　    B.北偏东40° C.南偏西40°　　　    D.南偏西35° C 能力提升全练 解析　如图,设∠ABD=α,则∠ABC=35°+α,   因为AE∥BD,所以∠BAE=∠ABD=α, 所以∠BAC=70°-α, 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=α+35°, 所以70°-α+2(α+35°)=180°, 解得α=40°,所以∠ABD=40°, 所以小岛A在小岛B的南偏西40°方向,故选C. 10.(2023山东青岛期末,13,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AC =AB,AD⊥BC,DE∥AB.若∠C=72°,则∠ADE的度数为　　     °.   18 解析　因为AC=AB,AD⊥BC, 所以AD平分∠BAC,∠ADC=90°, 所以∠CAD=∠BAD,∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=72°,所以∠CAD=18°, 因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD,所以∠ADE=∠CAD=18°. 故答案为18. 11.(方程思想)(2024四川内江中考,23,★★☆)如图,在△ABC 中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　　　     .  　      100° 解析　因为AC=AE,BC=BD, 所以设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°. 所以∠A=180°-2x°,∠B=180°-2y°. 因为∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°, 所以∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=180°,180°-(x°+y°)=∠DCE, 所以∠ACB+360°-2(x°+y°)=180°, 所以∠ACB+2∠DCE=180°. 因为∠DCE=40°,所以∠ACB=100°. 12.(易错题)(2024河南郑州期末,15,★★☆)如图,在△ABC中, AB=AC,∠ABC=75°,分别以A,B为圆心,以AB的长为半径的两 条弧相交于点P,则∠APC的度数为　　　　　    .  45°或75° 解析　分两种情况讨论如下: ①当交点P在AB的左侧时,连接PB,如图1. 由作图可知AP=AB=PB,所以△ABP为等边三角形. 所以∠PAB=60°.因为AB=AC,∠ABC=75°, 所以∠ACB=∠ABC=75°,AP=AB=AC. 所以∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=30°. 所以∠PAC=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°. 所以△APC为等腰直角三角形.所以∠APC=45°.        ②当交点P在AB的右侧时,连接PB,如图2. 同理△ABP为等边三角形,∠BAC=30°,AP=AC, 所以∠PAB=60°. 所以∠CAP=∠PAB-∠BAC=30°. 所以∠APC= (180°-∠CAP)= ×(180°-30°)=75°. 综上所述,∠APC的度数为45°或75°. 13.(2023江苏苏州中考,20,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC, AD为△ABC的角平分线,以点A为圆心,AD长为半径画弧,与 AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF. (1)说明:△ADE≌△ADF. (2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数. 解析    (1)因为AD是△ABC的角平分线, 所以∠BAD=∠CAD. 由作图知AE=AF. 在△ADE和△ADF中,  所以△ADE≌△ADF(SAS). (2)因为∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线, 所以∠EAD= ∠BAC=40°, 由作图知AE=AD,所以∠AED=∠ADE. 所以∠ADE= ×(180°-40°)=70°. 因为AB=AC,AD为△ABC的角平分线, 所以AD⊥BC. 所以∠BDE=90°-∠ADE=20°. 14.(推理能力)(2024浙江杭州滨江期中改编)如图,△ABC是 等边三角形,D是线段BC上一点(不与点B,C重合),连接AD,点 E,F分别在线段AB,AC的延长线上,且DE=DF=AD. (1)试说明:∠E=∠CDF. (2)判断点D从B运动到C的过程中,△CDF的周长的变化规 律,并说明理由. 素养探究全练 解析    (1)因为△ABC是等边三角形, 所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. 所以∠EBD=∠DCF=120°. 因为DF=AD,所以∠CAD=∠F. 又因为∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,∠CDF+∠F=180°-∠ DCF=∠ACB=60°, 所以∠BAD=∠CDF. 因为DE=AD,所以∠BAD=∠E.所以∠E=∠CDF. (2)△CFD的周长的变化规律是先变小后变大. 理由:在△BDE和△CFD中,  所以△BDE≌△CFD(AAS),所以BD=CF, 所以△CFD的周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD. 因为在点D从B运动到C的过程中,BC的长不变,AD的长先变 小后变大,其中当点D运动到BC的中点位置时,AD的长最小, 所以在点D从B运动到C的过程中,△CFD的周长的变化规律 是先变小后变大. 第2课时　线段垂直平分线的性质 第五章　图形的轴对称 2　简单的轴对称图形 知识点1　线段的垂直平分线及其性质 基础过关全练 1.(2024四川凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE 垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC = (　    ) A.25 cm　　　    B.45 cm　　　     C.50 cm　　　    D.55 cm C 解析　因为DE垂直平分AB交BC于点D,所以AD=DB. 因为△ACD的周长为50 cm, 所以AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=50 cm,故选C. 2.(2023陕西咸阳秦都期末)如图,在△ABC中,点O是△ABC内 一点,连接OB、OC,OD垂直平分AB,若OB=OC,OC=4,则点A, O之间的距离为 (　    ) A.4　　　    B.8　　　    C.2　　　    D.6 A 解析　如图,连接OA.   因为OD垂直平分AB,所以OA=OB. 因为OB=OC=4,所以OA=OB=OC=4,故选A. 3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线DE交AC于点D,交BC的 延长线于点E,连接AE,如果∠B=50°,∠BAC=21°,求∠CAE的 度数.   解析　因为DE垂直平分AC,所以EA=EC. 所以∠EAC=∠ECA.因为∠B=50°,∠BAC=21°,所以∠BCA= 180°-∠B-∠BAC=109°,所以∠CAE=∠ECA=180°-∠BCA= 180°-109°=71°. 知识点2　用尺规作线段的垂直平分线 4.(2024四川眉山中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分 别以点A,点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧交于 点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长 为 (　    ) A.7　　　     B.8　　　 C.10　　　    D.12 C 解析　由题图知,EF垂直平分AB,所以AD=BD. 所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC.因为 AB=AC=6,BC=4,所以△BCD的周长=6+4=10.故选C. 5.(2023广东深圳实验学校期末)如图所示,已知△ABC(AC< AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得PA+PC=BC,则 符合要求的作图痕迹是 (　    )  　　　     　　　     A 解析　因为PA+PC=BC,点P在线段BC上, 所以PA=BC-PC=PB, 所以点P在线段AB的垂直平分线上, 结合选项可知,选A. 6.(新考法)如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,以5为半径 作弧,相交于点C,D.连接CD,点E在CD上,连接CA,CB,EA,EB. 若△ABC与△ABE的周长之差为4,则AE的长为　　　　       .   3 解析　由作图可知,直线CD是线段AB的垂直平分线,所以CA =CB=5,EA=EB, 因为△ABC与△ABE的周长之差为4, 所以(CA+CB+AB)-(EA+EB+AB)=4, 所以2CA-2AE=4, 所以AC-AE=2, 因为AC=5,所以AE=3. 7.如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是 位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与村 庄M,N的距离相等?(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)   解析　如图,C点即为所求.   8.[教材变式]如图,某游乐园有海盗船,摩天轮,碰碰车三个娱 乐项目,现要在游乐园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目 所处位置到售票中心的距离都相等,请在图中确定售票中心 的位置.   解析　如图,连接AB,AC,分别作线段AB,AC的垂直平分线,两 条垂直平分线相交于点P,则点P就是售票中心的位置.   关键点拨　若要求作“到两点或多个点的距离相等的点”, 则需要作一条或几条线段的垂直平分线. 9.(2024山东济南市中期末,8,★☆☆)如图,在△ABC中,AD垂 直平分BC,在△ACF中,CE垂直平分AF,若CF=5,CD=4,则△ ABC的周长为 (　    )   A.24　　　    B.20　　　    C.18　　　    D.16 能力提升全练 C 解析　因为AD垂直平分BC,CE垂直平分AF, 所以AB=AC,AC=CF=5,BC=2CD=8. 所以AB=AC=5. 所以△ABC的周长=AC+AB+BC=5+5+8=18. 故选C. 10.(2023四川凉山州中考,10,★☆☆)如图,在等腰△ABC中, ∠A=40°,分别以点A,点B为圆心,大于 AB的长为半径画弧, 两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连 接BD,则∠DBC的度数是(　    ) A.20°　　　    B.30°　　　     C.40°　　　    D.50° B 解析　由题图得MN垂直平分AB,所以DA=DB. 所以∠ABD=∠A=40°. 因为AB=AC, 所以∠ABC= (180°-∠A)= ×(180°-40°)=70°. 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.故选B. 11.(方程思想)(2024山东青岛期末,7,★★☆)如图,在△ABC 中,AB=BC,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,AD平分 ∠BAC,则∠C的度数是 (　    ) A.28°　　　    B.36°　　　    C.54°　　　    D.72° D 解析　设∠B=x°. 因为直线DE是线段AB的垂直平分线,所以DA=DB.所以∠ DAB=∠B=x°. 因为AD平分∠BAC,所以∠CAB=2∠DAB=2x°. 因为AB=BC,所以∠C=∠CAB=2x°. 因为∠B+∠C+∠BAC=180°, 所以x+2x+2x=180,解得x=36. 所以∠C=2x°=72°.故选D. 12.(新考向·尺规作图)(2024河南郑州期末,18,★★☆)在△ ABC中,∠B=37°,∠C=45°,作等腰三角形ABD.如图1,小智的 方法是以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接 AD,则△ABD为所求作的等腰三角形.小慧的方法是作AB的 垂直平分线,交BC于点D,连接AD,则△ABD为所求作的等腰 三角形. (1)根据小智的方法,△ABD是等腰三角形的依据是    . (2)根据小慧的方法,在图2中用尺规作图并求出∠DAC的度数.  　　   解析    (1)两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如图所示. 因为∠B=37°,∠C=45°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-37°-45°=98°. 因为所作直线为线段AB的垂直平分线, 所以DA=DB.所以∠DAB=∠B=37°, 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=98°-37°=61°. 13.(推理能力)(2023甘肃张掖期末)如图,在△ABC中,点E是 BC边上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点 D,连接DE. (1)若△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,求AB的长. (2)若∠ABC=30°,∠C=45°,求∠CDE的度数. 素养探究全练 解析    (1)因为BD垂直平分AE, 所以AB=BE,AD=DE, 因为△ABC的周长为19,△DEC的周长为7, 所以AB+BE+EC+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+AD=7, 所以AB+BE=19-7=12,所以AB=6. (2)因为∠ABC=30°,∠C=45°, 所以∠BAC=180°-30°-45°=105°, 在△BAD和△BED中,  所以△BAD≌△BED(SSS), 所以∠BAC=∠BED=105°, 因为∠BED=180°-∠CED,∠CED=180°-(∠CDE+∠C),所以 ∠BED=∠CDE+∠C, 所以∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°. 第3课时　角平分线的性质 第五章　图形的轴对称 2　简单的轴对称图形 知识点1　角平分线的性质 基础过关全练 1.(新考法)下列各点中,到∠AOB两边距离相等的是 (　    ) A.点P　　　    B.点Q　　　    C.点M　　　    D.点N B 解析　由题图可知,点Q在∠AOB的平分线上, 所以点Q到∠AOB两边的距离相等,故选B. 2.如图,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,点E为射线BA上一动 点,若OD=5,则OE的最小值为　　　　　    . 5 解析　当OE⊥AB时,OE有最小值, 因为BO平分∠ABC,OD⊥BC,OD=5, 所以OE的最小值为5. 故答案为5. 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE ⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为　　　　　    .  2.4 解析　因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,所以CD=DE=1.6. 所以BD=BC-CD=4-1.6=2.4. 4.(新独家原创)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,AD平 分∠CAB,△ABC的面积为24,则线段CD的长为　　　　   .  3 解析　如图,过点D作DE⊥AB于点E.   因为AD平分∠CAB,∠C=90°,所以DC=DE. 因为S△ABC=S△ABD+S△DCA, 所以24= ×10×DE+ ×6×CD, 所以DC=DE=3. 5.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分 线,DE⊥AB于点E. (1)求∠EDA的度数. (2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.   解析    (1)因为∠B=50°,∠C=70°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. 因为AD是△ABC的角平分线, 所以∠BAD= ∠BAC=30°. 因为DE⊥AB,所以∠DEA=90°. 所以∠EDA=90°-∠BAD=60°. (2)如图,过点D作DF⊥AC于点F.   因为AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, 所以DF=DE=3. 又AB=10,AC=8, 所以S△ABC= ×10×3+ ×8×3=27. 知识点2　用尺规作角平分线 6.[教材变式](2023陕西中考A卷)如图,已知△ABC,∠B=48°, 请用尺规作图法,在△ABC内部求作一点P,使PB=PC,且∠ PBC=24°.(保留作图痕迹,不写作法)   解析　如图,点P即为所求.   7.在植树节活动中,两个班的学生分别在M,N两处参加植树 劳动,现要在道路的AB,AC交叉区域内设一个茶水供应点P, 使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN,请同学们用尺规在 图中画出供应点P的位置,保留画图痕迹,不要求写作法.   解析　如图,点P即为所求作的点.   关键点拨　若要求作“到两条或多条相交直线的距离相等 的点”,则需要作一条或几条角平分线;若要求作“到两点或 多个点的距离相等的点”,则需要作一条或几条线段的垂直 平分线. 8.(2021湖北宜昌中考)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°. (1)通过观察尺规作图的痕迹,可以发现直线DF是线段AB的 　　　　　    ,射线AE是∠DAC的　　　　　    . (2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.   解析    (1)垂直平分线;平分线. (2)因为直线DF是线段AB的垂直平分线, 所以DB=DA,所以∠BAD=∠B=40°. 因为∠B=40°,∠C=50°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=90°, 所以∠DAC=50°. 因为射线AE是∠DAC的平分线, 所以∠DAE= ∠DAC=25°. 9.(2023吉林长春中考,7,★☆☆)如图,用直尺和圆规作∠ MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是(　    )   A.AD=AE　　　    B.AD=DF C.DF=EF　　　    D.AF⊥DE 能力提升全练 B 解析　根据作图可知,AD=AE,DF=EF,AF⊥DE.故选B. 10.(2023河南许昌期末,6,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分 ∠BAC,若AB=10,AC=8,则S△ABD∶S△ACD= (　    )   A.25∶16　　　    B.5∶4　　　     C.16∶25　　　    D.4∶5 B 解析　因为AD平分∠BAC, 所以点D到AB和AC的距离相等, 所以S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=10∶8=5∶4, 故选B. 11.(方程思想)(2024陕西西安期末,8,★★☆)如图,在△ABC 中,∠C=90°,点O是∠CAB,∠ABC的平分线的交点,且BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm,则点O到边AB的距离为 (　    )   A.1 cm　　　    B.2 cm　　　    C.3 cm　　　    D.4 cm B 解析　 如图,过O点作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,OF⊥BC 于F,连接OC,   因为点O是∠CAB,∠ABC的平分线的交点, 所以OD=OE,OD=OF. 所以OD=OE=OF. 因为S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△ABC, 所以 AB·OD+ AC·OE+ BC·OF= AC·BC, 即 ×10×OD+ ×6×OD+ ×8×OD= ×6×8, 解得OD=2 cm,即点O到边AB的距离为2 cm. 故选B. 12.(2024湖南中考,17,★☆☆)如图,在锐角三角形ABC中,AD 是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分 别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两 弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N. 若MN=2,AD=4MD,则AM=　　　　　    . 6 解析　由题图可知,BP为∠ABC的平分线. 因为AD是边BC上的高,所以AD⊥BC, 因为MN⊥AB,所以MD=MN=2. 因为AD=4MD=8,所以AM=AD-MD=6.故答案为6. 13.(推理能力)(2023湖南长沙期末节选)如图,△ABC中,点D 在边BC的延长线上,∠ACB=100°,∠ABC的平分线交AD于点 E,连接CE,过点E作EH⊥BD,垂足为H,∠CEH=50°. (1)求∠ACE的度数. (2)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积. 素养探究全练 解析    (1)因为∠ACB=100°,所以∠ACD=180°-100°=80°. 因为EH⊥BD, 所以∠CHE=90°. 因为∠CEH=50°, 所以∠ECH=90°-50°=40°. 所以∠ACE=80°-40°=40°. (2)如图,过E点作EM⊥BF于M,EN⊥AC于N.   因为BE平分∠ABC,EH⊥BD,所以EM=EH. 因为∠ACE=∠ECH=40°,所以CE平分∠ACD. 所以EN=EH.所以EM=EN=EH. 因为AC+CD=14,S△ACD=21, 所以S△ACD=S△ACE+S△CED= AC·EN+ CD·EH= (AC+CD)·EM=  ×14·EM=7EM=21, 所以EM=3. 因为AB=8.5, 所以S△ABE= AB·EM= ×8.5×3= . $$