28.2.2 第2课时 方向角、坡度问题-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

28.2.2 应用举例 第2课时 方向角、坡度问题 课题 方向角、坡度问题 课型 新授课 教学内容 教材第76-77页的内容 教学目标 1.理解方向角概念，学会解决方向角的相关问题。 2.理解坡角、坡度等概念，能解决坡度的相关问题。 教学重难点 教学重点：利用方向角的相关知识解决航海等实际问题。 教学难点：把实际问题转化为数学问题，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入课题 1.叫学生在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。 2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线。 2.实践探究，学习新知 【探究1】方向角问题 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)? 【师生活动】引导学生将该问题转化为数学问题，注意解释方向角的概念，引导学生画出示意图。 通过分析图形，教师引导学生板书解题过程。 分析：易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC。 解：在Rt△APC中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°， 由, 得PC=AP· cos25°=80·cos25°≈72.505， 在Rt△BPC中， 由，得 因此海轮在B处时距离灯塔P约130海里。 【探究2】坡度问题 教师讲解：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝。 坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tanα。 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。 下面看一个例子： 如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度。 【师生活动】引导学生明确坡度为1：1代表什么，再应用锐角三角函数的相关知识尝试解答，教师板书，规范答题步骤。 解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF， 又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF。 由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2。 ∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°， ∴AE＝＝2，DF＝＝2， ∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2＝5＋2(m)。 因此，坝底AD的长度为(5＋2)m。 【探究3】总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程 【师生活动】师生共同总结，学生进行口述，教师引导。 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形），转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。 3.学以致用，应用新知 考点1 方向角问题 【例1】如图，一艘货轮在海面上航行，准备停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上。为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C。求货轮从A到B航行的举例（结果精确到0.1海里，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）。 解：过B作BD⊥AC，垂足为C。 由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°， 则∠C=180°-30°-30°-70°=50°， 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20 海里， 所以BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32（海里）。 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32 海里， 所以AB=2BD=30.64≈30.6（海里）。 因此，货轮从A到B航行的距离约为30.6海里。 考点2 坡度问题 【例2】如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为6m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)。 (1)求车库的高度AH； (2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)。 解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2， 设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(6)2， 解得x＝6， 故车库的高度AH为6m。 (2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m， ∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m。 在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝， 又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝， 即0.25＝，解得BC＝12m。 因此，点B与点C之间的距离是12m。 4.随堂训练，巩固新知 （1） 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ） A.40海里 B. 40sin37°海里 C.40cos37°海里 D.40tan37°海里 答案：B （2）小明沿着坡比为1：的山坡向上走了300m，则他升高了（ ） A.100m B.150m C.100m D.100m 答案：D （3）如图，C，D是两个村庄。分别位于一个湖面的南北两端A，B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB= km（结果保留根号）。 答案：3 （4）如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上。已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)。 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足。 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°。 ∵AC＋BC＝AB， ∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200， 即PC＋PC＝200， 解得PC≈126.8km＞100km。 因此，计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区。 （5）如图，电线杆AB直立于地面BM，CD是一斜坡，其坡比为1：2，AD是电线杆的一斜拉钢绳，已知BC=（8-3）米，CD=米，∠BAD=45°，试求电线杆AB的长。 解：作DH⊥BC, DE⊥AB,垂足分别为H，E，如图。 在Rt△CDH中，因为, 所以设DH=x，CH=2x，所以CD=x， 所以，解得x=， 所以DH=,CH=2 所以BH=BC+CH=8-。 易得四边形BEDH为矩形， 所以DE=BH=8-,BE=DH=。 所以AE=DE=8-,所以AB=AE+BE=8。 5.课堂小结，自我完善 请同学们回顾本节课的内容： （1）解答方向角问题要注意哪些方面？ （2）什么是坡度、坡角？它们之间存在什么关系？ 6.布置作业 课本P77练习1，2题，P78习题28.2第4，5题。 回顾与方向角相关的问题，引入课题，为本节课的教学内容做好准备。 通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题。 本题较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考。 通过问题的设置，帮助学生消化理解坡角、坡度等相关概念，让学生增强应用数学的意识，渗透理论联系实际的观点。 帮助学生形成条理、系统的解题思路。 巩固本课时所学内容，让学生更深地体会到解直角三角形在生活中的应用，提高解决问题的能力。 进一步巩固所学，同时检测学习效果，查漏补缺，增加对知识运用的熟练度。 引导学生对本节所学知识进行整理，提升综合运用知识的能力。 板书设计 应用举例（2） 方向角问题 坡度问题 解实际问题的一般过程 教后反思 课时应首先认知“方位角、仰角、俯角、坡度” 及其所代表的实际意义，然后结合解直角三角形的有关知识加以论证，层层展开，步步深入。 将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形。这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习。 学科网（北京）股份有限公司 $$