28.2.2 第1课时 仰角、俯角问题-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

28.2.2 应用举例 第1课时 仰角、俯角问题 课题 解直角三角形的简单应用及仰角、俯角问题 课型 新授课 教学内容 教材第74-75页的内容 教学目标 1.理解仰角、俯角的概念。 2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解。 教学重难点 教学重点：利用仰角、俯角计算物体的高和宽等。 教学难点：把实际问题转化为数学模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。今天我们就学习解直角三角形有关的应用性问题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船 与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道上运行。如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？ 【师生活动】教师引导学生分析问题，把实际问题转化为数学问题，并画出示意图。 分析：从组合体上能直接看到的地球表面最远的点，应是视线与地球相切时的切点。 如图,⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地球表面上P, Q两点间的距离。为计算弧PQ的长需先求出∠POQ的度数。 学生尝试解答，教师总结板书，规范答题步骤。 【探究2】热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶 部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）？ 【师生活动】教师引导学生分析问题，把实际问题转化为数学问题，画出示意图。 分析：在Rt△ABC中，α=30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC。 学生尝试解答，教师板书，规范答题步骤。 3.学以致用，应用新知 考点1 解直角三角形的简单应用 【例1】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径A河底线，弦CD水位线，CD//AB，且CD=24m.OE丄CD于点E.已测得水面距最高处有8m 已测得。求半径OD及OE的长。 【师生活动】先引导学生分析已知和未知，明确所求，把实际问题转化为数学模型，最后教师给出规范的解题步骤。 解：Rt△OED中，DE==12m，sin∠DOE= ， 所以OD= 由勾股定理，得OE= 考点2 利用仰角求高度 【例2】星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度。如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)。 【师生活动】分析：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形。 解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形， 则＝tan45°， ∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5。 在Rt△CPN中，＝tan30°， 即＝，解得x＝。 因此，塔高为m。 考点3 利用俯角求高度 【例3】如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°。若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD。 【师生活动】分析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB。在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度。 解：如图，过点D作DF⊥AF于点F， ∵点G是BC的中点，EG∥AB， ∴EG是△ABC的中位线， ∴AB＝2EG＝30m。 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°， ∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10m。 在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10m， ∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m， ∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m。 因此，矮建筑物的高为20m。 4.随堂训练，巩固新知 （1） 如图，用三角支架固定空调外机，已知OA⊥AB，∠AOB=α，BO=0.4米，则点O到墙面距离OA为（ ） A.0.4sinα米 B. 0.4cosα米 C.米 D. 米 答案：B （2）如图，河对岸有铁塔AB，点C，D，B三点共线，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向铁塔方向水平前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（ ） A.4（4-1）m B.（16+7）m C.7（+1）m D.（10+7）m 答案：C （3）如图，无人机A的探测器显示，从无人机看树顶B的仰角为30°，看树底C的俯角为60°，无人机与树的水平距离为6m，则树高BC为 m（结果保留根号）。 答案：6+2 （4）在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°。使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)? 解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G， ∴四边形BFDG是矩形， ∴BG＝FD。 在Rt△BCF中，∠CBF＝30°， ∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm。 在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°， ∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm， ∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm)。 因此，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm。 （5）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°。求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：≈1.4，≈1.7)。 解：过点C作AB的垂线，垂足为E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°， ∴四边形CDBE是正方形。 ∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m， ∴AE＝CE·tan30°＝12×＝4(m)， ∴AB＝4＋12≈19(m)。 因此，建筑物AB的高为19m。 5.课堂小结，自我完善 请同学们回顾本节课的内容： （1）什么是仰角和俯角？ （2）在解答实际问题的过程中，你学会了哪些解题技巧和方法？ 6.布置作业 课本P76练习1，2题，P78习题28.2第3题。 介绍仰角和俯角的概念，引入课题，为本节课的教学内容做好准备。 通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，初步体会解直角三角形的内涵。 现实中的实际问题吸引学生的学习兴趣，进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。 根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力。 添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为俯角问题，培养学生灵活应用知识解直角三角形的能力。 进一步巩固所学，同时检测学习效果，查漏补缺，增加对知识运用的熟练度。 引导学生对本节所学知识进行整理，提升综合运用知识的能力。 板书设计 应用举例 一般应用 仰角、俯角的概念 仰角、俯角问题 教后反思 本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，引导学生将实际问题转化为简单的数学模型，培养学生的转化能力，增强学生分析实际问题和解决实际问题的能力。教学时应注意从实际生活出发，努力体现数学与生活的联系。此外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力，注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变。 教学过程中，为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$