28.1 第1课时 正弦-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

第28章 锐角三角函数 单 元 备 课 第 28单元 本单元所需课时数 7课时 课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），能够应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比；知道30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知的三角函数值求它的对应锐角。 3.理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用。 教材分析 本章内容与 “相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，相似三角形的性质是建立锐角三角函数概念的基础和关键，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，解直角三角形时需要综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识。通过本章的学习，使学生全面掌握直角有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模能力，同时为高中数学中任意角三角函数等知识的学习做准备。 主要内容 本章分为两节：28.1节“锐角三角函数”主要学习锐角的正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第28.2节“解直角三角形及其应用”主要研究与解直角三角形有关的内容。 教学目标 1.理解锐角的正弦、余弦、正切的概念，会求锐角的正弦、余弦、正切值，了解锐角三角函数的概念，熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 2.理解并掌握30°，45°，60°的三角函数值，能用它们进行有关计算；能 依据30°，45°，60°的三角函数值，说出相应锐角的度数。 3.掌握用计算器求锐角三角函数值及锐角的方法。 4.理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出直角三角形中所有未知元素，能利用解直角三角形解决简单的实际问题。 5.理解仰角、俯角、方向角、坡度等的概念，能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解。 课时分配 28.1 锐角三角函数 3课时 28.2 解直角三角形及其应用 3课时 教学活动 小结 1课时 教与学建议 1.加强对锐角三角函数概念探究过程。 2.加强能力培养。 3.注意数形结合。 28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦 课题 图形的相似 课型 新授课 教学内容 教材第61-63页的内容 教学目标 1.构建探求锐角的正弦的定义的方法，初步理解锐角的正弦概念。 2.会求锐角的正弦值。 教学重难点 教学重点：锐角的正弦的定义。 教学难点：构建探求锐角的正弦的定义的方法。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 意大利比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1 m。1972 年比萨地区发生地震，这座高 54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险。当地从1990 年对斜塔进行维修纠偏，2001 年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了 43.8 cm。 我们用 “塔身中心线与垂直中心线所成的角θ” 来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角θ的度数吗？ 【师生活动】结合问题，引导学生得出：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这个直角三角形所对锐角的度数”。 教师引入课题：我们已经研究过了直角三角形中边与边的关系、角与角的关系，从实际需求看，我们还需要研究边与角之间的关系。 2.实践探究，学习新知 【探究1】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？ 【师生活动】学生组织语言与同伴交流，教师及时了解情况，并适时引导,把实际问题抽象为数学问题：在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ∠A=30°，BC=35 m,求 AB的长。 根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：需要准备70 m 长的水管。 追问1：如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的 水管？ 【师生活动】引导学生根据“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：需要准备100m长的水管 追问2：对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？ 【师生活动】引导学生得出，然后归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于。 【探究2】在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其 对边与斜边的比值还是吗？如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？ 【师生活动】学生分组讨论，交流展示。 得出结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。 【归纳】综上可知，在Rt△ABC 中,∠C=90°, 当∠A=30°时， ∠A的对边与邻边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45° 时，∠A的对边与邻边的比都等于，也是一个固定值。 一般地，当∠A是任意一个确定地锐角时，它的对边与斜边 地比是否也是一个固定值呢？ 【探究3】如图，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′ =90o，∠A=∠A′=α，那么有什么关系? 【师生活动】教师引导学生猜想并画图，辅助学生找到证明猜想的方法： 由于∠C=∠C′=90o，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即 。 结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 由此我们给这个“固定值”以专门名称。 如图，在Rt△ABC 中,∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即 sin A=。 追问：当∠A=30°时，∠A的正弦为多少？ ∠A=45°呢？ 【师生活动】学生作答，教师给出sin 30°=，sin 45°=。 教师强调：（1）sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体； （2）正弦的三种表示方式：sinA，sin30°，sin∠DEF； （3）sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。 3.学以致用，应用新知 【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。 【分析】求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比。 解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB=, 因此sin A=，sin B=. 如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC=, 因此sin A=，sin B=. 【变式】已知等腰三角形的一条腰长为25cm，底边长为30cm，求底角的正弦值． 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，AD为底边上的高， ∴BD＝BC＝15cm.由勾股定理得AD＝＝20cm， ∴sin∠ABC＝＝＝. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，sinA等于(　　) A．2 B. C. D. 答案：C （2）如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于(　　) A. B. C. D．10 答案：B （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB的长为(　　) A. B．6 C．12 D．8 答案：B （4）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，且 sinA = ，则sinB = _______. 答案： （5）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果AD＝9，DC＝5，E为AC的中点，求sin∠EDC的值． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∵AD＝9，DC＝5，∴AC＝＝. ∵E为AC的中点，∴DE＝AE＝EC＝AC，∴∠EDC＝∠C， ∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝＝. 5.课堂小结，自我完善 请同学们根据以下问题回顾本节课的内容： （1）射门叫做锐角的正弦？ （2）定义锐角正弦的过程、方式是什么？与以前下定义的方式有什么不同？ 6.布置作业 课本P64练习1，2题。 创设实际情境，从实际需要自然引入课题，激发学生的求知欲。 培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。 在学生得出结论的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式——研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。 类比探究1，强化学生对“对边与斜边的比”的关注，为获得“角度固定，比值也固定”作铺垫。 培养学生的推理论证意识，进一步熟悉发现几何结论的基本套路，为引出锐角的正弦概念奠定基础。 让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般得到数学概念的过程，感受定义的方式：先研究合理性，再下定义。 学生思考作答，教师在学生口述的解题过程中引导规范步骤并同步板书。 巩固锐角的正弦概念，规范学生的解题格式。 设置随堂训练，进一步巩固所学新知，做到真正掌握。 学生在小结中整理知识、梳理思维，提炼学习中的数学思想方法。 板书设计 锐角三角函数（1） 正弦的定义 应用 教后反思 本课时教学主要是通过让学生画图、动手操作获得相关的结论.在教学过程中，教师应注意调动学生的积极性与主动性，争取让学生自己发现并用自己的语言进行归纳，对于表述不恰当的部分，教师可给予纠正。其次，教师应通过讲解例题、进行课堂训练等方式加深对概念的理解。在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位。由于初次接触锐角三角函数的概念，所以教师应有足够的耐心帮助有困难的学生。 学科网（北京）股份有限公司 $$