2025年中考数学选择题复习 数与式之整式与因式分解

中考数学第一轮复习 选择题练习 数与式之整式与因式分解 单选题： 1．在式子0，，m2+2m+1中，整式共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．单项式的系数与次数分别是（　　） A．和3 B．﹣5和3 C．和2 D．﹣5和2 3．下列判断中错误的是（　　） A．1﹣a﹣ab是二次三项式 B．﹣a2b2c的次数是5 C．是单项式 D．πa2的系数是π 4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2 C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5） 5．下列算式中，计算正确的是（　　） A．2x3+3x3＝5x6 B．x3•x3＝x9 C．（2x2）3＝6x6 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2 6．已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，若A+2B的值与a的取值无关，则b的值为（　　） A． B． C． D． 7．若2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值为（　　） A．8 B．﹣8 C． D． 8．已知a＝522，b＝433，c＝344，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 9．有下列四个运算结果：①；②（x﹣2）3•x6＝1；③（x3）2÷x2＝x4；④，其中正确的结果为（　　） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③ 10．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 11．若单项式﹣4xay和的积为﹣2x7y6，则ab的算术平方根为（　　） A． B． C．5 D．10 12．给出一种运算：a⊗b＝（a+b）b，如2⊗3＝（2+3）×3＝15，若方程2⊗x＝k的一个根为3，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10 13．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 14．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 15．如图，线段AB＝4a，点M是AB中点，点P在线段MB上，MP＝b，如图所示构造三个正方形．若阴影部分的面积为8，且4a2+b2＝11，则小正方形的边长为（　　） A．3 B． C．7 D． 16．若方程x2+mx+4＝0的左边是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2或﹣2 17．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B． C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 18．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 19．下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．现定义一种运算，例如．若，则x的值（　　） A．2或﹣3 B．﹣2或3 C．1或﹣6 D．﹣1或6 21．已知2x2+x﹣2＝0，则代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）+2x2的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 22．把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 23．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 24．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣4x B．x2﹣4x+4 C．x2﹣4 D．x2+4 25．对于任意正整数n，2n+4﹣2n均能被（　　） A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除 26．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2024．，且a≠b，则abc的值为（　　） A．﹣2024 B．224 C．﹣4048 D．4048 27．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．4x2+4x+4 C．x2+2x+1 D．x2﹣2x﹣1 28．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 29．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 30．若a，b，c为整数，且（a﹣b）2024+（c﹣a）2024＝1，则|a﹣b|+|c﹣a|的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．2024 31．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b） 32．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（　　） A．161 B．298 C．420 D．465 33．已知六元方程a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2，满足a＜b＜c＜d＜e＜f，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（　　） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若a＜b＜c＜d＜e＜f＜10，则该六元方程有20组解； ④若a+b+c+d+e+f＝23，则该六元方程有1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 34．已知两个整式A＝a+b，B＝a﹣b，⽤整式A与整式B求和后得到整式N1＝2a，称为第一次操作；将第一次操作的结果N1加上2A+B，结果记为N2，称为第二次操作；将第二次操作的结果N2加上3A+2B，结果记为N3，称为第三次操作；将第三次操作的结果N3加上4A+3B，结果记为N4，称为第四次操作，…，以此类推．以下四个说法正确的个数是（　　） ①当a＝b时，则第五次操作的结果N5＝30a； ②当b＝﹣30a时，则有N10＝N30； ③N1+N2+N3+N4+N5+N6＝97a+15b； ④当a＝2，b＝2023时，Nm＞m2+2023m﹣2023． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 36．已知长方形的周长为9a+8（a＞0），一条较短边的长为2a+1，则另一条较长的边的长为（　　） A．7a﹣7 B．7a+7 C． D． 37．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将x2﹣9因式分解的结果为（x﹣3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x＝13时，x﹣3＝10，x+3＝16，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将x3﹣x因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 38．已知关于a的代数式A＝a2+a，判断下列说法正确的有（　　） ①存在实数a，使得； ②若A﹣1＝0，则； ③已知代数式A、B、C满足，，则A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC＝20． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（　　） A．128 B．64 C．32 D．16 40．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m； 第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m； 第3次操作后…… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（　　） A．m+n B．m C．n﹣m D．2n 41．已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　） A．24 B． C． D．﹣4 42．在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…． 下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 43．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有（　　） （1）F（48）； （2）15和26是“吉祥数”； （3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． （4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a＜5 B．a＞﹣1且a，a C．a＜﹣7或a＞﹣1 D．a＜﹣1或a＞5 45．已知：n＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1），则n﹣2022的末位数字是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 E．9 46．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若S2﹣S1＝（）2，则b：c的值为（　　） A． B．2 C． D．3 47．在多项式a+b﹣m﹣n﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式a+b﹣m﹣n﹣e进行．例如：+b“闪减操作”为|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|，﹣m与﹣n同时“闪减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项+b，﹣m，﹣n满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣m+1|+|﹣m+4|）（|﹣n+1|+|﹣n﹣6|）＝42，则2b+m+n的最小值为﹣9． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 48．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D．4 49．已知正整数a，b，c，d，e，f满足a＜b＜c＜d＜e＜f，且a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（　　） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若a＜b＜c＜d＜e＜f＜10，则该六元方程有21组解； ④若a+b+c+d+c+f＝53，则该六元方程有28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 50．（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$解析答案 单选题 1．在式子 0， 5 2� ， �+� 2 ， 1 � ，m2+2m+1中，整式共有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：式子 0， 5 2� ， �+� 2 ，m2+2m+1，符合整式的定义，是整式； 式子 1 � 的分母中含有字母，不是整式． 故整式有 4个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一 部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单 项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定 不是整式． 2．单项式− 5� 2� 3 的系数与次数分别是（ ） A．− 53和 3 B．﹣5和 3 C．− 5 3和 2 D．﹣5和 2 【解答】解： ∵单项式为− 5� 2� 3 ， ∴其系数为单项式中的数字因式，所以为− 53，次数为所有字母指数的和，故其次数为 3， 故选：A． 【点评】本题主要考查单项式，掌握单项式的系数为数字因式、次数为所有字母指数之 和是解题的关键． 3．下列判断中错误的是（ ） A．1﹣a﹣ab是二次三项式 B．﹣a2b2c的次数是 5 C． �2+�2 �� 是单项式 D． 3 4 πa2的系数是 3 4 π 【解答】解： �2+�2 �� 不是单项式，这是由于分母含有字母， 故选：C． 【点评】本题考查单项式与多项式的概念，属于基础题型． 4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2 C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5） 【解答】解：A．x2+2x+1＝（x+1）2，故 A不符合题意； B．﹣7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故 B不符合题意； C．m（m+3）＝m2+3m是单项式乘多项式，故 C不符合题意； D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）是因式分解，故 D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断 是否符合因式分解的变形是解题的关键． 5．下列算式中，计算正确的是（ ） A．2x3+3x3＝5x6 B．x3•x3＝x9 C．（2x2）3＝6x6 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2 【解答】解：A．2x3+3x3＝5x3，故该选项不符合题意； B．x3•x3＝x6，故该选项不符合题意； C．（2x2）3＝8x6，故该选项不符合题意； D．（3x+2）（2﹣3x）＝（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的运算，涉及到整式的加减，同底幂乘法，积的乘方，平方差 公式的应用，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 6．已知 A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，若 A+2B的值与 a的取值无关，则 b的值为 （ ） A． 2 3 B． 1 3 C． 2 5 D． 3 5 【解答】解：A+2B ＝2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+ab﹣1） ＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2 ＝5ab﹣2a﹣3 ＝（5b﹣2）a﹣3， ∵A+2B的值与 a的取值无关， ∴5b﹣2＝0， 解得 b= 25． 故选：C． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．若 2x+5y﹣3＝0，则 4x•32y的值为（ ） A．8 B．﹣8 C． 1 8 D．− 18 【解答】解：4x•32y＝22x•25y ＝22x+5y ＝23 ＝8， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 8．已知 a＝522，b＝433，c＝344，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 【解答】解：∵a＝（52）11＝2511，b＝（43）11＝6411，c＝（34）11＝8111， 且 81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方 与积的乘方运算法则，有理数的大小比较方法是解题的关键． 9．有下列四个运算结果：①2−1 = 12；②（x ﹣2）3•x6＝1；③（x3）2÷x2＝x4；④3�−2 = 3�2， 其中正确的结果为（ ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③ 【解答】解：依据负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则分别对 各项判断如下： ①2−1 = 12，正确； ②（x﹣2）3•x6＝x﹣6•x6＝x0＝1，正确； ③（x3）2÷x2＝x6÷x2＝x4，正确； ④3�−2 = 1�2 × 3 = 3 �2，正确． 四个选项都正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则， 解题的关键是计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算． 10．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3] ＝（x+2）（x﹣4）． 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 11．若单项式﹣4xay和 1 2 �2��的积为﹣2x7y6，则 ab的算术平方根为（ ） A． 5 B． 15 C．5 D．10 【解答】解：−4��� × 12 � 2�� =− 2��+2�1+� =− 2�7�6， ∴a+2＝7，1+b＝6，解得：a＝b＝5， ∴ �� = 25 = 5； 故选：C． 【点评】本题考查单项式乘单项式，以及求一个数的算术平方根．熟练掌握单项式乘单 项式的乘法法则是解题的关键． 12．给出一种运算：a⊗b＝（a+b）b，如 2⊗3＝（2+3）×3＝15，若方程 2⊗x＝k的一个 根为 3，则另一个根为（ ） A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10 【解答】解：由题意可知 x2+2x﹣k＝0， 设方程的另一个根为 m，则：m+3＝﹣2， ∴m＝﹣5， ∴方程的另一个根为﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是 关键． 13．图 1是长为 a，宽为 b（a＞b）的小长方形纸片将 6张如图 1的纸片按图 2的方式不重 叠地放在长方形 ABCD内，已知 CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部 分（即两个长方形）的面积分别表示为 S1，S2，若 a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（ ） A．8 B．16 C．12 D．32 【解答】解：设 EF＝x， S1＝（4b+x）•2b＝（8+x）×4＝32+4x， S2＝（a+x）•a＝（4+x）×4＝16+4x， ∴S1﹣S2＝（32+4x）﹣（16+4x）＝32+4x﹣16﹣4x＝16． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的运算，熟练相关运算法则是解题的关键． 14．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么 xy的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵（x+2y）2＝10， ∴x2+4xy+4y2＝10①， ∵（x﹣2y）2＝18， ∴x2﹣4xy+4y2＝18②， ②﹣①得：﹣8xy＝8， ∴xy＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 15．如图，线段 AB＝4a，点 M是 AB中点，点 P在线段 MB上，MP＝b，如图所示构造三 个正方形．若阴影部分的面积为 8，且 4a2+b2＝11，则小正方形的边长为（ ） A．3 B． 3 C．7 D． 7 【解答】解：∵AB＝4a，点 M是 AB中点， ∴AM＝BM＝2a， ∵MP＝b， ∴BP＝2a﹣b，AP＝2a+b， ∵阴影部分的面积为 8， ∴AP2﹣BP2＝8， ∴（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8， ∴4a2+4ab+b2﹣4a2+4ab﹣b2＝8， ∴ab＝1， ∵4a2+b2＝11， ∴（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2＝7， ∴2a﹣b= 7（负值舍去），即小正方形的边长为 7， 故选：D． 【点评】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确利用面积法推出 ab＝1 是解题的关键． 16．若方程 x2+mx+4＝0的左边是一个完全平方式，则 m的值是（ ） A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2或﹣2 【解答】解：由条件可知 x2+mx+4＝x2±2x×2+22＝（x±2）2， ∴m＝±4， 故选：C． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B．(� + 12 �)( 1 2 � − �) C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，能理解公式的特点是解此题的关键，此题是一 道基础题，难度不是很大． 18．从边长为 a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为 b的小正方形后，将其裁成四个大小 和形状完全相同的四边形（如图 1），然后拼成一个平行四边形（如图 2），那么通过计算 两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【解答】解：图 1 中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图 2 中阴影部分的面积为：（a+b）（a ﹣b）， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴可以验证成立的公式为 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解 题的关键． 19．下列四个算式：①4�2�4 ÷ 14 �� = �� 3；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝ 3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：对于 A，4�2�4 ÷ 14 �� = 16�� 3，故①错误，不符合题意； 对于 B，16a6b4c÷8a3b2＝2a3b2c，故②错误，不符合题意； 对于 C，9x8y2÷3x3y＝3x5y，故③正确，符合题意； 对于 D，（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝12m3÷（﹣2m）+8m2÷（﹣2m）+（﹣4m）÷ （﹣2m）＝﹣6m2﹣4m+2，故④错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法运算，解决本题的关键是运用整式的计算法则计算． 20．现定义一种运算 � �� � = �� − ��，例如 1 3 2 4 = 1 × 4 − 2 × 3．若 � 1 − � 1 � − 2 = 5，则 x的值（ ） A．2或﹣3 B．﹣2或 3 C．1或﹣6 D．﹣1或 6 【解答】解：∵ � 1 − � 1 � − 2 = 5， ∴x（x﹣2）﹣1×（1﹣x）＝5， ∴x2﹣2x﹣1+x＝5， ∴x2﹣x﹣6＝0， ∴（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x＝﹣2或 3． 故选：B． 【点评】本题考查了新定义，涉及到解方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． 21．已知 2x2+x﹣2＝0，则代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）+2x2的值为（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 【解答】解：（x+1）2+（x+1）（x﹣1）+2x2 ＝x2+2x+1+x2﹣1+2x2 ＝4x2+2x， ∵2x2+x﹣2＝0， ∴2x2+x＝2， ∴原式＝2（2x2+x）＝2×2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的 关键，用了整体代入思想． 22．把多项式 4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（ ） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 【解答】解：把多项式 4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是 2xyz， 故选：C． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 23．如图，长宽分别为 a、b的长方形周长为 16，面积为 12，则 a2b+ab2的值为（ ） A．80 B．96 C．192 D．240 【解答】解：∵边长为 a，b的长方形周长为 16，面积为 12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，关键是得到 a2b+ab2 ＝ab（a+b）． 24．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A．x2﹣4x B．x2﹣4x+4 C．x2﹣4 D．x2+4 【解答】解：A．x2﹣4x＝x（x﹣4），因此选项 A不符合题意； B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，因此选项 B不符合题意； C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项 C符合题意； D．x2+4在实数范围内不能进行因式分解，因此选项 D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结 构特征是正确解答的前提． 25．对于任意正整数 n，2n+4﹣2n均能被（ ） A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除 【解答】解：2n+4﹣2n ＝2n•24﹣2n ＝2n×（24﹣1） ＝2n×（16﹣1） ＝15×2n ＝15×2×2n﹣1 ＝30×2n﹣1， ∵n为正整数，则 n﹣1≥0， ∴2n+4﹣2n一定能被 30整除， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用提取公因式的方 法把式子变形． 26．已知 a2（b+c）＝b2（a+c）＝2024．，且 a≠b，则 abc的值为（ ） A．﹣2024 B．224 C．﹣4048 D．4048 【解答】解：a2（b+c）＝b2（a+c）＝2024， ∴a2（b+c）﹣b2（a+c）＝0， a2b+a2c﹣ab2﹣cb2＝0， a2b﹣ab2+a2c﹣b2c＝0， ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0， （a﹣b）（ab+ac+bc）＝0， ∵a≠b， ∴ab+ac+bc＝0， ∴ab+bc＝﹣ac， ∵b2（a+c）＝2024， b（ab+bc）＝2024， ﹣abc＝2024， ∴abc＝﹣2024， 故选：A． 【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用分组法分解因式． 27．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A．x2﹣1 B．4x2+4x+4 C．x2+2x+1 D．x2﹣2x﹣1 【解答】解：A．可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项 A不符合题意； B．可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项 B不符合题意； C．可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项 C符合题意； D．不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项 D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，熟练掌握因式分解是关键． 28．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例 如由图 1可以得到 a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知 a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38， 由图 2所表示的数学等式，则 a+b+c的值为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【解答】解：图 2中正方形的面积可以表示为： a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 ＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）， 还可以表示为：（a+b+c）2， ∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2， ∵a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38， ∴（a+b+c）2＝45+2×38＝121， a+b+c＝±11， ∵a，b，c都是正数， ∴a+b+c＝11， 故选：B． 【点评】本题主要考查了分解因式的应用，解题关键是熟练掌握利用不同方法求正方形 的面积． 29．已知 a，b，c是△ABC的三边长，满足 a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，则△ABC的形状是 （ ） A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：因为 a，b，c是△ABC的三边长， 满足 a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0， 即 a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0， 即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， 所以（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0， 即 a＝b，b＝c， 所以 a＝b＝c． 所以△ABC的形状是等边三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是将 题中的式子进行化简，求出三边的关系． 30．若 a，b，c为整数，且（a﹣b）2024+（c﹣a）2024＝1，则|a﹣b|+|c﹣a|的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【解答】解：由题意得：a﹣b和 c﹣a中有一个为 1一个为 0， ∴|a﹣b|+|c﹣a|＝1+0＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握幂的意义是解题的关键． 31．在边长为 a的正方形中挖去一个边长为 b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分 拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b） 【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣ b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这 两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式． 32．如图为 2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数， 若最小的数与最大的数的积记为 n，中间位置上的数记为 m．下列所给的数据中，n不可 能是（ ） A．161 B．298 C．420 D．465 【解答】解：最大和最小的两个数是 m+8和 m﹣8， ∴n＝（m﹣8）（m+8）＝m2﹣64， 即 m2＝64+n， A、当 n＝161时，161+64＝225＝152，则 m＝15，15﹣8＝3，15+8＝23，n可能是 161， 故选项不符合题意； B、当 n＝298时，298+64＝362，则没有正整数的平方等于 362，不符合日历，所以 n不 可能是 298，故选项符合题意； C、当 n＝420时，420+64＝484＝222，则 m＝22，22﹣8＝14，22+8＝30，n可能是 420， 故选项不符合题意； D、当 n＝465时，465+64＝529＝232，则 m＝23，23﹣8＝15，23+8＝31，n可能是 465， 故选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据平方数的特点来进行解答． 33．已知六元方程 a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2，满足 a＜b＜c＜d＜e＜f，且 a，b， c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（ ） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若 a＜b＜c＜d＜e＜f＜10，则该六元方程有 20组解； ④若 a+b+c+d+e+f＝23，则该六元方程有 1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6， ∴a+b+c+d+e+f＝21，b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2＝21． ∴a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2． ∴a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是该六元方程的一组解． ∴①正确； 设最小的正整数为 n，那么其余的数为：n+1，n+2，n+3，n+4，n+5． ∴a+b+c+d+e+f＝6n+15，b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2＝（n+1）2﹣n2+（n+3）2﹣（n+2）2+（n+5） 2﹣（n+4）2＝6n+5． ∴a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2． ∴连续的六个正整数一定是该六元方程的解． ∴②正确； ∵a＜b＜c＜d＜e＜f＜10，连续的六个正整数一定是该六元方程的解． ∴连续正整数解为：1、2、3、4、5、6， 2、3、4、5、6、7， 3、4、5、6、7、8， 4、5、6、7、8、9共 4组； ∵a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2， ∴（a+b）+（c+d）+（e+f）＝（b﹣a）（b+a）+（d﹣c）（d+c）+（f+e）（f﹣e）， ∴b﹣a＝1，d﹣c＝1，f﹣e＝1． ∴不连续正整数解为：1、2、3、4、6、7， 1、2、3、4、7、8， 1、2、3、4、8、9， 1、2、4、5、6、7， 1、2、4、5、7、8， 1、2、4、5、8、9， 1、2、5、6、7、8， 1、2、5、6、8、9， 1、2、6、7、8、9， 2、3、4、5、7、8， 2、3、4、5、8、9， 2、3、5、6、7、8， 2、3、5、6、8、9， 2、3、6、7、8、9， 3、4、5、6、8、9， 3、4、6、7、8、9共 16组． ∴则该六元方程有 20组解． ∴③正确； ∵a+b+c+d+e+f＝23，只有 1+2+3+4+6+7＝23． ∴则该六元方程有 1组解：a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝6，f＝7． 故④正确． 故选 D． 【点评】本题综合考查因式分解的应用．根据因式分解得到 b﹣a＝1，d﹣c＝1，f﹣e＝1 是解决本题的关键． 34．已知两个整式 A＝a+b，B＝a﹣b，⽤整式 A与整式 B求和后得到整式 N1＝2a，称为第 一次操作；将第一次操作的结果 N1加上 2A+B，结果记为 N2，称为第二次操作；将第二 次操作的结果 N2加上 3A+2B，结果记为 N3，称为第三次操作；将第三次操作的结果 N3 加上 4A+3B，结果记为 N4，称为第四次操作，…，以此类推．以下四个说法正确的个数 是（ ） ①当 a＝b时，则第五次操作的结果 N5＝30a； ②当 b＝﹣30a时，则有 N10＝N30； ③N1+N2+N3+N4+N5+N6＝97a+15b； ④当 a＝2，b＝2023时，Nm＞m2+2023m﹣2023． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由条件可知：A+B＝（a+b）+（a﹣b）＝2a， 根据题意可知：N1＝A+B＝2a， N2＝N1+2A+B＝5a+b， N3＝N2+3A+2B＝10a+2b， N4＝N3+4A+3B＝17a+3b， ……， 由此可见，第 n次操作的结果为�� = (�2 + 1)� + (� − 1)�， 当 b＝a时，则第 5次操作的结果 N5＝26a+4b＝26a+4a＝30a；故①正确， 当 b＝﹣30a时，N10＝101a+9b＝﹣169a， N30＝901a+29b＝31a， ∴N10≠N30；故②错误， 由题可知，N1+N2+N3+N4+N5+N6＝97a+15b，故③正确； 当 a＝2，b＝2023时，�� = 2(�2 + 1) + 2023(� − 1) = 2�2 + 2 + 2023� − 2023， ＝2m2+2023m﹣2021， �� − (�2 + 2023� − 2023) = 2�2 + 2023� − 2021 − (�2 + 2023� − 2023) ＝m2+2＞0， 则��＞�2 + 2023� − 2023，故④正确； 综上，①③④正确； 故选：C． 【点评】此题考查了整式的加减及数字类变化规律，根据题意找到规律是解题的关键． 35．计算( − 2)2025 × ( 12 ) 2024的结果为（ ） A．2 B．− 12 C．1 D．﹣2 【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣2）2024×（ 1 2 ）2024 ＝﹣2×（﹣2× 12） 2024 ＝﹣2×1 ＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 36．已知长方形的周长为 9a+8（a＞0），一条较短边的长为 2a+1，则另一条较长的边的长 为（ ） A．7a﹣7 B．7a+7 C． 5�+10 2 D． 5�+6 2 【解答】解：设另一条较长的边为 A， 2A+2（2a+1）＝9a+8， ∴2A＝9a+8﹣2（2a+1）＝9a+8﹣4a﹣2＝5a+6， ∴A= 5�+62 ． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 37．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如 将 x2﹣9 因式分解的结果为（x﹣3）（x+3），取个人年龄作为 x的值，当 x＝13时，x﹣3 ＝10，x+3＝16，由此可以得到数字密码 1016．小旭按这种方式将 x3﹣x因式分解后，取 自己的年龄 15设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 【解答】解：x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）， 当 x＝15时，x+1＝16，x﹣1＝14， 故密码为 151614或 151416， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，因式分解的意义，概率的意义，正确因式分解是解 答的关键． 38．已知关于 a的代数式 A＝a2+a，判断下列说法正确的有（ ） ①存在实数 a，使得� − 2� + 14＜0； ②若 A﹣1＝0，则�2 + 1�2 = 4； ③已知代数式 A、B、C满足� − � = 5 + 3，� − � = 5 + 3，� − � = 5 − 3， 则 A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC＝20． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①配方得：� − 2� + 14 = � 2 + � − 2� + 14 = � 2 − � + 14 = (� − 1 2 ) 2 ≥ 0， ∴不存在实数 a，使得� − 2� + 14＜0， 故说法①不正确； ②∵A﹣1＝a2+a﹣1＝0， ∴a≠0， ∴� − 1� =− 1， ∴�2 + 1�2 = � 2 − 2+ 1�2 + 2 = (� − 1 � ) 2 + 2 = ( − 1)2 + 2 = 3， 故说法②不正确； ③由条件可知� − � = � − � + � − � = 5 + 3 + 5 − 3 = 2 5， ∴A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC = 12 (2� 2 + 2�2 + 2�2 − 2�� − 2�� − 2��) = 12 [(� 2 + �2 − 2��) + (�2 + �2 − 2��) + (�2 + �2 − 2��)] = 12 [(� − �) 2 + (� − �)2 + (� − �)2] = 12 × [( 5 + 3) 2 + (2 5)2 + ( 5 − 3)2] = 12 × (5 + 2 15 + 3 + 20 + 5 − 2 15 + 3) = 12 × 36 ＝18， 故说法③不正确； ∴说法正确的有 0个， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识，掌握完全平方公式及 整体代入法是解题的关键． 39．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球 29个、29个、5个，先从甲袋中取出 2x个球 放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 2y个球放入甲袋， 此时三只袋中球的个数都相同，则 2x+y的值等于（ ） A．128 B．64 C．32 D．16 【解答】解：由题意，得 5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y， 即 5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y， ∴ 2 × 2� − 2� = 24， 2 × 2� = 2�， 解得 2� = 16， 2� = 8， ∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128， 故选：A． 【点评】本题考查指数幂的运算法则和方程思想，根据题意列出方程，并能对方程进行 变形是解题的关键． 40．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个 数学探究活动；对依次排列的两个整式 m，n按如下规律进行操作： 第 1次操作后得到整式中 m，n，n﹣m； 第 2次操作后得到整式中 m，n，n﹣m，﹣m； 第 3次操作后…… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差， 小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第 2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ） A．m+n B．m C．n﹣m D．2n 【解答】解：第 1次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m； 第 2次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m，﹣m； 第 3次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m，﹣m，﹣n； 第 4次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m； 第 5次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m； 第 6次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n； 第 7次操作后得到的整式串 m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m； …… 第 2023次操作后得到 的整式串 m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m； 共 2025个整式； 归纳可得，以上整式串每六次一循环．每 6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣ m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0， ∵2025÷6＝337…3， ∴第 2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可． ∴这个和为 m+n+（n﹣m）＝2n． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并 总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键． 41．已知实数 m，n满足 m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为 （ ） A．24 B． 44 3 C． 16 3 D．﹣4 【解答】解：方法 1、∵m2+n2＝2+mn， ∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n） ＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2 ＝5m2+5n2﹣12mn ＝5（mn+2）﹣12mn ＝10﹣7mn， ∵m2+n2＝2+mn， ∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当 m+n＝0时，取等号）， ∴mn≥− 23， ∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当 m﹣n＝0时，取等号）， ∴mn≤2， ∴− 23 ≤mn≤2， ∴﹣14≤﹣7mn≤ 143 ， ∴﹣4≤10﹣7mn≤ 443 ， 即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为 44 3 ， 故选：B． 方法 2、设 m+n＝k，则 m2+2mn+n2＝k2， ∴mn+2+2mn＝k2， ∴mn= 13k 2− 23， ∴原式＝10﹣7mn=− 73k 2+ 443 ≤ 44 3 ， 故选：B． 【点评】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m ﹣2n）是解本题的关键． 42．在多项式 x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有 减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z ﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…． 下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0； ③所有可能的“加算操作”共有 8种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等， 故①正确； ②∵在多项式 x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变 z，m，n的符号，无法改变 x，y 的符号， 故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0； 故②正确； ③在多项式 x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变 z，m，n的符号，加括号后只有加减 两种运算， ∴2×2×2＝8种， 所有可能的加括号的方法最多能得到 8种不同的结果． 故选：D． 【点评】本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和 对加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键． 43．我们知道，任意一个正整数 n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且 p ≤q），在 n的所有这种分解中，如果 p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q是 n 的最佳分解，并规定：F（n）= ��．例如：12可以分解成 1×12，2×6或 3×4，因为 12 ﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以 3×4是 12的最佳分解，所以 F（12）= 34．如果一个两位正整 数 t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的 新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t为“吉祥数”．根据以上 新定义，下列说法正确的有（ ） （1）F（48）= 34； （2）15和 26是“吉祥数”； （3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 3 4 ． （4）如果一个正整数 m是另外一个正整数 n的平方，我们称正整数 m是完全平方数， 则对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，而 48﹣1＞24﹣2＞16﹣3 ＞12﹣4＞8﹣6，6×8是 48的最佳分解， ∴F（48）= 68 = 3 4，故正确； （2）设交换 t的个位上数与十位上的数得到的新数为 t′，则 t′＝10y+x， ∵t是“吉祥数”， ∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36， ∴y＝x+4， ∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数， ∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59，故正确； （3）F（15）= 35，F（26）= 2 13，F（37）= 1 37，F（48）= 6 8 = 3 4，F（59）= 1 59， ∵ 3 4 ＞ 3 5 ＞ 2 13 ＞ 1 37 ＞ 1 59 ， ∴“吉祥数”中，F（t）的最大值为 3 4 ，故正确． 故说法正确的有 4个． （4）∵m是一个完全平方数， 设 m＝x2（x＞0）， ∴x×x是 m的最佳分解， ∴F（m）= �� =1，故正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数 的方法是解本题的关键． 44．如果 a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式 b2+c2＝2a2+16a+14与 bc＝a2﹣4a﹣5， 那么 a的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜5 B．a＞﹣1且 a≠ −1+ 214 ，a≠− 5 6 C．a＜﹣7或 a＞﹣1 D．a＜﹣1或 a＞5 【解答】解：b2+c2＝2a2+16a+14①， bc＝a2﹣4a﹣5②， ①+②×2， （b+c）2＝4a2+8a+4 ＝4（a+1）2， ∴b+c＝±2（a+1）， ∴b，c为方程 x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0的两根， ∵方程有两个不相等的实数根 b，c， ∴△＝[±2（a+1）]2﹣4（a2﹣4a﹣5） ＝24a+24＞0， ∴a＞﹣1， 当 a≠b时， ∴a2+2（a+1）a+a2﹣4a﹣5≠0， 解得：a≠ −1± 214 ， a2﹣2（a+1）a+a2﹣4a﹣5≠0， 解得：a≠− 56， 同理：a≠c时， 解得：a≠ −1± 214 ，a≠− 5 6， ∴a、b、c为互不相等时，a的取值范围是 a＞﹣1且 a≠ −1+ 214 ，a≠− 5 6， 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用不等式的性质以及完全平方公式的应用，正确转化为含 a 的不等式是解决本题的关键． 45．已知：n＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1），则 n﹣2022的末 位数字是（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 E．9 【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1） ＝（216﹣1）（216+1）（232+1）（264+1） ＝（232﹣1）（232+1）（264+1） ＝（264﹣1）（264+1） ＝2128﹣1， ∵n＝2128﹣1， ∴n的末位数字是 5． ∴n﹣2022的末位数字是 3． 故选：B． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 46．如图，有三张正方形纸片 A，B，C，它们的边长分别为 a，b，c，将三张纸片按图 1， 图 2 两种不同方式放置于同一长方形中，记图 1 中阴影部分周长为 l1，面积为 S1，图 2 中阴影部分周长为 l2，面积为 S2．若 S2﹣S1＝（ �1−�2 2 ）2，则 b：c的值为（ ） A． 3 2 B．2 C． 5 2 D．3 【解答】解：设大长方形的宽短边长为 d， ∴由图 2知，d＝b﹣c+a， ∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d， S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2， l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d， S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc， ∴S2﹣S1＝bc+c2， l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d， ∴bc+c2= ( �−�−�+�2 ) 2， ∴bc+c2＝（b﹣c）2， ∴3bc＝b2， ∴b＝3c， ∴b：c的值为 3， 故选：D． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键． 47．在多项式 a+b﹣m﹣n﹣e中，除首尾项 a、﹣e外，其余各项都可闪退，闪退项的前面 部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操 作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式 a+b﹣m﹣n ﹣e进行．例如：+b“闪减操作”为|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|，﹣m与﹣n同时“闪减操作”为|a+b| ﹣|﹣e|，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与 e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有 8种 不同的结果； ③若可以闪退的三项+b，﹣m，﹣n满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣m+1|+|﹣m+4|）（|﹣n+1|+| ﹣n﹣6|）＝42，则 2b+m+n的最小值为﹣9． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①﹣n“闪减操作”后的式子|a+b﹣m|﹣|﹣e|，﹣m﹣n“闪减操作”后的式 子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差， 得（|a+b﹣m|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e） ＝|a+b﹣m|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e| ＝|a+b﹣m|﹣|a+b|， 结果不含与 e相关的项， ∴①正确； ②若每种操作只闪退一项，则分三种情况： +b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|， 当 a≥0，﹣m﹣n﹣e≥0时，|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|＝a+m+n+e， 当 a≥0，﹣m﹣n﹣e≤0时，|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|＝a﹣m﹣n﹣e， 当 a≤0，﹣m﹣n﹣e≥0时，|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|＝﹣a+m+n+e， 当 a≤0，﹣m﹣n﹣e≤0时，|a|﹣|﹣m﹣n﹣e|＝﹣a﹣m﹣n﹣e， ﹣m“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣n﹣e|， 当 a+b≥0，﹣n﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣n﹣e|＝a+b+n+e， 当 a+b≥0，﹣n﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣n﹣e|＝a+b﹣n﹣e， 当 a+b≤0，﹣n﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣n﹣e|＝﹣a﹣b+n+e， 当 a+b≤0，﹣n﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣n﹣e|﹣a﹣b﹣n﹣e， ﹣n“闪减操作”后的结果|a+b﹣m|﹣|﹣e|， 当 a+b﹣n≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣m|﹣|﹣e|＝a+b﹣m+e， 当 a+b﹣n≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣m|﹣|﹣e|＝a+b﹣m﹣e， 当 a+b﹣n≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣m|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+m+e， 当 a+b﹣n≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣m|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+m﹣e， 共有 12种不同的结果， ∴②错误； ③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点 b与 0和﹣2的距离之和， ∴当距离取最小值 0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2， 同理|﹣m+1|+|﹣m+4|＝|1﹣m|+|4﹣m|，在数轴上表示点 m与 1和 4的距离之和， ∴当距离取最小值 4﹣1＝3时，m的最小值为 1， |﹣n+1|+|﹣n﹣6|＝|1﹣n|+|﹣6﹣n|，在数轴上表示点 n与 1和﹣6的距离之和， ∴当距离取最小值 1﹣（﹣6）＝7时，n的最小值为﹣6， ∴当|+b|+|+b+2|，|﹣m+1|+|﹣m+4|，|﹣n+1|+|﹣n﹣6|都取最小值时， （|+b|+|+b+2|）（|﹣m+1|+|﹣m+4|）（|﹣n+1|+|﹣n﹣6|） ＝2×3×7 ＝42， ∴③正确， 故选：C． 【点评】本题考查新定义运算、绝对值、多项式、掌握绝对值的性质的应用，对新定义 的理解是解题关键． 48．对任意一个两位数 n，如果 n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称 这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得 到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与 11的商记为 F（n）．例如 n＝23．互 换十位与个位上的数字得到 32，所得的新两位数与原两位数的和为 23+32＝55，55÷11 ＝5，所以 F（23）＝5．若 s，t都是“相异数”，其中 s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1 ≤y≤9．x，y都是正整数），当 F（s）+F（t）＝15时，则 �(�) �(�) 的最大值为（ ） A．2 B． 3 2 C． 11 4 D．4 【解答】解：将 s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为 s'． ∵s＝10x+3． ∴s'＝30+x ∴F（s）= �+�′11 = 33+11� 11 = 3 + �． 将 t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为 t'． ∵t＝50+y． ∴t'＝10y+5． ∴F（t）= �+�′11 = 55+11� 11 = 5 + �． ∵F（s）+F（t）＝15． ∴3+x+5+y＝15． ∴x+y＝7． ∴y＝7﹣x． ∴ �(�) �(�) = 3+� 5+� = 3+� 5+7−� = 3+� 12−� ． ∵x，y都是正整数． ∴x最大为 6． ∴ 3+6 12−6 = 9 6 = 3 2 ． 故选：B． 【点评】本题主要考查数字的处理能力和计算能力，关键在于将 F（s）和 F（t）用含 x 和 y的式子表示出来． 49．已知正整数 a，b，c，d，e，f满足 a＜b＜c＜d＜e＜f，且 a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2 ﹣e2，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（ ） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若 a＜b＜c＜d＜e＜f＜10，则该六元方程有 21组解； ④若 a+b+c+d+c+f＝53，则该六元方程有 28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①当 a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6时， a+b+c+d+e+f＝21，b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2＝21， 所以左边＝右边，a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，f＝6是方程的解，①正确． ②设最小的正整数为 n，左边＝n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）＝6n+15， 右边＝（n+1）2﹣n2+（n+3）2﹣（n+2）2+（n+5）2﹣（n+4）2＝6n+15， 左边＝右边，连续的六个正整数一定是该六元方程的解，②正确． ③a＜b＜c＜d＜e＜f＜10， 根据②可得 4组连续整数 123456，234567，345678，456789是方程的解， a+b+c+d+e+f＝b2﹣a2+d2﹣c2+f2﹣e2． （a+b）+（c+d）+（e+f）＝（a+b）（b﹣a）+（c+d）（d﹣c）+（e+f）（f﹣e）． （a+b）（1+a﹣b）+（c+d）（1+c﹣d）+（e+f）（1+e﹣f）＝0， 因为正整数 a，b，c，d，e，f满足 a＜b＜c＜d＜e＜f， 1+a﹣b＝0，1+c﹣d＝0，1+e﹣f＝0， 可得 b＝a+1，d＝c+1，f＝e+1时方程成立，即 a，b；c，d；e，f是三对连续整数． 可得 16组不连续的整数 123467，123478，123489，124567，124578，124589，125678， 125689，126789，234578，234589，235678，235689，236789，345689，346789，是方 程的解，共有 20组，故③不正确． ④a+b+c+d+e+f＝53，由③可得，a，b；c，d；e，f是三对连续整数， a+a+1+c+c+1+e+e+1＝53，a+c+e＝25， 可得 a，c，e的值有 30组，即有 30组解，故④不正确． 故选：B． 【点评】此题考查验证方程的解，多元一次方程的正整数解，因式分解的应用，多学段 知识综合运用较强，同时考查了探究学习的能力． 50．（a+b）n（n为非负整数）当 n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了 （a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9 展开式中所有项系数的和应该是（ ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【解答】解：当 n＝0时展开式所有系数的和为 1＝20． 当 n＝1时展开式所有系数的和为 2＝21． 当 n＝2时展开式所有系数的和为 22． 当 n＝3时展开式所有系数的和为 8＝23． 当 n＝4时展开式所有系数的和为 16＝24． 当 n＝5时展开式所有系数的和为 32＝25． …… ∴当 n＝9时展开式所有系数的和为 29＝512． 故选：C． 【点评】本题考查杨辉三角的有关知识，关键是由特殊情况观察规律