26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 课题 反比例函数的图象和性质的运用 课型 新授课 教学内容 教材第7-8页的内容 教学目标 1.进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质。 2.灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题。 3.领会反比例函数解析式与图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。 教学重难点 教学重点：利用反比例函数的图象和性质解决综合问题。 教学难点：从图象中分析问题、解决问题。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧识，引入课题 问题1：下列反比例函数： ①y=-；②y=；③7y=-；④y=. （1）图象位于第一、第三象限的是 ； （2）图象位于第二、第四象限的是 。 问题2：在反比例函数①y=-；②y=；③7y=-； ④y=的图象上，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上同一象限内的点： （1）若x1＜x2，则y1＜y2的函数是 ； （2）若x1＜x2，则y1＞y2的函数是 ； 问题3：反比例函数的图象经过点A（－3，2），则此反比例函数的解析式为 。区别于一次函数，类似正比例函数，反比例函数中只有 个待定系数k，只需 组x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式。 【师生活动】教师提出问题，学生思考、回答，教师根据学生回答情况进行补充和辅导。 2.类比探究，学习新知 【探究1】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。 （1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ （2）点B（3，4），C（，-4），D（2，5）是否在这个函数的图象上？ 【师生活动】教师提出问题： （1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？ （2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？ （3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？ （4）某点不在图象上的含义是什么？ 学生在小组内讨论交流，组内代表回答问题。 【探究2】如图，它是反比例函数y=的图象的一支。根据 图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数的某一支上任取点A（x1，y1）和点B（x2，y2）。如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ （3）对于反比例函数y=（ k＞0），考虑问题前两个问题，你能得出同样的结论吗？ 【师生活动】教师引导并提出问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？ （2）函数图象所在象限与解析式中哪个量有关？ （3）函数解析式中的系数由哪个式子表示？ 学生独立思考问题，然后互相交流，互相纠错。 【探究3】k的几何意义 在一个反比例函数的图象上任取两点A，B，过点A分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1,过点B分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为 S2，请问S1和S2之间有什么关系？为什么？ 【师生活动】教师指导学生根据图象进行探讨，学生小组内讨论,并进行解析。 S1=|x1|·|y1|=|k|，同理，S2=|x2|·|y2|=|k|，所以S1=S2。 教师追问：从反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线段，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是多少？ 【师生活动】师生解答,归纳总结得：这个三角形的面积=. 归纳： 3.学以致用，应用新知 考点 反比例函数的图象及性质的运用 【例1】已知反比例函数y=的图象经过点（1，3），则k的值是（ ） A.1 B.-2 C.-1 D.2 答案：D 【例2】如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限，常数 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A ( ， ）和 B ( , )如果＜ ，那么与 的大小关系如何？为什么？ 解：（1）图象的另一支位于第四象限，n＜-7。 （2）由函数图象得，在每一象限内，y随x的增大而增大，所以若＜，则＜。 【例3】如图，点P（x，y）在双曲线y=的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP=1，则该反比例函数的解析式为________。 答案：y= 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．函数的图象只在第一象限 C．当x＜0时，必有y＜0 D．点（－2，－3）不在此函数的图象上 答案：C （2）若点A（x1，-2），B（x2，2）在反比例函数y=-的图象上，则关于x1，x2的结论正确的是（　　） A. x1<0<x2 B. x2<0<x1　　C.x2< x1<0 D.0< x1<x2 答案：B （3）函数y＝的图象与直线y＝－x没有交点，那么k的取值范围是(　　) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1 答案：B （4）如图，直线l和双曲线y＝(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则(　　) A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3 答案：D （5）已知一个反比例函数的图象经过点A（-1，6）、 点B（2，-3），C（3，2），D（，12）是否在这个函数的图象上？为什么？ 5.课堂小结，自我完善 教师与学生回顾本节课所学主要内容。 （1）如何用待定系数法求反比例函数的解析式？ （2）已知反比例函数图象及其图象上两点横坐标的大小，如何比较纵坐标的大小？反之呢？ （3）反比例函数的比例系数k的几何意义是什么？ 6.布置作业 课本P9习题26.1第5，9题。 复习巩固反比例函数的图象和性质，让学生体会反比例函数由k值确定图象所在象限，同样由象限确定k值范围；由k值确定函数的变化规律，同样由函数的变化规律确定k值范围。鼓励学生独立完成，教师点拨。 从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式，通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，体会数形结合的数学思想。 让学生从函数图象中获取信息，体验由“形”到“数”，加深对反比例函数图象和性质的理解，进一步领悟数形结合思想。 通过探索矩形面积和比例系数之间的关系，用类比的方法得到三角形面积与比例系数之间的数量关系，培养学生数形结合的思想。 通过例题的解答，巩固加深对反比例函数图象的性质的应用，实现由知识向能力的转化。 通过随堂练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力. 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 反比例函数的图象和性质的运用 图象上点的坐标特征 K的几何意义 教后反思 本课时的学习是学生对反比例函数图象和性质的一个再认知的过程，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识。本节课主要注重提高学生分析问题与解决问题的能力，数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口。在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力。 在教学时，教师要与学生进行互动交流，并积极让学生自主探究反比例函数中k值的几何意义。 学科网（北京）股份有限公司 $$